Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxaddlem GIF version

 Description: Lemma for xrmaxadd 11058. The case where 𝐴 is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxaddlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9609 . . 3 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 275 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 rexr 7831 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1 982 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 983 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp3 984 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 11049 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85, 6, 7syl2anc 409 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94, 8xaddcld 9693 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
103, 9syl3an1 1250 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
11 elpri 3551 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} → (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)))
12 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵))
13 xrmax1sup 11050 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
145, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
15 xleadd2a 9683 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
165, 8, 4, 14, 15syl31anc 1220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1716adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1812, 17eqbrtrd 3954 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
19 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))
20 xrmax2sup 11051 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
215, 6, 20syl2anc 409 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
22 xleadd2a 9683 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
236, 8, 4, 21, 22syl31anc 1220 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2423adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2519, 24eqbrtrd 3954 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2618, 25jaodan 787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2711, 26sylan2 284 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
284, 5xaddcld 9693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2928adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
3012, 29eqeltrd 2217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
314, 6xaddcld 9693 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3231adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3319, 32eqeltrd 2217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3430, 33jaodan 787 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3511, 34sylan2 284 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
369adantr 274 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
37 xrlenlt 7849 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3835, 36, 37syl2anc 409 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3927, 38mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
403, 39syl3anl1 1265 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
4133ad2ant1 1003 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4241adantr 274 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4342adantr 274 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simpl2 986 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4544adantr 274 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4643, 45xaddcld 9693 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
47 prid1g 3631 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
4846, 47syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
49 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵)
50 simprl 521 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5142xnegcld 9664 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5250, 51xaddcld 9693 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
5352adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
54 simpl1 985 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5554adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
56 xltadd1 9685 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5753, 45, 55, 56syl3anc 1217 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5849, 57mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴))
59 xnpcan 9681 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6050, 54, 59syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6160adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
62 xaddcom 9670 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6345, 43, 62syl2anc 409 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6458, 61, 633brtr3d 3963 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
65 breq2 3937 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐵) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
6665rspcev 2790 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6748, 64, 66syl2anc 409 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6854adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
6968, 3syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
70 simpl3 987 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7170adantr 274 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7269, 71xaddcld 9693 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
73 prid2g 3632 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
7472, 73syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
75 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)
7652adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
77 xltadd1 9685 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7876, 71, 68, 77syl3anc 1217 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7975, 78mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴))
8060adantr 274 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
81 xaddcom 9670 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8271, 69, 81syl2anc 409 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8379, 80, 823brtr3d 3963 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶))
84 breq2 3937 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐶) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)))
8584rspcev 2790 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
8674, 83, 85syl2anc 409 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
87 simprr 522 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
8810adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
89 rexneg 9639 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
90893ad2ant1 1003 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9190adantr 274 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9254renegcld 8162 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92eqeltrd 2217 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
94 xltadd1 9685 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9550, 88, 93, 94syl3anc 1217 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9687, 95mpbid 146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴))
973, 8syl3an1 1250 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9897adantr 274 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
99 xaddcom 9670 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
10042, 98, 99syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
101100oveq1d 5793 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
10296, 101breqtrd 3958 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
103 xpncan 9680 . . . . . 6 ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
10498, 54, 103syl2anc 409 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
105102, 104breqtrd 3958 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
106 xrltmaxsup 11054 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
10744, 70, 52, 106syl3anc 1217 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
108105, 107mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶))
10967, 86, 108mpjaodan 788 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
1102, 10, 40, 109eqsuptid 6888 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418  {cpr 3529   class class class wbr 3933  (class class class)co 5778  supcsup 6873  ℝcr 7639  ℝ*cxr 7819   < clt 7820   ≤ cle 7821  -cneg 7954  -𝑒cxne 9582   +𝑒 cxad 9583 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757  ax-pre-mulext 7758  ax-arch 7759  ax-caucvg 7760 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-id 4219  df-po 4222  df-iso 4223  df-iord 4292  df-on 4294  df-ilim 4295  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6206  df-frec 6292  df-sup 6875  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-ap 8364  df-div 8453  df-inn 8741  df-2 8799  df-3 8800  df-4 8801  df-n0 8998  df-z 9075  df-uz 9347  df-rp 9467  df-xneg 9585  df-xadd 9586  df-seqfrec 10246  df-exp 10320  df-cj 10642  df-re 10643  df-im 10644  df-rsqrt 10798  df-abs 10799 This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11058
 Copyright terms: Public domain W3C validator