Theorem limcimo 13274

Description: Conditions which ensure there is at most one limit value of 𝐹 at 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limcflf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
limcflf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
limcimo.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
limcimo.bc	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
limcimo.bs	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
limcimo.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
limcimo.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
limcimo.ca	⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
limcflfcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))

Assertion

Ref	Expression
limcimo	⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝐵,𝑞   𝐶,𝑞   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝐴(𝑥,𝑞)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐾(𝑥,𝑞)

Proof of Theorem limcimo

Dummy variables 𝑒 𝑧 𝑓 𝑔 𝑤 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
2	1	imbi2d 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
3	2	rexralbidv 2492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑒 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
4		limcflf.f	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5		limcflf.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
6		limcimo.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	ellimc3ap 13270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))))
8	7	biimpa 294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
9	8	adantrr 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒)))
10	9	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
11	10	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < 𝑒))
12	9	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ ℂ)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 ∈ ℂ)
14	4, 5, 6	ellimc3ap 13270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))))
15	14	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
16	15	adantrl 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓)))
17	16	simpld 111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	13, 18	subcld 8209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℂ)
20		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → 𝑥 # 𝑦)
21	13, 18, 20	subap0d 8542	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (𝑥 − 𝑦) # 0)
22	19, 21	absrpclapd 11130	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ+)
23	22	rphalfcld 9645	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) ∈ ℝ+)
24	3, 11, 23	rspcdva 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
25		breq2 3986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → ((abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
26	25	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
27	26	rexralbidv 2492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2) → (∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓) ↔ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2))))
28	16	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
29	28	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < 𝑓))
30	27, 29, 23	rspcdva 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
31	30	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
32	4	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
33	5	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
34	6	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ ℂ)
35		limcimo.bc	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐶)
36	35	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝐶)
37		limcimo.bs	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑆)
38	37	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐵 ∈ 𝑆)
39		limcimo.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
40	39	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝐶 ∈ (𝐾 ↾t 𝑆))
41		limcimo.s	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42	41	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
43		limcimo.ca	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
44	43	ad4antr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → {𝑞 ∈ 𝐶 ∣ 𝑞 # 𝐵} ⊆ 𝐴)
45		limcflfcntop.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
46		simplrl 525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑑 ∈ ℝ+)
47		simprl 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
48	47	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
49		simprr 522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
50	49	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
51		simplrr 526	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
52		simprl 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
53		simprr 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))
54	32, 33, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 50, 51, 52, 53	limcimolemlt 13273	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((𝑤 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑤 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘((𝐹‘𝑤) − 𝑦)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
55	31, 54	rexlimddv 2588	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) ∧ (𝑑 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝑥)) < ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) / 2)))) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
56	24, 55	rexlimddv 2588	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
57	22	rpred 9632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ∈ ℝ)
58	57	ltnrd 8010	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) ∧ 𝑥 # 𝑦) → ¬ (abs‘(𝑥 − 𝑦)) < (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
59	56, 58	pm2.65da 651	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → ¬ 𝑥 # 𝑦)
60		apti 8520	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
61	12, 17, 60	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ ¬ 𝑥 # 𝑦))
62	59, 61	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))) → 𝑥 = 𝑦)
63	62	ex 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
64	63	alrimivv 1863	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
65		eleq1w 2227	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)))
66	65	mo4 2075	. 2 ⊢ (∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵)) → 𝑥 = 𝑦))
67	64, 66	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → ∃*𝑥 𝑥 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104  ∀wal 1341   = wceq 1343  ∃*wmo 2015   ∈ wcel 2136  ∀wral 2444  ∃wrex 2445  {crab 2448   ⊆ wss 3116  {cpr 3577   class class class wbr 3982   ∘ ccom 4608  ⟶wf 5184  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  ℂcc 7751  ℝcr 7752   < clt 7933   − cmin 8069   # cap 8479   / cdiv 8568  2c2 8908  ℝ⁺crp 9589  abscabs 10939   ↾_t crest 12556  MetOpencmopn 12625   lim_ℂ climc 13263

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-map 6616  df-pm 6617  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-limced 13265

This theorem is referenced by:  dvfgg  13297