Theorem unexg 4569

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2827	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2827	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-uni 3920

This theorem is referenced by:  tpexg  4570  eldifpw  4603  ifelpwung  4607  xpexg  4869  unexd  4872  tposexg  6502  tfrlemisucaccv  6569  tfrlemibxssdm  6571  tfrlemibfn  6572  tfr1onlemsucaccv  6585  tfr1onlembxssdm  6587  tfr1onlembfn  6588  tfrcllemsucaccv  6598  tfrcllembxssdm  6600  tfrcllembfn  6601  rdgtfr  6618  rdgruledefgg  6619  rdgivallem  6625  djuex  7347  hashfibclem  11231  zfz1isolem1  11237  ennnfonelemp1  13241  setsvalg  13326  setsex  13328  setsslid  13347  strleund  13400  prdsex  13566  prdsval  13570  igsumvalx  13686  psrval  14926  plyval  15709  elply2  15712  plyss  15715  plyco  15736  plycj  15738  uhgrunop  16194  upgrunop  16234  umgrunop  16236