ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv GIF version

Theorem cnrecnv 10846
Description: The inverse to the canonical bijection from (ℝ × ℝ) to from cnref1o 9582. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
cnrecnv 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐹   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + (i · 𝑦)))
21cnref1o 9582 . . . . . 6 𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ
3 f1ocnv 5442 . . . . . 6 (𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ → 𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ))
4 f1of 5429 . . . . . 6 (𝐹:ℂ–1-1-onto→(ℝ × ℝ) → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ)
65a1i 9 . . . 4 (⊤ → 𝐹:ℂ⟶(ℝ × ℝ))
76feqmptd 5536 . . 3 (⊤ → 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)))
87mptru 1351 . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧))
9 df-ov 5842 . . . . . . 7 ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
10 recl 10789 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℝ)
11 imcl 10790 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ)
1210recnd 7921 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (ℜ‘𝑧) ∈ ℂ)
13 ax-icn 7842 . . . . . . . . . . 11 i ∈ ℂ
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
1511recnd 7921 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (ℑ‘𝑧) ∈ ℂ)
1614, 15mulcld 7913 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝑧)) ∈ ℂ)
1712, 16addcld 7912 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ)
18 oveq1 5846 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (ℜ‘𝑧) → (𝑥 + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)))
19 oveq2 5847 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → (i · 𝑦) = (i · (ℑ‘𝑧)))
2019oveq2d 5855 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℑ‘𝑧) → ((ℜ‘𝑧) + (i · 𝑦)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2118, 20, 1ovmpog 5970 . . . . . . . 8 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2210, 11, 17, 21syl3anc 1227 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝑧)𝐹(ℑ‘𝑧)) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
239, 22eqtr3id 2211 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
24 replim 10795 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℂ → 𝑧 = ((ℜ‘𝑧) + (i · (ℑ‘𝑧))))
2523, 24eqtr4d 2200 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩) = 𝑧)
2625fveq2d 5487 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = (𝐹𝑧))
27 opelxpi 4633 . . . . . 6 (((ℜ‘𝑧) ∈ ℝ ∧ (ℑ‘𝑧) ∈ ℝ) → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
2810, 11, 27syl2anc 409 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℂ → ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
29 f1ocnvfv1 5742 . . . . 5 ((𝐹:(ℝ × ℝ)–1-1-onto→ℂ ∧ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩ ∈ (ℝ × ℝ)) → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
302, 28, 29sylancr 411 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐹‘⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3126, 30eqtr3d 2199 . . 3 (𝑧 ∈ ℂ → (𝐹𝑧) = ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
3231mpteq2ia 4065 . 2 (𝑧 ∈ ℂ ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
338, 32eqtri 2185 1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ⟨(ℜ‘𝑧), (ℑ‘𝑧)⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1342  wtru 1343  wcel 2135  cop 3576  cmpt 4040   × cxp 4599  ccnv 4600  wf 5181  1-1-ontowf1o 5184  cfv 5185  (class class class)co 5839  cmpo 5841  cc 7745  cr 7746  ici 7749   + caddc 7750   · cmul 7752  cre 10776  cim 10777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-2 8910  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780
This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  13191
  Copyright terms: Public domain W3C validator