ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxaddlem GIF version

Theorem xrmaxaddlem 10868
Description: Lemma for xrmaxadd 10869. The case where 𝐴 is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxaddlem ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))

Proof of Theorem xrmaxaddlem
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9424 . . 3 ((𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
21adantl 273 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑓 ∈ ℝ*𝑔 ∈ ℝ*)) → (𝑓 = 𝑔 ↔ (¬ 𝑓 < 𝑔 ∧ ¬ 𝑔 < 𝑓)))
3 rexr 7683 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 simp1 949 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 950 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 simp3 951 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7 xrmaxcl 10860 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
85, 6, 7syl2anc 406 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
94, 8xaddcld 9508 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
103, 9syl3an1 1217 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
11 elpri 3497 . . . . 5 (𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} → (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)))
12 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵))
13 xrmax1sup 10861 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
145, 6, 13syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
15 xleadd2a 9498 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
165, 8, 4, 14, 15syl31anc 1187 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1716adantr 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
1812, 17eqbrtrd 3895 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
19 simpr 109 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))
20 xrmax2sup 10862 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
215, 6, 20syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
22 xleadd2a 9498 . . . . . . . . 9 (((𝐶 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) ∧ 𝐶 ≤ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
236, 8, 4, 21, 22syl31anc 1187 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2423adantr 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2519, 24eqbrtrd 3895 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2618, 25jaodan 752 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
2711, 26sylan2 282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
284, 5xaddcld 9508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
2928adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
3012, 29eqeltrd 2176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
314, 6xaddcld 9508 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3231adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
3319, 32eqeltrd 2176 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3430, 33jaodan 752 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐵) ∨ 𝑥 = (𝐴 +𝑒 𝐶))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3511, 34sylan2 282 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → 𝑥 ∈ ℝ*)
369adantr 272 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
37 xrlenlt 7701 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3835, 36, 37syl2anc 406 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → (𝑥 ≤ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥))
3927, 38mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
403, 39syl3anl1 1232 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}) → ¬ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) < 𝑥)
4133ad2ant1 970 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4241adantr 272 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4342adantr 272 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
44 simpl2 953 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4544adantr 272 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4643, 45xaddcld 9508 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ*)
47 prid1g 3574 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
4846, 47syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
49 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵)
50 simprl 501 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
5142xnegcld 9479 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
5250, 51xaddcld 9508 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
5352adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
54 simpl1 952 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐴 ∈ ℝ)
5554adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
56 xltadd1 9500 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5753, 45, 55, 56syl3anc 1184 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴)))
5849, 57mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐵 +𝑒 𝐴))
59 xnpcan 9496 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6050, 54, 59syl2anc 406 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
6160adantr 272 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
62 xaddcom 9485 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6345, 43, 62syl2anc 406 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → (𝐵 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐵))
6458, 61, 633brtr3d 3904 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵))
65 breq2 3879 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐵) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)))
6665rspcev 2744 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐵) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6748, 64, 66syl2anc 406 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
6854adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
6968, 3syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ*)
70 simpl3 954 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7170adantr 272 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ*)
7269, 71xaddcld 9508 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ*)
73 prid2g 3575 . . . . 5 ((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ ℝ* → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
7472, 73syl 14 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)})
75 simpr 109 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)
7652adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*)
77 xltadd1 9500 . . . . . . 7 (((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7876, 71, 68, 77syl3anc 1184 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶 ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴)))
7975, 78mpbid 146 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) < (𝐶 +𝑒 𝐴))
8060adantr 272 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) +𝑒 𝐴) = 𝑥)
81 xaddcom 9485 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8271, 69, 81syl2anc 406 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → (𝐶 +𝑒 𝐴) = (𝐴 +𝑒 𝐶))
8379, 80, 823brtr3d 3904 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶))
84 breq2 3879 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 +𝑒 𝐶) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)))
8584rspcev 2744 . . . 4 (((𝐴 +𝑒 𝐶) ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)} ∧ 𝑥 < (𝐴 +𝑒 𝐶)) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
8674, 83, 85syl2anc 406 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
87 simprr 502 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → 𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
8810adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ*)
89 rexneg 9454 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
90893ad2ant1 970 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9190adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 = -𝐴)
9254renegcld 8009 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝐴 ∈ ℝ)
9391, 92eqeltrd 2176 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ)
94 xltadd1 9500 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9550, 88, 93, 94syl3anc 1184 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) ↔ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴)))
9687, 95mpbid 146 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴))
973, 8syl3an1 1217 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
9897adantr 272 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
99 xaddcom 9485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
10042, 98, 99syl2anc 406 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) = (sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴))
101100oveq1d 5721 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )) +𝑒 -𝑒𝐴) = ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
10296, 101breqtrd 3899 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴))
103 xpncan 9495 . . . . . 6 ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
10498, 54, 103syl2anc 406 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) +𝑒 𝐴) +𝑒 -𝑒𝐴) = sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
105102, 104breqtrd 3899 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ))
106 xrltmaxsup 10865 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) ∈ ℝ*) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
10744, 70, 52, 106syl3anc 1184 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < ) ↔ ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶)))
108105, 107mpbid 146 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ((𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐵 ∨ (𝑥 +𝑒 -𝑒𝐴) < 𝐶))
10967, 86, 108mpjaodan 753 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))) → ∃𝑦 ∈ {(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}𝑥 < 𝑦)
1102, 10, 40, 109eqsuptid 6799 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → sup({(𝐴 +𝑒 𝐵), (𝐴 +𝑒 𝐶)}, ℝ*, < ) = (𝐴 +𝑒 sup({𝐵, 𝐶}, ℝ*, < )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670  w3a 930   = wceq 1299  wcel 1448  wrex 2376  {cpr 3475   class class class wbr 3875  (class class class)co 5706  supcsup 6784  cr 7499  *cxr 7671   < clt 7672  cle 7673  -cneg 7805  -𝑒cxne 9397   +𝑒 cxad 9398
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-xadd 9401  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  10869
  Copyright terms: Public domain W3C validator