Theorem grpmnd 12715

Description: A group is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
grpmnd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem grpmnd

Dummy variables 𝑚 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2170	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2170	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2170	. . 3 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isgrp 12714	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp ↔ (𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐺)∃𝑚 ∈ (Base‘𝐺)(𝑚(+g‘𝐺)𝑎) = (0g‘𝐺)))
5	4	simplbi 272	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  0_gc0g 12596  Mndcmnd 12652  Grpcgrp 12708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856  df-grp 12711

This theorem is referenced by:  grpcl  12716  grpass  12717  grpideu  12719  grpmndd  12720  grpplusf  12722  grpplusfo  12723  grpsgrp  12731  dfgrp2  12732  grpidcl  12734  grplid  12736  grprid  12737