Theorem unexg 4478

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2774	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4477	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pr 4242  ax-un 4468

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840

This theorem is referenced by:  tpexg  4479  eldifpw  4512  ifelpwung  4516  xpexg  4777  tposexg  6316  tfrlemisucaccv  6383  tfrlemibxssdm  6385  tfrlemibfn  6386  tfr1onlemsucaccv  6399  tfr1onlembxssdm  6401  tfr1onlembfn  6402  tfrcllemsucaccv  6412  tfrcllembxssdm  6414  tfrcllembfn  6415  rdgtfr  6432  rdgruledefgg  6433  rdgivallem  6439  djuex  7109  zfz1isolem1  10932  ennnfonelemp1  12623  setsvalg  12708  setsex  12710  setsslid  12729  strleund  12781  prdsex  12940  igsumvalx  13032  psrval  14220  plyval  14968  elply2  14971  plyss  14974  plyco  14995  plycj  14997