ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxaddlem GIF version

Theorem xrmaxaddlem 11252
Description: Lemma for xrmaxadd 11253. The case where 𝐴 is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxaddlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrmaxaddlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9784 . . 3 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 rexr 7993 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1 997 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp3 999 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 11244 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85, 6, 7syl2anc 411 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94, 8xaddcld 9871 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
103, 9syl3an1 1271 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
11 elpri 3614 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} → (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)))
12 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵))
13 xrmax1sup 11245 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
145, 6, 13syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
15 xleadd2a 9861 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
165, 8, 4, 14, 15syl31anc 1241 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1716adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1812, 17eqbrtrd 4022 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
19 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))
20 xrmax2sup 11246 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
215, 6, 20syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
22 xleadd2a 9861 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
236, 8, 4, 21, 22syl31anc 1241 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2423adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2519, 24eqbrtrd 4022 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2618, 25jaodan 797 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2711, 26sylan2 286 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
284, 5xaddcld 9871 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2928adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
3012, 29eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
314, 6xaddcld 9871 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3231adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3319, 32eqeltrd 2254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3430, 33jaodan 797 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3511, 34sylan2 286 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
369adantr 276 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
37 xrlenlt 8012 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3835, 36, 37syl2anc 411 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3927, 38mpbid 147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
403, 39syl3anl1 1286 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
4133ad2ant1 1018 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4241adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4342adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simpl2 1001 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4544adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4643, 45xaddcld 9871 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
47 prid1g 3695 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
4846, 47syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
49 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵)
50 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5142xnegcld 9842 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5250, 51xaddcld 9871 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
5352adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
54 simpl1 1000 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5554adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
56 xltadd1 9863 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5753, 45, 55, 56syl3anc 1238 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5849, 57mpbid 147 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴))
59 xnpcan 9859 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6050, 54, 59syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6160adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
62 xaddcom 9848 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6345, 43, 62syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6458, 61, 633brtr3d 4031 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
65 breq2 4004 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐵) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
6665rspcev 2841 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6748, 64, 66syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6854adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
6968, 3syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
70 simpl3 1002 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7170adantr 276 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7269, 71xaddcld 9871 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
73 prid2g 3696 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
7472, 73syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
75 simpr 110 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)
7652adantr 276 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
77 xltadd1 9863 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7876, 71, 68, 77syl3anc 1238 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7975, 78mpbid 147 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴))
8060adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
81 xaddcom 9848 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8271, 69, 81syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8379, 80, 823brtr3d 4031 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶))
84 breq2 4004 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐶) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)))
8584rspcev 2841 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
8674, 83, 85syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
87 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
8810adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
89 rexneg 9817 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
90893ad2ant1 1018 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9190adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9254renegcld 8327 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92eqeltrd 2254 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
94 xltadd1 9863 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9550, 88, 93, 94syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9687, 95mpbid 147 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴))
973, 8syl3an1 1271 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9897adantr 276 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
99 xaddcom 9848 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
10042, 98, 99syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
101100oveq1d 5884 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
10296, 101breqtrd 4026 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
103 xpncan 9858 . . . . . 6 ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
10498, 54, 103syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
105102, 104breqtrd 4026 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
106 xrltmaxsup 11249 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
10744, 70, 52, 106syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
108105, 107mpbid 147 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶))
10967, 86, 108mpjaodan 798 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
1102, 10, 40, 109eqsuptid 6990 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  {cpr 3592   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  supcsup 6975  cr 7801  *cxr 7981   < clt 7982  cle 7983  -cneg 8119  -𝑒cxne 9756   +𝑒 cxad 9757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-sup 6977  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11253
  Copyright terms: Public domain W3C validator