Theorem limcimo 12803

Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
limcimo.bs	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
limcimo.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
limcimo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca	⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
limcimo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐵,𝑞   𝐶,𝑞   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑥,𝑞)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem limcimo

Dummy variables 𝑒 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
2	1	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
3	2	rexralbidv 2461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
4		limcflf.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		limcimo.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	ellimc3ap 12799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))))
8	7	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
9	8	adantrr 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
10	9	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
11	10	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
12	9	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	4, 5, 6	ellimc3ap 12799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))))
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
16	15	adantrl 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
17	16	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	13, 18	subcld 8073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
21	13, 18, 20	subap0d 8406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) # 0)
22	19, 21	absrpclapd 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 9496	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) ∈ ℝ+)
24	3, 11, 23	rspcdva 2794	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
25		breq2 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
26	25	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
27	26	rexralbidv 2461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
28	16	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
30	27, 29, 23	rspcdva 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
32	4	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
33	5	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	6	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		limcimo.bc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
36	35	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝐶)
37		limcimo.bs	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
38	37	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
39		limcimo.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
40	39	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
41		limcimo.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42	41	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
43		limcimo.ca	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
44	43	ad4antr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
45		limcflfcntop.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
46		simplrl 524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
47		simprl 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
48	47	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
49		simprr 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
50	49	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
51		simplrr 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
52		simprl 520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
53		simprr 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
54	32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53	limcimolemlt 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
55	31, 54	rexlimddv 2554	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
56	24, 55	rexlimddv 2554	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
57	22	rpred 9483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
58	57	ltnrd 7875	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
59	56, 58	pm2.65da 650	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
60		apti 8384	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
61	12, 17, 60	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
62	59, 61	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
63	62	ex 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
64	63	alrimivv 1847	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
65		eleq1w 2200	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	mo4 2060	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
67	64, 66	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1329   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃*wmo 2000  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ⊆ wss 3071  {cpr 3528   class class class wbr 3929   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  ℝcr 7619   < clt 7800   − cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432  2c2 8771  ℝ⁺crp 9441  abscabs 10769   ↾_t crest 12120  MetOpencmopn 12154   lim_ℂ climc 12792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-limced 12794

This theorem is referenced by:  dvfgg  12826