ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxaddlem GIF version

Theorem xrmaxaddlem 11303
Description: Lemma for xrmaxadd 11304. The case where 𝐴 is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxaddlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrmaxaddlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9829 . . 3 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 rexr 8034 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1 999 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1000 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp3 1001 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 11295 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94, 8xaddcld 9916 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
103, 9syl3an1 1282 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
11 elpri 3630 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} → (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)))
12 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵))
13 xrmax1sup 11296 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
145, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
15 xleadd2a 9906 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
165, 8, 4, 14, 15syl31anc 1252 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1716adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1812, 17eqbrtrd 4040 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
19 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))
20 xrmax2sup 11297 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
215, 6, 20syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
22 xleadd2a 9906 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
236, 8, 4, 21, 22syl31anc 1252 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2423adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2519, 24eqbrtrd 4040 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2618, 25jaodan 798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2711, 26sylan2 286 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
284, 5xaddcld 9916 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2928adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
3012, 29eqeltrd 2266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
314, 6xaddcld 9916 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3231adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3319, 32eqeltrd 2266 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3430, 33jaodan 798 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3511, 34sylan2 286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
369adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
37 xrlenlt 8053 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3835, 36, 37syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3927, 38mpbid 147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
403, 39syl3anl1 1297 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
4133ad2ant1 1020 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4241adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4342adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simpl2 1003 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4544adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4643, 45xaddcld 9916 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
47 prid1g 3711 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
4846, 47syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
49 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵)
50 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5142xnegcld 9887 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5250, 51xaddcld 9916 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
5352adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
54 simpl1 1002 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5554adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
56 xltadd1 9908 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5753, 45, 55, 56syl3anc 1249 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5849, 57mpbid 147 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴))
59 xnpcan 9904 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6050, 54, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6160adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
62 xaddcom 9893 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6345, 43, 62syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6458, 61, 633brtr3d 4049 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
65 breq2 4022 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐵) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
6665rspcev 2856 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6748, 64, 66syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6854adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
6968, 3syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
70 simpl3 1004 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7170adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7269, 71xaddcld 9916 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
73 prid2g 3712 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
7472, 73syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
75 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)
7652adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
77 xltadd1 9908 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7876, 71, 68, 77syl3anc 1249 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7975, 78mpbid 147 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴))
8060adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
81 xaddcom 9893 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8271, 69, 81syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8379, 80, 823brtr3d 4049 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶))
84 breq2 4022 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐶) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)))
8584rspcev 2856 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
8674, 83, 85syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
87 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
8810adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
89 rexneg 9862 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
90893ad2ant1 1020 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9190adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9254renegcld 8368 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92eqeltrd 2266 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
94 xltadd1 9908 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9550, 88, 93, 94syl3anc 1249 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9687, 95mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴))
973, 8syl3an1 1282 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9897adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
99 xaddcom 9893 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
10042, 98, 99syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
101100oveq1d 5912 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
10296, 101breqtrd 4044 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
103 xpncan 9903 . . . . . 6 ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
10498, 54, 103syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
105102, 104breqtrd 4044 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
106 xrltmaxsup 11300 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
10744, 70, 52, 106syl3anc 1249 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
108105, 107mpbid 147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶))
10967, 86, 108mpjaodan 799 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
1102, 10, 40, 109eqsuptid 7027 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wrex 2469  {cpr 3608   class class class wbr 4018  (class class class)co 5897  supcsup 7012  cr 7841  *cxr 8022   < clt 8023  cle 8024  -cneg 8160  -𝑒cxne 9801   +𝑒 cxad 9802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960  ax-arch 7961  ax-caucvg 7962
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-sup 7014  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-xneg 9804  df-xadd 9805  df-seqfrec 10479  df-exp 10554  df-cj 10886  df-re 10887  df-im 10888  df-rsqrt 11042  df-abs 11043
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11304
  Copyright terms: Public domain W3C validator