Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv GIF version

Theorem cnrecnv 10633
 Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to ℂ from cnref1o 9392. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnrecnv 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
21cnref1o 9392 . . . . . 6 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3 f1ocnv 5346 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4 f1of 5333 . . . . . 6 (𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
65a1i 9 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
76feqmptd 5440 . . 3 (⊤ → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
87mptru 1323 . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧))
9 df-ov 5743 . . . . . . 7 ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10 recl 10576 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11 imcl 10577 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
1210recnd 7758 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13 ax-icn 7679 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1511recnd 7758 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 7750 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
1712, 16addcld 7749 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18 oveq1 5747 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19 oveq2 5748 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
2019oveq2d 5756 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2118, 20, 1ovmpog 5871 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2210, 11, 17, 21syl3anc 1199 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
239, 22syl5eqr 2162 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24 replim 10582 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2523, 24eqtr4d 2151 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
2625fveq2d 5391 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (𝐹𝑧))
27 opelxpi 4539 . . . . . 6 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2810, 11, 27syl2anc 406 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29 f1ocnvfv1 5644 . . . . 5 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
302, 28, 29sylancr 408 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3126, 30eqtr3d 2150 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3231mpteq2ia 3982 . 2 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
338, 32eqtri 2136 1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   = wceq 1314  ⊤wtru 1315   ∈ wcel 1463  ⟨cop 3498   ↦ cmpt 3957   × cxp 4505  ◡ccnv 4506  ⟶wf 5087  –1-1-onto→wf1o 5090  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740   ∈ cmpo 5742  ℂcc 7582  ℝcr 7583  ici 7586   + caddc 7587   · cmul 7589  ℜcre 10563  ℑcim 10564 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-2 8739  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567 This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  12668
 Copyright terms: Public domain W3C validator