Theorem grpmnd 13383

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2206	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2206	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13382	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  Basecbs 12876  +_gcplusg 12953  0_gc0g 13132  Mndcmnd 13292  Grpcgrp 13376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2188

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-un 3171  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-br 4048  df-iota 5237  df-fv 5284  df-ov 5954  df-grp 13379

This theorem is referenced by:  grpcl  13384  grpass  13385  grpideu  13387  grpmndd  13389  grpplusf  13391  grpplusfo  13392  grpsgrp  13401  dfgrp2  13403  grpidcl  13405  grplid  13407  grprid  13408  dfgrp3m  13475  prdsgrpd  13485  prdsinvgd  13486  mulgaddcom  13526  mulginvcom  13527  mulgz  13530  mulgneg2  13536  mulgass  13539  issubg3  13572  grpissubg  13574  0subg  13579  ghmex  13635  0ghm  13638  isabl2  13674