ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dveflem GIF version

Theorem dveflem 14483
Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11712, to show that abs(exp(π‘₯) βˆ’ 1 βˆ’ π‘₯) ≀ abs(π‘₯)↑2 Β· (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
dveflem 0(β„‚ D exp)1

Proof of Theorem dveflem
Dummy variables π‘˜ 𝑛 𝑀 𝑒 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 7963 . . 3 0 ∈ β„‚
2 eqid 2187 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
32cntoptop 14329 . . . 4 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top
4 unicntopcntop 14332 . . . . 5 β„‚ = βˆͺ (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
54ntrtop 13924 . . . 4 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ Top β†’ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) = β„‚)
63, 5ax-mp 5 . . 3 ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) = β„‚
71, 6eleqtrri 2263 . 2 0 ∈ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚)
8 ax-1cn 7918 . . 3 1 ∈ β„‚
9 1rp 9671 . . . . . 6 1 ∈ ℝ+
10 rpmincl 11260 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
119, 10mpan2 425 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
12 breq1 4018 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑀 β†’ (𝑒 # 0 ↔ 𝑀 # 0))
1312elrab 2905 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↔ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0))
14 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
1514subid1d 8271 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
1615fveq2d 5531 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) = (absβ€˜π‘€))
1716breq1d 4025 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ↔ (absβ€˜π‘€) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < )))
1814abscld 11204 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
19 rpre 9674 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2019adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
21 1red 7986 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ 1 ∈ ℝ)
22 ltmininf 11257 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜π‘€) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜π‘€) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1248 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((absβ€˜π‘€) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
2417, 23bitrd 188 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ↔ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)))
25 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))
26 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑀 β†’ (expβ€˜π‘§) = (expβ€˜π‘€))
2726oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑀 β†’ ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) = ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1))
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑀 β†’ 𝑧 = 𝑀)
2927, 28oveq12d 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑀 β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀))
30 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0))
3130, 13sylibr 134 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 𝑀 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0})
32 efcl 11686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
33 peano2cnm 8237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((expβ€˜π‘€) ∈ β„‚ β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3414, 32, 333syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
35 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ 𝑀 # 0)
3634, 14, 35divclapd 8761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ β„‚)
3736adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ β„‚)
3825, 29, 31, 37fvmptd3 5622 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀))
3938fvoveq1d 5910 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) = (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)))
40 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 1 ∈ β„‚)
4137, 40subcld 8282 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
4241abscld 11204 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
43 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
4443abscld 11204 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
45 simpll 527 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4645rpred 9710 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
47 abscl 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ)
4932ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
50 subcl 8170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((expβ€˜π‘€) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5149, 8, 50sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
52 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 𝑀 # 0)
5451, 52, 53divclapd 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) ∈ β„‚)
55 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 1 ∈ β„‚)
5654, 55subcld 8282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
5756abscld 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5848, 57remulcld 8002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
5948resqcld 10694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ ℝ)
60 3re 9007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
61 4nn 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ β„•
62 nndivre 8969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•) β†’ (3 / 4) ∈ ℝ)
6360, 61, 62mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 / 4) ∈ ℝ
64 remulcl 7953 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ∈ ℝ)
6559, 63, 64sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ∈ ℝ)
6651, 52subcld 8282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) ∈ β„‚)
6766, 52, 53divcanap2d 8763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀)) = (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀))
6851, 52, 52, 53divsubdirapd 8801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 𝑀)))
6952, 53dividapd 8757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 / 𝑀) = 1)
7069oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ (𝑀 / 𝑀)) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))
7168, 70eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀) = ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))
7271oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) / 𝑀)) = (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)))
7349, 55, 52subsub4d 8313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) = ((expβ€˜π‘€) βˆ’ (1 + 𝑀)))
74 addcl 7950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 ∈ β„‚) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„‚)
758, 52, 74sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (1 + 𝑀) ∈ β„‚)
76 2nn0 9207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ β„•0
77 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
7877eftlcl 11710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 2 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
7952, 76, 78sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
80 df-2 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 = (1 + 1)
81 1nn0 9206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ β„•0
82 1e0p1 9439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1 = (0 + 1)
83 0nn0 9205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 0 ∈ β„•0
84 0cnd 7964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 ∈ β„‚)
8577efval2 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
8685ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
87 nn0uz 9576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
8887sumeq1i 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Ξ£π‘˜ ∈ β„•0 ((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)
8986, 88eqtr2di 2237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (expβ€˜π‘€))
9089oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = (0 + (expβ€˜π‘€)))
9149addid2d 8121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + (expβ€˜π‘€)) = (expβ€˜π‘€))
9290, 91eqtr2d 2221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = (0 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜0)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
93 eft0val 11715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ ((𝑀↑0) / (!β€˜0)) = 1)
9493ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑0) / (!β€˜0)) = 1)
9594oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + ((𝑀↑0) / (!β€˜0))) = (0 + 1))
9695, 82eqtr4di 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (0 + ((𝑀↑0) / (!β€˜0))) = 1)
9777, 82, 83, 52, 84, 92, 96efsep 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = (1 + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜1)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
98 exp1 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀↑1) = 𝑀)
9998ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀↑1) = 𝑀)
10099oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = (𝑀 / (!β€˜1)))
101 fac1 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (!β€˜1) = 1
102101oveq2i 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 / (!β€˜1)) = (𝑀 / 1)
103100, 102eqtrdi 2236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = (𝑀 / 1))
104 div1 8674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
105104ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 / 1) = 𝑀)
106103, 105eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((𝑀↑1) / (!β€˜1)) = 𝑀)
107106oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (1 + ((𝑀↑1) / (!β€˜1))) = (1 + 𝑀))
10877, 80, 81, 52, 55, 97, 107efsep 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (expβ€˜π‘€) = ((1 + 𝑀) + Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
10975, 79, 108mvrladdd 8338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((expβ€˜π‘€) βˆ’ (1 + 𝑀)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
11073, 109eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) βˆ’ 𝑀) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
11167, 72, 1103eqtr3d 2228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) = Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
112111fveq2d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) = (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
11352, 56absmuld 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(𝑀 Β· ((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))))
114112, 113eqtr3d 2222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))))
115 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜π‘€)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((absβ€˜π‘€)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
116 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜π‘€)↑2) / (!β€˜2)) Β· ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((((absβ€˜π‘€)↑2) / (!β€˜2)) Β· ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117 2nn 9094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„•
118117a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 2 ∈ β„•)
119 1red 7986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 1 ∈ ℝ)
120 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) < 1)
12148, 119, 120ltled 8090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ≀ 1)
12277, 115, 116, 118, 52, 121eftlub 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜2)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ ((𝑀↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))))
123114, 122eqbrtrrd 4039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))))
124 df-3 8993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 = (2 + 1)
125 fac2 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (!β€˜2) = 2
126125oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((!β€˜2) Β· 2) = (2 Β· 2)
127 2t2e4 9087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (2 Β· 2) = 4
128126, 127eqtr2i 2209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 = ((!β€˜2) Β· 2)
129124, 128oveq12i 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2))
130129oveq2i 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) = (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· ((2 + 1) / ((!β€˜2) Β· 2)))
131123, 130breqtrrdi 4057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)))
13263a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (3 / 4) ∈ ℝ)
13348sqge0d 10695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
134 1re 7970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
135 3lt4 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 < 4
136 4cn 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ β„‚
137136mulid1i 7973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 Β· 1) = 4
138135, 137breqtrri 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 < (4 Β· 1)
139 4re 9010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 ∈ ℝ
140 4pos 9030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 4
141139, 140pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142 ltdivmul 8847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) β†’ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 Β· 1)))
14360, 134, 141, 142mp3an 1347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 Β· 1))
144138, 143mpbir 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (3 / 4) < 1
14563, 134, 144ltleii 8074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (3 / 4) ≀ 1
146145a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (3 / 4) ≀ 1)
147132, 119, 59, 133, 146lemul2ad 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ≀ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· 1))
14848recnd 8000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„‚)
149148sqcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) ∈ β„‚)
150149mulridd 7988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· 1) = ((absβ€˜π‘€)↑2))
151147, 150breqtrd 4041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (((absβ€˜π‘€)↑2) Β· (3 / 4)) ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
15258, 65, 59, 131, 151letrd 8095 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€)↑2))
153148sqvald 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€)↑2) = ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€)))
154152, 153breqtrd 4041 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€)))
155 absgt0ap 11122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ β„‚ β†’ (𝑀 # 0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘€)))
156155ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (𝑀 # 0 ↔ 0 < (absβ€˜π‘€)))
15753, 156mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ 0 < (absβ€˜π‘€))
15848, 157elrpd 9707 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
15957, 48, 158lemul2d 9755 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ ((absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€) ↔ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1))) ≀ ((absβ€˜π‘€) Β· (absβ€˜π‘€))))
160154, 159mpbird 167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0) ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€))
161160ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) ≀ (absβ€˜π‘€))
162 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜π‘€) < π‘₯)
16342, 44, 46, 161, 162lelttrd 8096 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜((((expβ€˜π‘€) βˆ’ 1) / 𝑀) βˆ’ 1)) < π‘₯)
16439, 163eqbrtrd 4037 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) ∧ ((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1)) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)
165164ex 115 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ (((absβ€˜π‘€) < π‘₯ ∧ (absβ€˜π‘€) < 1) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
16624, 165sylbid 150 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
167166adantld 278 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ (𝑀 ∈ β„‚ ∧ 𝑀 # 0)) β†’ ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
16813, 167sylan2b 287 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0}) β†’ ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
169168ralrimiva 2560 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
170 brimralrspcev 4074 . . . . 5 ((inf({π‘₯, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < inf({π‘₯, 1}, ℝ, < )) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
17111, 169, 170syl2anc 411 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))
172171rgen 2540 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)
173 elrabi 2902 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
174 efcl 11686 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
175173, 174syl 14 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ (expβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
176 1cnd 7987 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ 1 ∈ β„‚)
177175, 176subcld 8282 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
178 breq1 4018 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
179178elrab 2905 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↔ (𝑧 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 # 0))
180179simprbi 275 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ 𝑧 # 0)
181177, 173, 180divclapd 8761 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) ∈ β„‚)
18225, 181fmpti 5681 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)):{𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0}βŸΆβ„‚
183182a1i 9 . . . . 5 (⊀ β†’ (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)):{𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0}βŸΆβ„‚)
184 apsscn 8618 . . . . . 6 {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} βŠ† β„‚
185184a1i 9 . . . . 5 (⊀ β†’ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} βŠ† β„‚)
186 0cnd 7964 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ β„‚)
187183, 185, 186ellimc3ap 14426 . . . 4 (⊀ β†’ (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯))))
188187mptru 1372 . . 3 (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0) ↔ (1 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ((𝑀 # 0 ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 0)) < 𝑦) β†’ (absβ€˜(((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧))β€˜π‘€) βˆ’ 1)) < π‘₯)))
1898, 172, 188mpbir2an 943 . 2 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0)
1902cntoptopon 14328 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
191190toponrestid 13817 . . . 4 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt β„‚)
192173subid1d 8271 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ (𝑧 βˆ’ 0) = 𝑧)
193192oveq2d 5904 . . . . . 6 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / 𝑧))
194 ef0 11694 . . . . . . . 8 (expβ€˜0) = 1
195194oveq2i 5899 . . . . . . 7 ((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) = ((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1)
196195oveq1i 5898 . . . . . 6 (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)
197193, 196eqtr2di 2237 . . . . 5 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} β†’ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧) = (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)))
198197mpteq2ia 4101 . . . 4 (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ (expβ€˜0)) / (𝑧 βˆ’ 0)))
199 ssidd 3188 . . . 4 (⊀ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
200 eff 11685 . . . . 5 exp:β„‚βŸΆβ„‚
201200a1i 9 . . . 4 (⊀ β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
202191, 2, 198, 199, 201, 199eldvap 14447 . . 3 (⊀ β†’ (0(β„‚ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0))))
203202mptru 1372 . 2 (0(β„‚ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((intβ€˜(MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))β€˜β„‚) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑒 ∈ β„‚ ∣ 𝑒 # 0} ↦ (((expβ€˜π‘§) βˆ’ 1) / 𝑧)) limβ„‚ 0)))
2047, 189, 203mpbir2an 943 1 0(β„‚ D exp)1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  βŠ€wtru 1364   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  {crab 2469   βŠ† wss 3141  {cpr 3605   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076   ∘ ccom 4642  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  infcinf 6996  β„‚cc 7823  β„cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   Β· cmul 7830   < clt 8006   ≀ cle 8007   βˆ’ cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  β„•cn 8933  2c2 8984  3c3 8985  4c4 8986  β„•0cn0 9190  β„€β‰₯cuz 9542  β„+crp 9667  β†‘cexp 10533  !cfa 10719  abscabs 11020  Ξ£csu 11375  expce 11664  MetOpencmopn 13727  Topctop 13793  intcnt 13889   limβ„‚ climc 14419   D cdv 14420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-map 6664  df-pm 6665  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-ntr 13892  df-limced 14421  df-dvap 14422
This theorem is referenced by:  dvef  14484
  Copyright terms: Public domain W3C validator