Theorem grpmnd 13082

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2193	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2193	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13081	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  Basecbs 12621  +_gcplusg 12698  0_gc0g 12870  Mndcmnd 13000  Grpcgrp 13075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-un 3158  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922  df-grp 13078

This theorem is referenced by:  grpcl  13083  grpass  13084  grpideu  13086  grpmndd  13088  grpplusf  13090  grpplusfo  13091  grpsgrp  13100  dfgrp2  13102  grpidcl  13104  grplid  13106  grprid  13107  dfgrp3m  13174  mulgaddcom  13219  mulginvcom  13220  mulgz  13223  mulgneg2  13229  mulgass  13232  issubg3  13265  grpissubg  13267  0subg  13272  ghmex  13328  0ghm  13331  isabl2  13367