Theorem unexg 4538

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2812	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2812	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4537	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 120	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 289	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∪ cun 3196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-uni 3892

This theorem is referenced by:  tpexg  4539  eldifpw  4572  ifelpwung  4576  xpexg  4838  tposexg  6419  tfrlemisucaccv  6486  tfrlemibxssdm  6488  tfrlemibfn  6489  tfr1onlemsucaccv  6502  tfr1onlembxssdm  6504  tfr1onlembfn  6505  tfrcllemsucaccv  6515  tfrcllembxssdm  6517  tfrcllembfn  6518  rdgtfr  6535  rdgruledefgg  6536  rdgivallem  6542  djuex  7236  zfz1isolem1  11097  ennnfonelemp1  13020  setsvalg  13105  setsex  13107  setsslid  13126  strleund  13179  prdsex  13345  prdsval  13349  igsumvalx  13465  psrval  14673  plyval  15449  elply2  15452  plyss  15455  plyco  15476  plycj  15478  uhgrunop  15931  upgrunop  15971  umgrunop  15973