Theorem ctfoex 7409

Description: A countable class is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctfoex	⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ctfoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4715	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2		focdmex 6308	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4		djuexb 7335	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
6	5	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
7	6	exlimiv 1647	1 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813  ωcom 4712  –onto→wfo 5350  1_oc1o 6640   ⊔ cdju 7328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1o 6647  df-dju 7329

This theorem is referenced by: (None)