Theorem grpmnd 13583

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2229	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2229	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13582	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  Basecbs 13075  +_gcplusg 13153  0_gc0g 13332  Mndcmnd 13492  Grpcgrp 13576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016  df-grp 13579

This theorem is referenced by:  grpcl  13584  grpass  13585  grpideu  13587  grpmndd  13589  grpplusf  13591  grpplusfo  13592  grpsgrp  13601  dfgrp2  13603  grpidcl  13605  grplid  13607  grprid  13608  dfgrp3m  13675  prdsgrpd  13685  prdsinvgd  13686  mulgaddcom  13726  mulginvcom  13727  mulgz  13730  mulgneg2  13736  mulgass  13739  issubg3  13772  grpissubg  13774  0subg  13779  ghmex  13835  0ghm  13838  isabl2  13874