Theorem dveflem 15440

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 12241, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dveflem	⊢ 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 8161	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptop 15247	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
4		unicntopcntop 15256	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	4	ntrtop 14842	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
7	1, 6	eleqtrri 2305	. 2 ⊢ 0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ)
8		ax-1cn 8115	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		1rp 9882	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpmincl 11789	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
12		breq1 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
13	12	elrab 2960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 8469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
16	15	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
17	16	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ (abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )))
18	14	abscld 11732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
19		rpre 9885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		1red 8184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 1 ∈ ℝ)
22		ltmininf 11786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
25		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
26		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
27	26	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤)
29	27, 28	oveq12d 6031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0})
32		efcl 12215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
33		peano2cnm 8435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑤) ∈ ℂ → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 # 0)
36	34, 14, 35	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
39	38	fvoveq1d 6035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
40		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
41	37, 40	subcld 8480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
42	41	abscld 11732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
44	43	abscld 11732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 9921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		abscl 11602	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50		subcl 8368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 # 0)
54	51, 52, 53	divclapd 8960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55		1cnd 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 8480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
57	56	abscld 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
58	48, 57	remulcld 8200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
59	48	resqcld 10951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60		3re 9207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		4nn 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
62		nndivre 9169	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
64		remulcl 8150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
66	51, 52	subcld 8480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
67	66, 52, 53	divcanap2d 8962	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 9000	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
69	52, 53	dividapd 8956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
70	69	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
71	68, 70	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
72	71	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
73	49, 55, 52	subsub4d 8511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74		addcl 8147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76		2nn0 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
77		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))
78	77	eftlcl 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80		df-2 9192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 = (1 + 1)
81		1nn0 9408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ0
82		1e0p1 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 = (0 + 1)
83		0nn0 9407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ ℕ0
84		0cnd 8162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
85	77	efval2 12216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87		nn0uz 9781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
88	87	sumeq1i 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
89	86, 88	eqtr2di 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
90	89	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
91	49	addlidd 8319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
92	90, 91	eqtr2d 2263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93		eft0val 12244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
95	94	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
96	95, 82	eqtr4di 2280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98		exp1 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
100	99	oveq1d 6028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101		fac1 10981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (!‘1) = 1
102	101	oveq2i 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103	100, 102	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104		div1 8873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106	103, 105	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107	106	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
109	75, 79, 108	mvrladdd 8536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
110	73, 109	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112	111	fveq2d 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
113	52, 56	absmuld 11745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114	112, 113	eqtr3d 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117		2nn 9295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119		1red 8184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
121	48, 119, 120	ltled 8288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123	114, 122	eqbrtrrd 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124		df-3 9193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
125		fac2 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (!‘2) = 2
126	125	oveq1i 6023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127		2t2e4 9288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 2) = 4
128	126, 127	eqtr2i 2251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ((!‘2) · 2)
129	124, 128	oveq12i 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130	129	oveq2i 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131	123, 130	breqtrrdi 4128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
133	48	sqge0d 10952	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134		1re 8168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
135		3lt4 9306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 < 4
136		4cn 9211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
137	136	mulridi 8171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 1) = 4
138	135, 137	breqtrri 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 < (4 · 1)
139		4re 9210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
140		4pos 9230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 4
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142		ltdivmul 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 / 4) < 1
145	63, 134, 144	ltleii 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 / 4) ≤ 1
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 9110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
148	48	recnd 8198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149	148	sqcld 10923	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mulridd 8186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151	147, 150	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8293	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153	148	sqvald 10922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154	152, 153	breqtrd 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155		absgt0ap 11650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
158	48, 157	elrpd 9918	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
159	57, 48, 158	lemul2d 9966	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
164	39, 163	eqbrtrd 4108	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169	168	ralrimiva 2603	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170		brimralrspcev 4146	. . . . 5 ⊢ ((inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172	171	rgen 2583	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173		elrabi 2957	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 ∈ ℂ)
174		efcl 12215	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176		1cnd 8185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	subcld 8480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178		breq1 4089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
179	178	elrab 2960	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 # 0)
181	177, 173, 180	divclapd 8960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
182	25, 181	fmpti 5795	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ
183	182	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ)
184		apsscn 8817	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ
185	184	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ)
186		0cnd 8162	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
187	183, 185, 186	ellimc3ap 15375	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
188	187	mptru 1404	. . 3 ⊢ (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
189	8, 172, 188	mpbir2an 948	. 2 ⊢ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)
190	2	cntoptopon 15246	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
191	190	toponrestid 14735	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
192	173	subid1d 8469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (𝑧 − 0) = 𝑧)
193	192	oveq2d 6029	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
194		ef0 12223	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
195	194	oveq2i 6024	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
196	195	oveq1i 6023	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
197	193, 196	eqtr2di 2279	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
198	197	mpteq2ia 4173	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
199		ssidd 3246	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
200		eff 12214	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
201	200	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 15396	. . 3 ⊢ (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0))))
203	202	mptru 1404	. 2 ⊢ (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)))
204	7, 189, 203	mpbir2an 948	1 ⊢ 0(ℂ D exp)1

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  {crab 2512   ⊆ wss 3198  {cpr 3668   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148   ∘ ccom 4727  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  infcinf 7173  ℂcc 8020  ℝcr 8021  0cc0 8022  1c1 8023   + caddc 8025   · cmul 8027   < clt 8204   ≤ cle 8205   − cmin 8340   # cap 8751   / cdiv 8842  ℕcn 9133  2c2 9184  3c3 9185  4c4 9186  ℕ₀cn0 9392  ℤ_≥cuz 9745  ℝ⁺crp 9878  ↑cexp 10790  !cfa 10977  abscabs 11548  Σcsu 11904  expce 12193  MetOpencmopn 14545  Topctop 14711  intcnt 14807   lim_ℂ climc 15368   D cdv 15369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140  ax-arch 8141  ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-frec 6552  df-1o 6577  df-oadd 6581  df-er 6697  df-map 6814  df-pm 6815  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-sup 7174  df-inf 7175  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-q 9844  df-rp 9879  df-xneg 9997  df-xadd 9998  df-ico 10119  df-fz 10234  df-fzo 10368  df-seqfrec 10700  df-exp 10791  df-fac 10978  df-ihash 11028  df-shft 11366  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-sumdc 11905  df-ef 12199  df-rest 13314  df-topgen 13333  df-psmet 14547  df-xmet 14548  df-met 14549  df-bl 14550  df-mopn 14551  df-top 14712  df-topon 14725  df-bases 14757  df-ntr 14810  df-limced 15370  df-dvap 15371

This theorem is referenced by:  dvef  15441