Theorem unexg 4587

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3714  df-pr 3715  df-uni 3934

This theorem is referenced by:  tpexg  4588  eldifpw  4621  ifelpwung  4625  xpexg  4887  unexd  4890  tposexg  6523  tfrlemisucaccv  6590  tfrlemibxssdm  6592  tfrlemibfn  6593  tfr1onlemsucaccv  6606  tfr1onlembxssdm  6608  tfr1onlembfn  6609  tfrcllemsucaccv  6619  tfrcllembxssdm  6621  tfrcllembfn  6622  rdgtfr  6639  rdgruledefgg  6640  rdgivallem  6646  djuex  7377  hashfibclem  11265  hashf1lem1  11268  zfz1isolem1  11275  ennnfonelemp1  13280  setsvalg  13365  setsex  13367  setsslid  13386  strleund  13440  gzsumvalx  13692  prdsex  14155  prdsval  14156  psrval  15033  plyval  15816  elply2  15819  plyss  15822  plyco  15843  plycj  15845  uhgrunop  16311  upgrunop  16351  umgrunop  16353