Theorem grpmnd 13211

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2196	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2196	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13210	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  Basecbs 12705  +_gcplusg 12782  0_gc0g 12960  Mndcmnd 13120  Grpcgrp 13204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928  df-grp 13207

This theorem is referenced by:  grpcl  13212  grpass  13213  grpideu  13215  grpmndd  13217  grpplusf  13219  grpplusfo  13220  grpsgrp  13229  dfgrp2  13231  grpidcl  13233  grplid  13235  grprid  13236  dfgrp3m  13303  prdsgrpd  13313  prdsinvgd  13314  mulgaddcom  13354  mulginvcom  13355  mulgz  13358  mulgneg2  13364  mulgass  13367  issubg3  13400  grpissubg  13402  0subg  13407  ghmex  13463  0ghm  13466  isabl2  13502