Theorem unexg 4531

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2811	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4530	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888

This theorem is referenced by:  tpexg  4532  eldifpw  4565  ifelpwung  4569  xpexg  4830  tposexg  6394  tfrlemisucaccv  6461  tfrlemibxssdm  6463  tfrlemibfn  6464  tfr1onlemsucaccv  6477  tfr1onlembxssdm  6479  tfr1onlembfn  6480  tfrcllemsucaccv  6490  tfrcllembxssdm  6492  tfrcllembfn  6493  rdgtfr  6510  rdgruledefgg  6511  rdgivallem  6517  djuex  7198  zfz1isolem1  11049  ennnfonelemp1  12963  setsvalg  13048  setsex  13050  setsslid  13069  strleund  13122  prdsex  13288  prdsval  13292  igsumvalx  13408  psrval  14615  plyval  15391  elply2  15394  plyss  15397  plyco  15418  plycj  15420  uhgrunop  15872  upgrunop  15910  umgrunop  15912