ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnq0mo GIF version

Theorem addnq0mo 7475
Description: There is at most one result from adding nonnegative fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
addnq0mo ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → ∃*𝑧𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴,𝑢,𝑣,𝑤,𝑧   𝑡,𝐵,𝑢,𝑣,𝑤,𝑧

Proof of Theorem addnq0mo
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑞 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enq0er 7463 . . . . . . . . . . . . . 14 ~Q0 Er (ω × N)
21a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → ~Q0 Er (ω × N))
3 nnnq0lem1 7474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑓N)) ∧ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑡N) ∧ (𝑔 ∈ ω ∧ N))) ∧ ((𝑤 ·o 𝑓) = (𝑣 ·o 𝑠) ∧ (𝑢 ·o ) = (𝑡 ·o 𝑔))))
4 addcmpblnq0 7471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑓N)) ∧ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑡N) ∧ (𝑔 ∈ ω ∧ N))) → (((𝑤 ·o 𝑓) = (𝑣 ·o 𝑠) ∧ (𝑢 ·o ) = (𝑡 ·o 𝑔)) → ⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩ ~Q0 ⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩))
54imp 124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣N) ∧ (𝑠 ∈ ω ∧ 𝑓N)) ∧ ((𝑢 ∈ ω ∧ 𝑡N) ∧ (𝑔 ∈ ω ∧ N))) ∧ ((𝑤 ·o 𝑓) = (𝑣 ·o 𝑠) ∧ (𝑢 ·o ) = (𝑡 ·o 𝑔))) → ⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩ ~Q0 ⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩)
63, 5syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → ⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩ ~Q0 ⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩)
72, 6erthi 6606 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )
8 simprlr 538 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )
9 simprrr 540 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )
107, 8, 93eqtr4d 2232 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))) → 𝑧 = 𝑞)
1110expr 375 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → (((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞))
1211exlimdvv 1909 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → (∃𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞))
1312exlimdvv 1909 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) ∧ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → (∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞))
1413ex 115 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) → (∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞)))
1514exlimdvv 1909 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → (∃𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) → (∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞)))
1615exlimdvv 1909 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → (∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) → (∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ) → 𝑧 = 𝑞)))
1716impd 254 . . . 4 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → ((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
1817alrimivv 1886 . . 3 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → ∀𝑧𝑞((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
19 opeq12 3795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → ⟨𝑤, 𝑣⟩ = ⟨𝑠, 𝑓⟩)
2019eceq1d 6594 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0 )
2120eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0 ))
2221anbi1d 465 . . . . . . . 8 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 )))
23 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → 𝑤 = 𝑠)
2423oveq1d 5910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (𝑤 ·o 𝑡) = (𝑠 ·o 𝑡))
25 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → 𝑣 = 𝑓)
2625oveq1d 5910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (𝑣 ·o 𝑢) = (𝑓 ·o 𝑢))
2724, 26oveq12d 5913 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → ((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)) = ((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)))
2825oveq1d 5910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (𝑣 ·o 𝑡) = (𝑓 ·o 𝑡))
2927, 28opeq12d 3801 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → ⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩ = ⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩)
3029eceq1d 6594 . . . . . . . . 9 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )
3130eqeq2d 2201 . . . . . . . 8 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0𝑞 = [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ))
3222, 31anbi12d 473 . . . . . . 7 ((𝑤 = 𝑠𝑣 = 𝑓) → (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )))
33 opeq12 3795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → ⟨𝑢, 𝑡⟩ = ⟨𝑔, ⟩)
3433eceq1d 6594 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 )
3534eqeq2d 2201 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ))
3635anbi2d 464 . . . . . . . 8 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 )))
37 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → 𝑡 = )
3837oveq2d 5911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (𝑠 ·o 𝑡) = (𝑠 ·o ))
39 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → 𝑢 = 𝑔)
4039oveq2d 5911 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (𝑓 ·o 𝑢) = (𝑓 ·o 𝑔))
4138, 40oveq12d 5913 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → ((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)) = ((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)))
4237oveq2d 5911 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (𝑓 ·o 𝑡) = (𝑓 ·o ))
4341, 42opeq12d 3801 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → ⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩ = ⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩)
4443eceq1d 6594 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )
4544eqeq2d 2201 . . . . . . . 8 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (𝑞 = [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))
4636, 45anbi12d 473 . . . . . . 7 ((𝑢 = 𝑔𝑡 = ) → (((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o 𝑡) +o (𝑓 ·o 𝑢)), (𝑓 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )))
4732, 46cbvex4v 1942 . . . . . 6 (∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 ))
4847anbi2i 457 . . . . 5 ((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) ↔ (∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )))
4948imbi1i 238 . . . 4 (((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞) ↔ ((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
50492albii 1482 . . 3 (∀𝑧𝑞((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞) ↔ ∀𝑧𝑞((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑠𝑓𝑔((𝐴 = [⟨𝑠, 𝑓⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑔, ⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑠 ·o ) +o (𝑓 ·o 𝑔)), (𝑓 ·o )⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
5118, 50sylibr 134 . 2 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → ∀𝑧𝑞((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
52 eqeq1 2196 . . . . 5 (𝑧 = 𝑞 → (𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ))
5352anbi2d 464 . . . 4 (𝑧 = 𝑞 → (((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )))
54534exbidv 1881 . . 3 (𝑧 = 𝑞 → (∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )))
5554mo4 2099 . 2 (∃*𝑧𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ↔ ∀𝑧𝑞((∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ) ∧ ∃𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑞 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 )) → 𝑧 = 𝑞))
5651, 55sylibr 134 1 ((𝐴 ∈ ((ω × N) / ~Q0 ) ∧ 𝐵 ∈ ((ω × N) / ~Q0 )) → ∃*𝑧𝑤𝑣𝑢𝑡((𝐴 = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q0𝐵 = [⟨𝑢, 𝑡⟩] ~Q0 ) ∧ 𝑧 = [⟨((𝑤 ·o 𝑡) +o (𝑣 ·o 𝑢)), (𝑣 ·o 𝑡)⟩] ~Q0 ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wal 1362   = wceq 1364  wex 1503  ∃*wmo 2039  wcel 2160  cop 3610   class class class wbr 4018  ωcom 4607   × cxp 4642  (class class class)co 5895   +o coa 6437   ·o comu 6438   Er wer 6555  [cec 6556   / cqs 6557  Ncnpi 7300   ~Q0 ceq0 7314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-mi 7334  df-enq0 7452
This theorem is referenced by:  addnnnq0  7477
  Copyright terms: Public domain W3C validator