Theorem feqresmpt 5736

Description: Express a restricted function as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
feqresmpt.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
feqresmpt	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem feqresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		feqresmpt.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3		fssres 5545	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
5	4	feqmptd 5735	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)))
6		fvres 5699	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
7	6	mpteq2ia 4201	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))
8	5, 7	eqtrdi 2283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3214   ↦ cmpt 4176   ↾ cres 4756  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  pfxres  11398  dvmulxxbr  15679  ushgredgedg  16333  ushgredgedgloop  16335