Theorem mo4 2061

Description: "At most one" expressed using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo4.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
mo4	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem mo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1509	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		mo4.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	mo4f 2060	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1330  ∃*wmo 2001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004

This theorem is referenced by:  eu4  2062  rmo4  2881  dffun5r  5143  dffun6f  5144  fun11  5198  brprcneu  5422  dff13  5677  mpofun  5881  caovimo  5972  th3qlem1  6539  addnq0mo  7279  mulnq0mo  7280  addsrmo  7575  mulsrmo  7576  summodc  11184  prodmodc  11379  limcimo  12842