Theorem grpmnd 13651

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2231	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2231	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13650	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ∃wrex 2512  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  0_gc0g 13400  Mndcmnd 13560  Grpcgrp 13644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031  df-grp 13647

This theorem is referenced by:  grpcl  13652  grpass  13653  grpideu  13655  grpmndd  13657  grpplusf  13659  grpplusfo  13660  grpsgrp  13669  dfgrp2  13671  grpidcl  13673  grplid  13675  grprid  13676  dfgrp3m  13743  prdsgrpd  13753  prdsinvgd  13754  mulgaddcom  13794  mulginvcom  13795  mulgz  13798  mulgneg2  13804  mulgass  13807  issubg3  13840  grpissubg  13842  0subg  13847  ghmex  13903  0ghm  13906  isabl2  13942