Theorem grpmnd 13795

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2238	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2238	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 13794	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 274	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  Basecbs 13335  +_gcplusg 13414  0_gc0g 13593  Mndcmnd 13712  Grpcgrp 13788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082  df-grp 13791

This theorem is referenced by:  grpcl  13796  grpass  13797  grpideu  13799  grpmndd  13801  grpplusf  13803  grpplusfo  13804  grpsgrp  13813  dfgrp2  13815  grpidcl  13817  grplid  13819  grprid  13820  dfgrp3m  13887  mulgaddcom  13932  mulginvcom  13933  mulgz  13936  mulgneg2  13942  mulgass  13945  issubg3  13978  grpissubg  13980  0subg  13985  ghmex  14041  0ghm  14044  isabl2  14080  prdsgrpd  14180  prdsinvgd  14181