Theorem unexg 4535

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889

This theorem is referenced by:  tpexg  4536  eldifpw  4569  ifelpwung  4573  xpexg  4835  tposexg  6415  tfrlemisucaccv  6482  tfrlemibxssdm  6484  tfrlemibfn  6485  tfr1onlemsucaccv  6498  tfr1onlembxssdm  6500  tfr1onlembfn  6501  tfrcllemsucaccv  6511  tfrcllembxssdm  6513  tfrcllembfn  6514  rdgtfr  6531  rdgruledefgg  6532  rdgivallem  6538  djuex  7226  zfz1isolem1  11080  ennnfonelemp1  12998  setsvalg  13083  setsex  13085  setsslid  13104  strleund  13157  prdsex  13323  prdsval  13327  igsumvalx  13443  psrval  14651  plyval  15427  elply2  15430  plyss  15433  plyco  15454  plycj  15456  uhgrunop  15908  upgrunop  15946  umgrunop  15948