Theorem unexg 4497

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2785	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2785	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4496	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∪ cun 3168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-sn 3643  df-pr 3644  df-uni 3856

This theorem is referenced by:  tpexg  4498  eldifpw  4531  ifelpwung  4535  xpexg  4796  tposexg  6356  tfrlemisucaccv  6423  tfrlemibxssdm  6425  tfrlemibfn  6426  tfr1onlemsucaccv  6439  tfr1onlembxssdm  6441  tfr1onlembfn  6442  tfrcllemsucaccv  6452  tfrcllembxssdm  6454  tfrcllembfn  6455  rdgtfr  6472  rdgruledefgg  6473  rdgivallem  6479  djuex  7159  zfz1isolem1  11002  ennnfonelemp1  12847  setsvalg  12932  setsex  12934  setsslid  12953  strleund  13005  prdsex  13171  prdsval  13175  igsumvalx  13291  psrval  14498  plyval  15274  elply2  15277  plyss  15280  plyco  15301  plycj  15303  uhgrunop  15753  upgrunop  15788  umgrunop  15790