Theorem limcimo 15656

Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
limcimo.bs	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
limcimo.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
limcimo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca	⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
limcimo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐵,𝑞   𝐶,𝑞   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑥,𝑞)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem limcimo

Dummy variables 𝑒 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
2	1	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
3	2	rexralbidv 2570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
4		limcflf.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		limcimo.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	ellimc3ap 15652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))))
8	7	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
9	8	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
10	9	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
12	9	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	4, 5, 6	ellimc3ap 15652	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
16	15	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
17	16	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	13, 18	subcld 8600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
21	13, 18, 20	subap0d 8935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) # 0)
22	19, 21	absrpclapd 11898	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 10060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) ∈ ℝ+)
24	3, 11, 23	rspcdva 2928	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
25		breq2 4118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
26	25	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
27	26	rexralbidv 2570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
28	16	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
30	27, 29, 23	rspcdva 2928	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
32	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
33	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		limcimo.bc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
36	35	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝐶)
37		limcimo.bs	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
38	37	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
39		limcimo.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
40	39	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
41		limcimo.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42	41	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
43		limcimo.ca	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
44	43	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
45		limcflfcntop.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
46		simplrl 537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
47		simprl 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
49		simprr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
51		simplrr 538	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
52		simprl 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
53		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
54	32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53	limcimolemlt 15655	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
55	31, 54	rexlimddv 2667	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
56	24, 55	rexlimddv 2667	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
57	22	rpred 10047	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
58	57	ltnrd 8401	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
59	56, 58	pm2.65da 667	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
60		apti 8913	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
61	12, 17, 60	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
62	59, 61	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
63	62	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
64	63	alrimivv 1924	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
65		eleq1w 2295	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	mo4 2144	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
67	64, 66	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∃*wmo 2083   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526   ⊆ wss 3214  {cpr 3695   class class class wbr 4114   ∘ ccom 4758  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  ℝcr 8142   < clt 8324   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  2c2 9305  ℝ⁺crp 10004  abscabs 11707   ↾_t crest 13536  MetOpencmopn 14815   lim_ℂ climc 15645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-map 6897  df-pm 6898  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-rest 13538  df-topgen 13557  df-psmet 14817  df-xmet 14818  df-met 14819  df-bl 14820  df-mopn 14821  df-top 14989  df-topon 15002  df-bases 15034  df-limced 15647

This theorem is referenced by:  dvfgg  15679