Theorem unexg 4359

Description: A union of two sets is a set. Corollary 5.8 of [TakeutiZaring] p. 16. (Contributed by NM, 18-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
unexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem unexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
2		elex 2692	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
3		unexb 4358	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ↔ (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4	3	biimpi 119	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	syl2an 287	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∪ cun 3064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pr 4126  ax-un 4350

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-sn 3528  df-pr 3529  df-uni 3732

This theorem is referenced by:  tpexg  4360  eldifpw  4393  xpexg  4648  tposexg  6148  tfrlemisucaccv  6215  tfrlemibxssdm  6217  tfrlemibfn  6218  tfr1onlemsucaccv  6231  tfr1onlembxssdm  6233  tfr1onlembfn  6234  tfrcllemsucaccv  6244  tfrcllembxssdm  6246  tfrcllembfn  6247  rdgtfr  6264  rdgruledefgg  6265  rdgivallem  6271  djuex  6921  zfz1isolem1  10576  ennnfonelemp1  11908  setsvalg  11978  setsex  11980  setsslid  11998  strleund  12036