Theorem grpmnd 13712

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2232	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2232	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13711	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∀wral 2520  ∃wrex 2521  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  Basecbs 13204  +_gcplusg 13282  0_gc0g 13461  Mndcmnd 13621  Grpcgrp 13705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-un 3214  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-iota 5311  df-fv 5359  df-ov 6052  df-grp 13708

This theorem is referenced by:  grpcl  13713  grpass  13714  grpideu  13716  grpmndd  13718  grpplusf  13720  grpplusfo  13721  grpsgrp  13730  dfgrp2  13732  grpidcl  13734  grplid  13736  grprid  13737  dfgrp3m  13804  prdsgrpd  13814  prdsinvgd  13815  mulgaddcom  13855  mulginvcom  13856  mulgz  13859  mulgneg2  13865  mulgass  13868  issubg3  13901  grpissubg  13903  0subg  13908  ghmex  13964  0ghm  13967  isabl2  14003