Theorem cnrecnv 11676

Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 10051. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	cnref1o 10051	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3		f1ocnv 5652	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → ◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4		f1of 5639	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 ⊢ ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	feqmptd 5756	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)))
8	7	mptru 1411	. 2 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧))
9		df-ov 6088	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10		recl 11618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11		imcl 11619	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12	10	recnd 8354	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13		ax-icn 8274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
15	11	recnd 8354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
17	12, 16	addcld 8345	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18		oveq1 6092	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19		oveq2 6093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
20	19	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
21	18, 20, 1	ovmpog 6223	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
23	9, 22	eqtr3id 2285	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24		replim 11624	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
25	23, 24	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
26	25	fveq2d 5699	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (◡𝐹‘𝑧))
27		opelxpi 4806	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
28	10, 11, 27	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29		f1ocnvfv1 5983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
30	2, 28, 29	sylancr 418	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
31	26, 30	eqtr3d 2273	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32	31	mpteq2ia 4217	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
33	8, 32	eqtri 2259	1 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   ↦ cmpt 4192   × cxp 4772  ^◡ccnv 4773  ⟶wf 5373  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  ℂcc 8177  ℝcr 8178  ici 8181   + caddc 8182   · cmul 8184  ℜcre 11605  ℑcim 11606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-2 9363  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609

This theorem is used by:  cnrehmeocntop  15711