Theorem unexg 4589

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2833	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4588	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-uni 3936

This theorem is used by:  tpexg  4590  eldifpw  4623  ifelpwung  4627  xpexg  4889  unexd  4892  tposexg  6529  tfrlemisucaccv  6596  tfrlemibxssdm  6598  tfrlemibfn  6599  tfr1onlemsucaccv  6612  tfr1onlembxssdm  6614  tfr1onlembfn  6615  tfrcllemsucaccv  6625  tfrcllembxssdm  6627  tfrcllembfn  6628  rdgtfr  6645  rdgruledefgg  6646  rdgivallem  6652  djuex  7383  hashfibclem  11284  hashf1lem1  11287  zfz1isolem1  11294  ennnfonelemp1  13299  setsvalg  13384  setsex  13386  setsslid  13405  strleund  13459  gzsumvalx  13711  prdsex  14174  prdsval  14175  psrval  15052  plyval  15835  elply2  15838  plyss  15841  plyco  15862  plycj  15864  uhgrunop  16340  upgrunop  16380  umgrunop  16382