Theorem limcimo 14985

Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
limcimo.bs	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
limcimo.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
limcimo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca	⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
limcimo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐵,𝑞   𝐶,𝑞   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑥,𝑞)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem limcimo

Dummy variables 𝑒 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
2	1	imbi2d 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
3	2	rexralbidv 2523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
4		limcflf.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		limcimo.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	ellimc3ap 14981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))))
8	7	biimpa 296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
9	8	adantrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
10	9	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
12	9	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	4, 5, 6	ellimc3ap 14981	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))))
15	14	biimpa 296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
16	15	adantrl 478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
17	16	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	13, 18	subcld 8354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
21	13, 18, 20	subap0d 8688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) # 0)
22	19, 21	absrpclapd 11370	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 9801	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) ∈ ℝ+)
24	3, 11, 23	rspcdva 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
25		breq2 4038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
26	25	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
27	26	rexralbidv 2523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
28	16	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
29	28	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
30	27, 29, 23	rspcdva 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
31	30	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
32	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
33	5	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	6	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		limcimo.bc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
36	35	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝐶)
37		limcimo.bs	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
38	37	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
39		limcimo.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
40	39	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
41		limcimo.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42	41	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
43		limcimo.ca	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
44	43	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
45		limcflfcntop.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
46		simplrl 535	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
47		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
49		simprr 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
51		simplrr 536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
52		simprl 529	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
53		simprr 531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
54	32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53	limcimolemlt 14984	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
55	31, 54	rexlimddv 2619	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
56	24, 55	rexlimddv 2619	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
57	22	rpred 9788	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
58	57	ltnrd 8155	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
59	56, 58	pm2.65da 662	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
60		apti 8666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
61	12, 17, 60	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
62	59, 61	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
63	62	ex 115	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
64	63	alrimivv 1889	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
65		eleq1w 2257	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	mo4 2106	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
67	64, 66	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃*wmo 2046   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157  {cpr 3624   class class class wbr 4034   ∘ ccom 4668  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  ℝcr 7895   < clt 8078   − cmin 8214   # cap 8625   / cdiv 8716  2c2 9058  ℝ⁺crp 9745  abscabs 11179   ↾_t crest 12941  MetOpencmopn 14173   lim_ℂ climc 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-map 6718  df-pm 6719  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-xneg 9864  df-xadd 9865  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-rest 12943  df-topgen 12962  df-psmet 14175  df-xmet 14176  df-met 14177  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-top 14318  df-topon 14331  df-bases 14363  df-limced 14976

This theorem is referenced by:  dvfgg  15008