Theorem unexg 4546

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2815	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2815	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4545	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899

This theorem is referenced by:  tpexg  4547  eldifpw  4580  ifelpwung  4584  xpexg  4846  tposexg  6467  tfrlemisucaccv  6534  tfrlemibxssdm  6536  tfrlemibfn  6537  tfr1onlemsucaccv  6550  tfr1onlembxssdm  6552  tfr1onlembfn  6553  tfrcllemsucaccv  6563  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllembfn  6566  rdgtfr  6583  rdgruledefgg  6584  rdgivallem  6590  djuex  7285  zfz1isolem1  11148  ennnfonelemp1  13088  setsvalg  13173  setsex  13175  setsslid  13194  strleund  13247  prdsex  13413  prdsval  13417  igsumvalx  13533  psrval  14742  plyval  15523  elply2  15526  plyss  15529  plyco  15550  plycj  15552  uhgrunop  16008  upgrunop  16048  umgrunop  16050