ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctex GIF version

Theorem ctex 6424
Description: A countable set is a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
ctex (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ctex
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6420 . 2 (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω)
2 f1dm 5186 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1→ω → dom 𝑓 = 𝐴)
3 vex 2618 . . . . 5 𝑓 ∈ V
43dmex 4669 . . . 4 dom 𝑓 ∈ V
52, 4syl6eqelr 2176 . . 3 (𝑓:𝐴1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
65exlimiv 1532 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
71, 6syl 14 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wex 1424  wcel 1436  Vcvv 2615   class class class wbr 3822  ωcom 4380  dom cdm 4413  1-1wf1 4980  cdom 6410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-br 3823  df-opab 3877  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-dm 4423  df-rn 4424  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-dom 6413
This theorem is referenced by:  cnvct  6480  ssct  6488  xpct  11115
  Copyright terms: Public domain W3C validator