Theorem cnrecnv 11599

Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 9986. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
2	1	cnref1o 9986	. . . . . 6 ⊢ 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3		f1ocnv 5629	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → ◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4		f1of 5616	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 ⊢ ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
6	5	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ◡𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
7	6	feqmptd 5732	. . 3 ⊢ (⊤ → ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)))
8	7	mptru 1407	. 2 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧))
9		df-ov 6055	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10		recl 11542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11		imcl 11543	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
12	10	recnd 8304	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13		ax-icn 8224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
15	11	recnd 8304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
16	14, 15	mulcld 8296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
17	12, 16	addcld 8295	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18		oveq1 6059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
20	19	oveq2d 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
21	18, 20, 1	ovmpog 6190	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
23	9, 22	eqtr3id 2281	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24		replim 11548	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
25	23, 24	eqtr4d 2270	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
26	25	fveq2d 5676	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (◡𝐹‘𝑧))
27		opelxpi 4783	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
28	10, 11, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29		f1ocnvfv1 5952	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
30	2, 28, 29	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
31	26, 30	eqtr3d 2269	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (◡𝐹‘𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
32	31	mpteq2ia 4198	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ ↦ (◡𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
33	8, 32	eqtri 2255	1 ⊢ ◡𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)

Syntax hints:   = wceq 1398  ⊤wtru 1399   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694   ↦ cmpt 4173   × cxp 4749  ^◡ccnv 4750  ⟶wf 5350  –1-1-onto→wf1o 5353  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052   ∈ cmpo 6054  ℂcc 8127  ℝcr 8128  ici 8131   + caddc 8132   · cmul 8134  ℜcre 11529  ℑcim 11530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-mulrcl 8228  ax-addcom 8229  ax-mulcom 8230  ax-addass 8231  ax-mulass 8232  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-1rid 8236  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-precex 8239  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-apti 8244  ax-pre-ltadd 8245  ax-pre-mulgt0 8246  ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-reap 8851  df-ap 8858  df-div 8949  df-2 9298  df-cj 11531  df-re 11532  df-im 11533

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15492