Theorem unexg 4540

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2814	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4539	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894

This theorem is referenced by:  tpexg  4541  eldifpw  4574  ifelpwung  4578  xpexg  4840  tposexg  6424  tfrlemisucaccv  6491  tfrlemibxssdm  6493  tfrlemibfn  6494  tfr1onlemsucaccv  6507  tfr1onlembxssdm  6509  tfr1onlembfn  6510  tfrcllemsucaccv  6520  tfrcllembxssdm  6522  tfrcllembfn  6523  rdgtfr  6540  rdgruledefgg  6541  rdgivallem  6547  djuex  7242  zfz1isolem1  11105  ennnfonelemp1  13032  setsvalg  13117  setsex  13119  setsslid  13138  strleund  13191  prdsex  13357  prdsval  13361  igsumvalx  13477  psrval  14686  plyval  15462  elply2  15465  plyss  15468  plyco  15489  plycj  15491  uhgrunop  15944  upgrunop  15984  umgrunop  15986