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Theorem dveflem 12855
 Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11396, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 7758 . . 3 0 ∈ ℂ
2 eqid 2139 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptop 12702 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
4 unicntopcntop 12705 . . . . 5 ℂ = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54ntrtop 12297 . . . 4 ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
63, 5ax-mp 5 . . 3 ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
71, 6eleqtrri 2215 . 2 0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ)
8 ax-1cn 7713 . . 3 1 ∈ ℂ
9 1rp 9445 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
10 rpmincl 11009 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
119, 10mpan2 421 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
12 breq1 3932 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
1312elrab 2840 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
14 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
1514subid1d 8062 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
1615fveq2d 5425 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
1716breq1d 3939 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ (abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )))
1814abscld 10953 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
19 rpre 9448 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
2019adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 1red 7781 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 1 ∈ ℝ)
22 ltmininf 11006 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
2417, 23bitrd 187 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
25 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
26 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
2726oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤𝑧 = 𝑤)
2927, 28oveq12d 5792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
3130, 13sylibr 133 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0})
32 efcl 11370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
33 peano2cnm 8028 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((exp‘𝑤) ∈ ℂ → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
3414, 32, 333syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
35 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 # 0)
3634, 14, 35divclapd 8550 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
3736adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
3825, 29, 31, 37fvmptd3 5514 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
3938fvoveq1d 5796 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
40 1cnd 7782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
4137, 40subcld 8073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
4241abscld 10953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
43 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
4443abscld 10953 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45 simpll 518 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4645rpred 9483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47 abscl 10823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
4932ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50 subcl 7961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5149, 8, 50sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 # 0)
5451, 52, 53divclapd 8550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55 1cnd 7782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
5654, 55subcld 8073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
5756abscld 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
5848, 57remulcld 7796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
5948resqcld 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60 3re 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
61 4nn 8883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℕ
62 nndivre 8756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
6360, 61, 62mp2an 422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
64 remulcl 7748 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6559, 63, 64sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
6651, 52subcld 8073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
6766, 52, 53divcanap2d 8552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
6851, 52, 52, 53divsubdirapd 8590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
6952, 53dividapd 8546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
7069oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7168, 70eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
7271oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
7349, 55, 52subsub4d 8104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74 addcl 7745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
758, 52, 74sylancr 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76 2nn0 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℕ0
77 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))
7877eftlcl 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
7952, 76, 78sylancl 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80 df-2 8779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 = (1 + 1)
81 1nn0 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℕ0
82 1e0p1 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (0 + 1)
83 0nn0 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ ℕ0
84 0cnd 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
8577efval2 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
8685ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87 nn0uz 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 0 = (ℤ‘0)
8887sumeq1i 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
8986, 88syl6req 2189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
9089oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
9149addid2d 7912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
9290, 91eqtr2d 2173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93 eft0val 11399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9493ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
9594oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
9695, 82syl6eqr 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
9777, 82, 83, 52, 84, 92, 96efsep 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98 exp1 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
9998ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
10099oveq1d 5789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101 fac1 10475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (!‘1) = 1
102101oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103100, 102syl6eq 2188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104 div1 8463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105104ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106103, 105eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107106oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
10877, 80, 81, 52, 55, 97, 107efsep 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
10975, 79, 108mvrladdd 8129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11073, 109eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
11167, 72, 1103eqtr3d 2180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112111fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
11352, 56absmuld 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114112, 113eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116 eqid 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117 2nn 8881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
118117a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119 1red 7781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
12148, 119, 120ltled 7881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
12277, 115, 116, 118, 52, 121eftlub 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123114, 122eqbrtrrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124 df-3 8780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
125 fac2 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!‘2) = 2
126125oveq1i 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127 2t2e4 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 · 2) = 4
128126, 127eqtr2i 2161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!‘2) · 2)
129124, 128oveq12i 5786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130129oveq2i 5785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131123, 130breqtrrdi 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
13263a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
13348sqge0d 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134 1re 7765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
135 3lt4 8892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
136 4cn 8798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℂ
137136mulid1i 7768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 · 1) = 4
138135, 137breqtrri 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 · 1)
139 4re 8797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
140 4pos 8817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
141139, 140pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142 ltdivmul 8634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
14360, 134, 141, 142mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144138, 143mpbir 145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14563, 134, 144ltleii 7866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≤ 1
146145a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147132, 119, 59, 133, 146lemul2ad 8698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
14848recnd 7794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149148sqcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150149mulid1d 7783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151147, 150breqtrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
15258, 65, 59, 131, 151letrd 7886 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153148sqvald 10421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154152, 153breqtrd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155 absgt0ap 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156155ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
15753, 156mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
15848, 157elrpd 9481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
15957, 48, 158lemul2d 9528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160154, 159mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161160ad2ant2l 499 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
16342, 44, 46, 161, 162lelttrd 7887 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
16439, 163eqbrtrd 3950 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165164ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
16624, 165sylbid 149 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167166adantld 276 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
16813, 167sylan2b 285 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169168ralrimiva 2505 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170 brimralrspcev 3987 . . . . 5 ((inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
17111, 169, 170syl2anc 408 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172171rgen 2485 . . 3 𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173 elrabi 2837 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 ∈ ℂ)
174 efcl 11370 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175173, 174syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176 1cnd 7782 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 1 ∈ ℂ)
177175, 176subcld 8073 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178 breq1 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
179178elrab 2840 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
180179simprbi 273 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 # 0)
181177, 173, 180divclapd 8550 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
18225, 181fmpti 5572 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ
183182a1i 9 . . . . 5 (⊤ → (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ)
184 apsscn 8409 . . . . . 6 {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ
185184a1i 9 . . . . 5 (⊤ → {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ)
186 0cnd 7759 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℂ)
187183, 185, 186ellimc3ap 12799 . . . 4 (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
188187mptru 1340 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
1898, 172, 188mpbir2an 926 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)
1902cntoptopon 12701 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
191190toponrestid 12188 . . . 4 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
192173subid1d 8062 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (𝑧 − 0) = 𝑧)
193192oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
194 ef0 11378 . . . . . . . 8 (exp‘0) = 1
195194oveq2i 5785 . . . . . . 7 ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
196195oveq1i 5784 . . . . . 6 (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
197193, 196syl6req 2189 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
198197mpteq2ia 4014 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
199 ssidd 3118 . . . 4 (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
200 eff 11369 . . . . 5 exp:ℂ⟶ℂ
201200a1i 9 . . . 4 (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
202191, 2, 198, 199, 201, 199eldvap 12820 . . 3 (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0))))
203202mptru 1340 . 2 (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) lim 0)))
2047, 189, 203mpbir2an 926 1 0(ℂ D exp)1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ⊤wtru 1332   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  {crab 2420   ⊆ wss 3071  {cpr 3528   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  ℂcc 7618  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933   # cap 8343   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  3c3 8772  4c4 8773  ℕ0cn0 8977  ℤ≥cuz 9326  ℝ+crp 9441  ↑cexp 10292  !cfa 10471  abscabs 10769  Σcsu 11122  expce 11348  MetOpencmopn 12154  Topctop 12164  intcnt 12262   limℂ climc 12792   D cdv 12793 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-fac 10472  df-ihash 10522  df-shft 10587  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123  df-ef 11354  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-ntr 12265  df-limced 12794  df-dvap 12795 This theorem is referenced by:  dvef  12856
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