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Theorem dfgcd2 11629
Description: Alternate definition of the gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝑀   𝑒,𝑁

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 11582 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) ∈ ℕ0)
21nn0ge0d 9001 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁))
3 gcddvds 11579 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
4 3anass 951 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ (𝑒 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)))
5 ancom 264 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ))
64, 5bitri 183 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ))
7 dvdsgcd 11627 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
86, 7sylbir 134 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
98ralrimiva 2482 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
102, 3, 93jca 1146 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1110adantr 274 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
12 breq2 3903 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (0 ≤ 𝐷 ↔ 0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁)))
13 breq1 3902 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐷𝑀 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀))
14 breq1 3902 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝐷𝑁 ↔ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁))
1513, 14anbi12d 464 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁)))
16 breq2 3903 . . . . . . 7 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (𝑒𝐷𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))
1716imbi2d 229 . . . . . 6 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1817ralbidv 2414 . . . . 5 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁))))
1912, 15, 183anbi123d 1275 . . . 4 (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))))
2019adantl 275 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ (𝑀 gcd 𝑁) ∧ ((𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 𝑁) ∥ 𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒 ∥ (𝑀 gcd 𝑁)))))
2111, 20mpbird 166 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁)) → (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))
22 gcdval 11575 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
2322adantr 274 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → (𝑀 gcd 𝑁) = if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )))
24 iftrue 3449 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 0)
2524adantr 274 . . . . . 6 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 0)
26 breq2 3903 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝐷𝑀𝐷 ∥ 0))
27 breq2 3903 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (𝐷𝑁𝐷 ∥ 0))
2826, 27bi2anan9 580 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0)))
29 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = 0 → (𝑒𝑀𝑒 ∥ 0))
30 breq2 3903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → (𝑒𝑁𝑒 ∥ 0))
3129, 30bi2anan9 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) ↔ (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0)))
3231imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)))
3332ralbidv 2414 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)))
3428, 333anbi23d 1278 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷))))
35 dvdszrcl 11425 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐷 ∥ 0 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ))
36 dvds0 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ ℤ → 𝑒 ∥ 0)
3736, 36jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ ℤ → (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0))
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0))
39 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → (((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ 𝑒𝐷))
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) ∧ 𝑒 ∈ ℤ) → (((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ 𝑒𝐷))
4140ralbidva 2410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) ↔ ∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷))
42 0z 9033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℤ
43 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 0 → (𝑒𝐷 ↔ 0 ∥ 𝐷))
4443rspcv 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 ∥ 𝐷))
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 ∥ 𝐷)
46 0dvds 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
4746biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷𝐷 = 0))
48 eqcom 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 = 𝐷𝐷 = 0)
4947, 48syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐷 → 0 = 𝐷))
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐷 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 = 𝐷))
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ 𝑒𝐷 → 0 = 𝐷))
5241, 51sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷))
5352ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 ∥ 0 → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5655adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) → (0 ≤ 𝐷 → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
5756com12 30 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 𝐷 → ((𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷) → 0 = 𝐷)))
58573imp 1160 . . . . . . . . 9 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷 ∥ 0 ∧ 𝐷 ∥ 0) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒 ∥ 0 ∧ 𝑒 ∥ 0) → 𝑒𝐷)) → 0 = 𝐷)
5934, 58syl6bi 162 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → 0 = 𝐷))
6059adantld 276 . . . . . . 7 ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → 0 = 𝐷))
6160imp 123 . . . . . 6 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → 0 = 𝐷)
6225, 61eqtrd 2150 . . . . 5 (((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
6362ancoms 266 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) ∧ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
64 iffalse 3452 . . . . . . 7 (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
6564adantr 274 . . . . . 6 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ))
66 lttri3 7812 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
6766adantl 275 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑔 ∈ ℝ)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
68 dvdszrcl 11425 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑀 → (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
6968simpld 111 . . . . . . . . . . 11 (𝐷𝑀𝐷 ∈ ℤ)
7069zred 9141 . . . . . . . . . 10 (𝐷𝑀𝐷 ∈ ℝ)
7170adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ ℝ)
72713ad2ant2 988 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → 𝐷 ∈ ℝ)
7372ad2antll 482 . . . . . . 7 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → 𝐷 ∈ ℝ)
74 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛𝑀𝑦𝑀))
75 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑦 → (𝑛𝑁𝑦𝑁))
7674, 75anbi12d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
7776elrab 2813 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
78 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝑀𝑦𝑀))
79 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝑁𝑦𝑁))
8078, 79anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑦 → ((𝑒𝑀𝑒𝑁) ↔ (𝑦𝑀𝑦𝑁)))
81 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = 𝑦 → (𝑒𝐷𝑦𝐷))
8280, 81imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝑦 → (((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) ↔ ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → 𝑦𝐷)))
8382rspcv 2759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℤ → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → 𝑦𝐷)))
8483com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦𝑀𝑦𝑁) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷)))
8584imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷))
8685ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → 𝑦𝐷))
87 elnn0z 9035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐷 ∈ ℕ0 ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐷))
8887simplbi2 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ ℤ → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
8988adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷𝑀 → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → (0 ≤ 𝐷𝐷 ∈ ℕ0))
9291impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ0)
93 zre 9026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
9493ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9594ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑦 ∈ ℝ)
9671ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝐷 ∈ ℝ)
97 simp-5l 517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → 𝑦 ∈ ℤ)
98 elnn0 8947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐷 ∈ ℕ0 ↔ (𝐷 ∈ ℕ ∨ 𝐷 = 0))
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐷 ∈ ℕ → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
100 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 = 0 → (𝐷𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
101 breq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐷 = 0 → (𝐷𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
102100, 101anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝐷 = 0 → ((𝐷𝑀𝐷𝑁) ↔ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)))
103102anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐷 = 0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
104103adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁))))
105 simplr 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
106 zdceq 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
10742, 106mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
108 ianordc 869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (DECID 𝑀 = 0 → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
110109ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0)))
111105, 110mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
112 dvdszrcl 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ∥ 𝑀 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
113 0dvds 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
114 pm2.24 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑀 = 0 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
115113, 114syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
116115adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0 ∥ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
118117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑀 = 0 → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
120 dvdszrcl 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (0 ∥ 𝑁 → (0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
121 0dvds 11440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
122 pm2.24 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 = 0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
123121, 122syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
124123adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ)))
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (0 ∥ 𝑁 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
126125adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → (¬ 𝑁 = 0 → 𝐷 ∈ ℕ))
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 𝑁 = 0 → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
128119, 127jaoi 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((¬ 𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁) → 𝐷 ∈ ℕ))
130129adantld 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
131130adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (0 ∥ 𝑀 ∧ 0 ∥ 𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
132104, 131sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐷 = 0 ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
133132ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐷 = 0 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
13499, 133jaoi 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐷 ∈ ℕ ∨ 𝐷 = 0) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
13598, 134sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐷 ∈ ℕ0 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ)))
136135impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → 𝐷 ∈ ℕ))
137136imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → 𝐷 ∈ ℕ)
138 dvdsle 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℕ) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
13997, 137, 138syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁))) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))
140139exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝐷 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (𝑦𝐷𝑦𝐷))))
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐷 → (𝐷 ∈ ℕ0 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷))))
142141imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷)))
143142impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑦𝐷))
144143imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → 𝑦𝐷)
14595, 96, 144lensymd 7852 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) ∧ (𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))) → ¬ 𝐷 < 𝑦)
146145exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ((𝑦𝐷𝐷 ∈ ℕ0) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
14792, 146mpan2d 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (𝑦𝐷 → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
148147com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑦𝐷 → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
14986, 148syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
150149com13 80 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)) → (∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦)))
1511503impia 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
153152expimpd 360 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
154153expimpd 360 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦𝑀𝑦𝑁)) → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
15577, 154sylbi 120 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} → ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → ¬ 𝐷 < 𝑦))
156155impcom 124 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ 𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}) → ¬ 𝐷 < 𝑦)
15769adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → 𝐷 ∈ ℤ)
158157ancri 322 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷𝑀𝐷𝑁) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
1591583ad2ant2 988 . . . . . . . . . . 11 ((0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
160159ad2antll 482 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
161160adantr 274 . . . . . . . . 9 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
162 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐷 → (𝑛𝑀𝐷𝑀))
163 breq1 3902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐷 → (𝑛𝑁𝐷𝑁))
164162, 163anbi12d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐷 → ((𝑛𝑀𝑛𝑁) ↔ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
165164elrab 2813 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)} ↔ (𝐷 ∈ ℤ ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁)))
166161, 165sylibr 133 . . . . . . . 8 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → 𝐷 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)})
167 breq2 3903 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐷 → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝐷))
168167adantl 275 . . . . . . . 8 ((((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) ∧ 𝑧 = 𝐷) → (𝑦 < 𝑧𝑦 < 𝐷))
169 simprr 506 . . . . . . . 8 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → 𝑦 < 𝐷)
170166, 168, 169rspcedvd 2769 . . . . . . 7 (((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑦 < 𝐷)) → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}𝑦 < 𝑧)
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6852 . . . . . 6 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < ) = 𝐷)
17265, 171eqtrd 2150 . . . . 5 ((¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∧ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷)))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
173172ancoms 266 . . . 4 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
174 gcdmndc 11564 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
175174adantr 274 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
176 exmiddc 806 . . . . 5 (DECID (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
177175, 176syl 14 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → ((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0) ∨ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
17863, 173, 177mpjaodan 772 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → if((𝑀 = 0 ∧ 𝑁 = 0), 0, sup({𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑀𝑛𝑁)}, ℝ, < )) = 𝐷)
17923, 178eqtr2d 2151 . 2 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))) → 𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁))
18021, 179impbida 570 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐷 = (𝑀 gcd 𝑁) ↔ (0 ≤ 𝐷 ∧ (𝐷𝑀𝐷𝑁) ∧ ∀𝑒 ∈ ℤ ((𝑒𝑀𝑒𝑁) → 𝑒𝐷))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 682  DECID wdc 804  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465  wral 2393  {crab 2397  ifcif 3444   class class class wbr 3899  (class class class)co 5742  supcsup 6837  cr 7587  0cc0 7588   < clt 7768  cle 7769  cn 8688  0cn0 8945  cz 9022  cdvds 11420   gcd cgcd 11562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-sup 6839  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-q 9380  df-rp 9410  df-fz 9759  df-fzo 9888  df-fl 10011  df-mod 10064  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-dvds 11421  df-gcd 11563
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