Theorem ctex 6400

Description: A countable set is a set. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ctex	⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Proof of Theorem ctex

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6396	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→ω)
2		f1dm 5169	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→ω → dom 𝑓 = 𝐴)
3		vex 2615	. . . . 5 ⊢ 𝑓 ∈ V
4	3	dmex 4657	. . . 4 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
5	2, 4	syl6eqelr 2174	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
6	5	exlimiv 1530	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→ω → 𝐴 ∈ V)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1422   ∈ wcel 1434  Vcvv 2612   class class class wbr 3811  ωcom 4368  dom cdm 4401  –1-1→wf1 4966   ≼ cdom 6386

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-dm 4411  df-rn 4412  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-dom 6389

This theorem is referenced by:  cnvct  6456  ssct  6464  xpct  10989