Theorem mo4 2148

Description: "At most one" expressed using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo4.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
mo4	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem mo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		mo4.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	mo4f 2147	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1400  ∃*wmo 2087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090

This theorem is used by:  eu4  2149  rmo4  3019  dffun5r  5389  dffun6f  5390  fun11  5448  brprcneu  5688  dff13  5974  mpofun  6190  caovimo  6283  th3qlem1  6911  exmidmotap  7627  addnq0mo  7814  mulnq0mo  7815  addsrmo  8110  mulsrmo  8111  summodc  12150  prodmodc  12345  limcimo  15766