ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctex GIF version

Theorem ctex 6400
Description: A countable set is a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ctex (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ctex
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6396 . 2 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
2 f1dm 5169 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1→ω → dom 𝑓 = 𝐴)
3 vex 2615 . . . . 5 𝑓 ∈ V
43dmex 4657 . . . 4 dom 𝑓 ∈ V
52, 4syl6eqelr 2174 . . 3 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1530 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
71, 6syl 14 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wex 1422  wcel 1434  Vcvv 2612   class class class wbr 3811  ωcom 4368  dom cdm 4401  1-1wf1 4966  cdom 6386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-dom 6389
This theorem is referenced by:  cnvct  6456  ssct  6464  xpct  10989
  Copyright terms: Public domain W3C validator