ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcncf GIF version

Theorem expcncf 12688
Description: The power function on complex numbers, for fixed exponent N, is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
expcncf (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem expcncf
Dummy variables 𝑤 𝑘 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5750 . . . 4 (𝑤 = 0 → (𝑥𝑤) = (𝑥↑0))
21mpteq2dv 3989 . . 3 (𝑤 = 0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)))
32eleq1d 2186 . 2 (𝑤 = 0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
4 oveq2 5750 . . . 4 (𝑤 = 𝑘 → (𝑥𝑤) = (𝑥𝑘))
54mpteq2dv 3989 . . 3 (𝑤 = 𝑘 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)))
65eleq1d 2186 . 2 (𝑤 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
7 oveq2 5750 . . . 4 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑥𝑤) = (𝑥↑(𝑘 + 1)))
87mpteq2dv 3989 . . 3 (𝑤 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))))
98eleq1d 2186 . 2 (𝑤 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
10 oveq2 5750 . . . 4 (𝑤 = 𝑁 → (𝑥𝑤) = (𝑥𝑁))
1110mpteq2dv 3989 . . 3 (𝑤 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)))
1211eleq1d 2186 . 2 (𝑤 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑤)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
13 exp0 10265 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑0) = 1)
1413mpteq2ia 3984 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1)
15 ax-1cn 7681 . . . 4 1 ∈ ℂ
16 ssid 3087 . . . 4 ℂ ⊆ ℂ
17 cncfmptc 12678 . . . 4 ((1 ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1815, 16, 16, 17mp3an 1300 . . 3 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1914, 18eqeltri 2190 . 2 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑0)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
20 oveq1 5749 . . . . . . 7 (𝑎 = 𝑥 → (𝑎𝑘) = (𝑥𝑘))
2120cbvmptv 3994 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘))
2221eleq1i 2183 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2322biimpi 119 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2423adantl 275 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
25 cncfmptid 12679 . . . . . . . 8 ((ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2616, 16, 25mp2an 422 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2726a1i 9 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 𝑥) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2824, 27mulcncf 12687 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ ℂ ↦ (𝑎𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2922, 28sylan2br 286 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
30 expp1 10268 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
3130ancoms 266 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑(𝑘 + 1)) = ((𝑥𝑘) · 𝑥))
3231mpteq2dva 3988 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)))
3332eleq1d 2186 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
3433adantr 274 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥𝑘) · 𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
3529, 34mpbird 166 . . 3 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3635ex 114 . 2 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑘)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑(𝑘 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ)))
373, 6, 9, 12, 19, 36nn0ind 9133 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465  wss 3041  cmpt 3959  (class class class)co 5742  cc 7586  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593  0cn0 8945  cexp 10260  cnccncf 12653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-sup 6839  df-inf 6840  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-cncf 12654
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator