Theorem cnvct 7052

Description: If a set is dominated by ω, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5142	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
2		ctex 6992	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		cnvexg 5302	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ◡𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ∈ V)
5		cnven 7051	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
7		cnvcnvss 5219	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
8		ssdomg 7020	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴))
9	2, 7, 8	mpisyl 1492	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴)
10		endomtr 7032	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴 ∧ ◡◡𝐴 ≼ 𝐴) → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
12		domtr 7027	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ◡𝐴 ≼ ω)
13	11, 12	mpancom 422	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213   class class class wbr 4111  ωcom 4714  ^◡ccnv 4750  Rel wrel 4756   ≈ cen 6975   ≼ cdom 6976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3045  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-en 6978  df-dom 6979

This theorem is referenced by: (None)