ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvct GIF version

Theorem cnvct 6524
Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnvct (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct
StepHypRef Expression
1 relcnv 4810 . . . 4 Rel 𝐴
2 ctex 6468 . . . . 5 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3 cnvexg 4968 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐴 ∈ V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
5 cnven 6523 . . . 4 ((Rel 𝐴𝐴 ∈ V) → 𝐴𝐴)
61, 4, 5sylancr 405 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
7 cnvcnvss 4885 . . . 4 𝐴𝐴
8 ssdomg 6493 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴𝐴𝐴𝐴))
92, 7, 8mpisyl 1380 . . 3 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
10 endomtr 6505 . . 3 ((𝐴𝐴𝐴𝐴) → 𝐴𝐴)
116, 9, 10syl2anc 403 . 2 (𝐴 ≼ ω → 𝐴𝐴)
12 domtr 6500 . 2 ((𝐴𝐴𝐴 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
1311, 12mpancom 413 1 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1438  Vcvv 2619  wss 2999   class class class wbr 3845  ωcom 4405  ccnv 4437  Rel wrel 4443  cen 6453  cdom 6454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-en 6456  df-dom 6457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator