Theorem ctex 6424

Description: A countable set is a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ctex	⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ctex

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6420	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→ω)
2		f1dm 5186	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→ω → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2618	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 4669	. . . 4 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	syl6eqelr 2176	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1532	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1424   ∈ wcel 1436  Vcvv 2615   class class class wbr 3822  ωcom 4380  dom cdm 4413  –1-1→wf1 4980   ≼ cdom 6410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-dm 4423  df-rn 4424  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-dom 6413

This theorem is referenced by:  cnvct  6480  ssct  6488  xpct  11115