Theorem cnvct 6787

Description: If a set is dominated by ω, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4989	. . . 4 ⊢ Rel ◡𝐴
2		ctex 6731	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
3		cnvexg 5148	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → ◡𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ∈ V)
5		cnven 6786	. . . 4 ⊢ ((Rel ◡𝐴 ∧ ◡𝐴 ∈ V) → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
6	1, 4, 5	sylancr 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴)
7		cnvcnvss 5065	. . . 4 ⊢ ◡◡𝐴 ⊆ 𝐴
8		ssdomg 6756	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (◡◡𝐴 ⊆ 𝐴 → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴))
9	2, 7, 8	mpisyl 1439	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡◡𝐴 ≼ 𝐴)
10		endomtr 6768	. . 3 ⊢ ((◡𝐴 ≈ ◡◡𝐴 ∧ ◡◡𝐴 ≼ 𝐴) → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
11	6, 9, 10	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ 𝐴)
12		domtr 6763	. 2 ⊢ ((◡𝐴 ≼ 𝐴 ∧ 𝐴 ≼ ω) → ◡𝐴 ≼ ω)
13	11, 12	mpancom 420	1 ⊢ (𝐴 ≼ ω → ◡𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ⊆ wss 3121   class class class wbr 3989  ωcom 4574  ^◡ccnv 4610  Rel wrel 4616   ≈ cen 6716   ≼ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by: (None)