Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcncf GIF version

Theorem expcncf 12931
 Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent N, is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
expcncf (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcncf
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5822 . . . 4 (𝑤 = 0 → (𝑥𝑤) = (𝑥↑0))
21mpteq2dv 4051 . . 3 (𝑤 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
32eleq1d 2223 . 2 (𝑤 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
4 oveq2 5822 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝑥𝑤) = (𝑥𝑘))
54mpteq2dv 4051 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
65eleq1d 2223 . 2 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
7 oveq2 5822 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑤) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
87mpteq2dv 4051 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
98eleq1d 2223 . 2 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
10 oveq2 5822 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝑥𝑤) = (𝑥𝑁))
1110mpteq2dv 4051 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
1211eleq1d 2223 . 2 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
13 exp0 10401 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
1413mpteq2ia 4046 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15 ax-1cn 7804 . . . 4 1 ∈ ℂ
16 ssid 3144 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
17 cncfmptc 12921 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1815, 16, 16, 17mp3an 1316 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1914, 18eqeltri 2227 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
20 oveq1 5821 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑘) = (𝑥𝑘))
2120cbvmptv 4056 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))
2221eleq1i 2220 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2322biimpi 119 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2423adantl 275 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25 cncfmptid 12922 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2616, 16, 25mp2an 423 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2726a1i 9 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2824, 27mulcncf 12930 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2922, 28sylan2br 286 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30 expp1 10404 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
3130ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
3231mpteq2dva 4050 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
3332eleq1d 2223 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
3433adantr 274 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
3529, 34mpbird 166 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3635ex 114 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
373, 6, 9, 12, 19, 36nn0ind 9257 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ⊆ wss 3098   ↦ cmpt 4021  (class class class)co 5814  ℂcc 7709  0cc0 7711  1c1 7712   + caddc 7714   · cmul 7716  ℕ0cn0 9069  ↑cexp 10396  –cn→ccncf 12896 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-map 6584  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-rp 9539  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-cncf 12897 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator