Theorem ctfoex 7448

Description: A countable class is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctfoex	⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)

Distinct variable group:   𝐴,𝑓

Proof of Theorem ctfoex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omex 4735	. . . . 5 ⊢ ω ∈ V
2		focdmex 6334	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ V → (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
4		djuexb 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ V) ↔ (𝐴 ⊔ 1o) ∈ V)
5	3, 4	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → (𝐴 ∈ V ∧ 1o ∈ V))
6	5	simpld 112	. 2 ⊢ (𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)
7	6	exlimiv 1651	1 ⊢ (∃𝑓 𝑓:ω–onto→(𝐴 ⊔ 1o) → 𝐴 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  ωcom 4732  –onto→wfo 5370  1_oc1o 6670   ⊔ cdju 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-dju 7368

This theorem is referenced by: (None)