Theorem unexg 4591

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4590	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936

This theorem is used by:  tpexg  4592  eldifpw  4625  ifelpwung  4629  xpexg  4891  unexd  4894  tposexg  6533  tfrlemisucaccv  6600  tfrlemibxssdm  6602  tfrlemibfn  6603  tfr1onlemsucaccv  6616  tfr1onlembxssdm  6618  tfr1onlembfn  6619  tfrcllemsucaccv  6629  tfrcllembxssdm  6631  tfrcllembfn  6632  rdgtfr  6649  rdgruledefgg  6650  rdgivallem  6656  djuex  7390  hashfibclem  11305  hashf1lem1  11308  zfz1isolem1  11315  ennnfonelemp1  13356  setsvalg  13441  setsex  13443  setsslid  13462  strleund  13517  gzsumvalx  13769  prdsex  14280  prdsval  14281  psrval  15162  plyval  15970  elply2  15973  plyss  15976  plyco  15997  plycj  15999  uhgrunop  16545  upgrunop  16585  umgrunop  16587