Theorem mpteq2ia 4129

Description: An equality inference for the maps-to notation. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Dec-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpteq2ia.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mpteq2ia	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Proof of Theorem mpteq2ia

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2204	. . 3 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	ax-gen 1471	. 2 ⊢ ∀𝑥 𝐴 = 𝐴
3		mpteq2ia.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
4	3	rgen 2558	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶
5		mpteq12f 4123	. 2 ⊢ ((∀𝑥 𝐴 = 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
6	2, 4, 5	mp2an 426	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4  ∀wal 1370   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483   ↦ cmpt 4104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-11 1528  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-ext 2186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-ral 2488  df-opab 4105  df-mpt 4106

This theorem is referenced by:  mpteq2i  4130  feqresmpt  5627  elfvmptrab  5669  fmptap  5764  offres  6210  cnrecnv  11140  ege2le3  11901  eirraplem  12007  cnmpt1st  14678  cnmpt2nd  14679  expcn  14959  expcncf  14999  dvexp  15101  dveflem  15116  dvef  15117  elply2  15125  plyid  15136