Theorem grpmnd 12816

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2177	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2177	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2177	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 12815	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  ‘cfv 5215  (class class class)co 5872  Basecbs 12454  +_gcplusg 12528  0_gc0g 12693  Mndcmnd 12749  Grpcgrp 12809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-un 3133  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-iota 5177  df-fv 5223  df-ov 5875  df-grp 12812

This theorem is referenced by:  grpcl  12817  grpass  12818  grpideu  12820  grpmndd  12821  grpplusf  12823  grpplusfo  12824  grpsgrp  12833  dfgrp2  12834  grpidcl  12836  grplid  12838  grprid  12839  dfgrp3m  12901  mulgaddcom  12938  mulginvcom  12939  mulgz  12942  mulgneg2  12948  mulgass  12951  issubg3  12983  grpissubg  12985  0subg  12990  isabl2  13028