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Theorem limcimo 14173
Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐡. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limcflf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
limcflf.a (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
limcimo.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
limcimo.bc (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐢)
limcimo.bs (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
limcimo.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑆))
limcimo.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
limcimo.ca (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} βŠ† 𝐴)
limcflfcntop.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
Assertion
Ref Expression
limcimo (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   𝐡,π‘ž   𝐢,π‘ž   π‘₯,𝐹   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘ž)   𝐴(π‘₯,π‘ž)   𝐢(π‘₯)   𝑆(π‘₯,π‘ž)   𝐹(π‘ž)   𝐾(π‘₯,π‘ž)

Proof of Theorem limcimo
Dummy variables 𝑒 𝑧 𝑓 𝑔 𝑀 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4009 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
21imbi2d 230 . . . . . . . . 9 (𝑒 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ (((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2))))
32rexralbidv 2503 . . . . . . . 8 (𝑒 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2))))
4 limcflf.f . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
5 limcflf.a . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
6 limcimo.b . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
74, 5, 6ellimc3ap 14169 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒))))
87biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒)))
98adantrr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒)))
109simprd 114 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒))
1110adantr 276 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < 𝑒))
129simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1312adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
144, 5, 6ellimc3ap 14169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓))))
1514biimpa 296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓)))
1615adantrl 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ (𝑦 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓)))
1716simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1817adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1913, 18subcld 8270 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ β„‚)
20 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ π‘₯ # 𝑦)
2113, 18, 20subap0d 8603 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) # 0)
2219, 21absrpclapd 11199 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ+)
2322rphalfcld 9711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) ∈ ℝ+)
243, 11, 23rspcdva 2848 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
25 breq2 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
2625imbi2d 230 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ (((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓) ↔ ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2))))
2726rexralbidv 2503 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓) ↔ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2))))
2816simprd 114 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓))
2928adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < 𝑓))
3027, 29, 23rspcdva 2848 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
3130adantr 276 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
324ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
335ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
346ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
35 limcimo.bc . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐢)
3635ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝐢)
37 limcimo.bs . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
3837ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐡 ∈ 𝑆)
39 limcimo.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑆))
4039ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝐢 ∈ (𝐾 β†Ύt 𝑆))
41 limcimo.s . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
4241ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
43 limcimo.ca . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} βŠ† 𝐴)
4443ad4antr 494 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ {π‘ž ∈ 𝐢 ∣ π‘ž # 𝐡} βŠ† 𝐴)
45 limcflfcntop.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
46 simplrl 535 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
47 simprl 529 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
49 simprr 531 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
5049ad3antrrr 492 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
51 simplrr 536 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
52 simprl 529 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ 𝑔 ∈ ℝ+)
53 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))
5432, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53limcimolemlt 14172 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐴 ((𝑀 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘€) βˆ’ 𝑦)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
5531, 54rexlimddv 2599 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ π‘₯)) < ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) / 2)))) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
5624, 55rexlimddv 2599 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
5722rpred 9698 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ∈ ℝ)
5857ltnrd 8071 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) ∧ π‘₯ # 𝑦) β†’ Β¬ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) < (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
5956, 58pm2.65da 661 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ Β¬ π‘₯ # 𝑦)
60 apti 8581 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ Β¬ π‘₯ # 𝑦))
6112, 17, 60syl2anc 411 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ (π‘₯ = 𝑦 ↔ Β¬ π‘₯ # 𝑦))
6259, 61mpbird 167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))) β†’ π‘₯ = 𝑦)
6362ex 115 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝑦))
6463alrimivv 1875 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝑦))
65 eleq1w 2238 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)))
6665mo4 2087 . 2 (βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ βˆ€π‘₯βˆ€π‘¦((π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡)) β†’ π‘₯ = 𝑦))
6764, 66sylibr 134 1 (πœ‘ β†’ βˆƒ*π‘₯ π‘₯ ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  βˆ€wal 1351   = wceq 1353  βˆƒ*wmo 2027   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456  {crab 2459   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005   ∘ ccom 4632  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  β„‚cc 7811  β„cr 7812   < clt 7994   βˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  2c2 8972  β„+crp 9655  abscabs 11008   β†Ύt crest 12693  MetOpencmopn 13484   limβ„‚ climc 14162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13486  df-xmet 13487  df-met 13488  df-bl 13489  df-mopn 13490  df-top 13537  df-topon 13550  df-bases 13582  df-limced 14164
This theorem is referenced by:  dvfgg  14196
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