Theorem mo4 2117

Description: "At most one" expressed using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-Jul-1995.)

Hypothesis

Ref	Expression
mo4.1	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))

Assertion

Ref	Expression
mo4	⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)

Proof of Theorem mo4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1552	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
2		mo4.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
3	1, 2	mo4f 2116	1 ⊢ (∃*𝑥𝜑 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑥 = 𝑦))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1371  ∃*wmo 2056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059

This theorem is referenced by:  eu4  2118  rmo4  2974  dffun5r  5303  dffun6f  5304  fun11  5361  brprcneu  5593  dff13  5862  mpofun  6072  caovimo  6165  th3qlem1  6749  exmidmotap  7410  addnq0mo  7597  mulnq0mo  7598  addsrmo  7893  mulsrmo  7894  summodc  11855  prodmodc  12050  limcimo  15298