Theorem domeng 6718

Description: Dominance in terms of equinumerosity, with the sethood requirement expressed as an antecedent. Example 1 of [Enderton] p. 146. (Contributed by NM, 24-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
domeng	⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem domeng

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3986	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝐴 ≼ 𝑦 ↔ 𝐴 ≼ 𝐵))
2		sseq2 3166	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑥 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐵))
3	2	anbi2d 460	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ((𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ (𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
4	3	exbidv 1813	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))
5		vex 2729	. . 3 ⊢ 𝑦 ∈ V
6	5	domen 6717	. 2 ⊢ (𝐴 ≼ 𝑦 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝑦))
7	1, 4, 6	vtoclbg 2787	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐶 → (𝐴 ≼ 𝐵 ↔ ∃𝑥(𝐴 ≈ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116   class class class wbr 3982   ≈ cen 6704   ≼ cdom 6705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-en 6707  df-dom 6708

This theorem is referenced by:  mapdom1g  6813