Theorem unexg 4563

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2824	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2824	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4562	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∪ cun 3208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-sn 3694  df-pr 3695  df-uni 3914

This theorem is referenced by:  tpexg  4564  eldifpw  4597  ifelpwung  4601  xpexg  4863  unexd  4866  tposexg  6488  tfrlemisucaccv  6555  tfrlemibxssdm  6557  tfrlemibfn  6558  tfr1onlemsucaccv  6571  tfr1onlembxssdm  6573  tfr1onlembfn  6574  tfrcllemsucaccv  6584  tfrcllembxssdm  6586  tfrcllembfn  6587  rdgtfr  6604  rdgruledefgg  6605  rdgivallem  6611  djuex  7333  hashfibclem  11202  zfz1isolem1  11208  ennnfonelemp1  13149  setsvalg  13234  setsex  13236  setsslid  13255  strleund  13308  prdsex  13474  prdsval  13478  igsumvalx  13594  psrval  14806  plyval  15589  elply2  15592  plyss  15595  plyco  15616  plycj  15618  uhgrunop  16074  upgrunop  16114  umgrunop  16116