Theorem dveflem 14157

Description: Derivative of the exponential function at 0. The key step in the proof is eftlub 11697, to show that abs(exp(𝑥) − 1 − 𝑥) ≤ abs(𝑥)↑2 · (3 / 4). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
dveflem	⊢ 0(ℂ D exp)1

Proof of Theorem dveflem

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 7948	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptop 14003	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top
4		unicntopcntop 14006	. . . . 5 ⊢ ℂ = ∪ (MetOpen‘(abs ∘ − ))
5	4	ntrtop 13598	. . . 4 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ Top → ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ)
6	3, 5	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) = ℂ
7	1, 6	eleqtrri 2253	. 2 ⊢ 0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ)
8		ax-1cn 7903	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		1rp 9656	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ+
10		rpmincl 11245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
11	9, 10	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
12		breq1 4006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑤 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑤 # 0))
13	12	elrab 2893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
14		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 ∈ ℂ)
15	14	subid1d 8256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (𝑤 − 0) = 𝑤)
16	15	fveq2d 5519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘(𝑤 − 0)) = (abs‘𝑤))
17	16	breq1d 4013	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ (abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )))
18	14	abscld 11189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
19		rpre 9659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → 𝑥 ∈ ℝ)
20	19	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑥 ∈ ℝ)
21		1red 7971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 1 ∈ ℝ)
22		ltmininf 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((abs‘𝑤) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘𝑤) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
24	17, 23	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ↔ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)))
25		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))
26		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (exp‘𝑧) = (exp‘𝑤))
27	26	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → ((exp‘𝑧) − 1) = ((exp‘𝑤) − 1))
28		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → 𝑧 = 𝑤)
29	27, 28	oveq12d 5892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑤 → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
30		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0))
31	30, 13	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0})
32		efcl 11671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
33		peano2cnm 8222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((exp‘𝑤) ∈ ℂ → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
34	14, 32, 33	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
35		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → 𝑤 # 0)
36	34, 14, 35	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
38	25, 29, 31, 37	fvmptd3 5609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) = (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤))
39	38	fvoveq1d 5896	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) = (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
40		1cnd 7972	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 1 ∈ ℂ)
41	37, 40	subcld 8267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
42	41	abscld 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
43		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑤 ∈ ℂ)
44	43	abscld 11189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
45		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
46	45	rpred 9695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → 𝑥 ∈ ℝ)
47		abscl 11059	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ)
49	32	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) ∈ ℂ)
50		subcl 8155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((exp‘𝑤) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
51	49, 8, 50	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − 1) ∈ ℂ)
52		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 ∈ ℂ)
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 𝑤 # 0)
54	51, 52, 53	divclapd 8746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) ∈ ℂ)
55		1cnd 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℂ)
56	54, 55	subcld 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1) ∈ ℂ)
57	56	abscld 11189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ∈ ℝ)
58	48, 57	remulcld 7987	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ∈ ℝ)
59	48	resqcld 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ)
60		3re 8992	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 3 ∈ ℝ
61		4nn 9081	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 4 ∈ ℕ
62		nndivre 8954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 / 4) ∈ ℝ)
63	60, 61, 62	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 / 4) ∈ ℝ
64		remulcl 7938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℝ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
65	59, 63, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ∈ ℝ)
66	51, 52	subcld 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) ∈ ℂ)
67	66, 52, 53	divcanap2d 8748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤))
68	51, 52, 52, 53	divsubdirapd 8786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)))
69	52, 53	dividapd 8742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 𝑤) = 1)
70	69	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − (𝑤 / 𝑤)) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
71	68, 70	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤) = ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))
72	71	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) / 𝑤)) = (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)))
73	49, 55, 52	subsub4d 8298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)))
74		addcl 7935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ∈ ℂ) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
75	8, 52, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + 𝑤) ∈ ℂ)
76		2nn0 9192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℕ0
77		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))
78	77	eftlcl 11695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
79	52, 76, 78	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
80		df-2 8977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 = (1 + 1)
81		1nn0 9191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℕ0
82		1e0p1 9424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 = (0 + 1)
83		0nn0 9190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 0 ∈ ℕ0
84		0cnd 7949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ∈ ℂ)
85	77	efval2 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
86	85	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
87		nn0uz 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
88	87	sumeq1i 11370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ Σ𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)
89	86, 88	eqtr2di 2227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) = (exp‘𝑤))
90	89	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = (0 + (exp‘𝑤)))
91	49	addid2d 8106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + (exp‘𝑤)) = (exp‘𝑤))
92	90, 91	eqtr2d 2211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (0 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
93		eft0val 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
94	93	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑0) / (!‘0)) = 1)
95	94	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = (0 + 1))
96	95, 82	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (0 + ((𝑤↑0) / (!‘0))) = 1)
97	77, 82, 83, 52, 84, 92, 96	efsep 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = (1 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘1)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
98		exp1 10525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤↑1) = 𝑤)
99	98	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤↑1) = 𝑤)
100	99	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / (!‘1)))
101		fac1 10708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (!‘1) = 1
102	101	oveq2i 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 / (!‘1)) = (𝑤 / 1)
103	100, 102	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = (𝑤 / 1))
104		div1 8659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 / 1) = 𝑤)
105	104	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 / 1) = 𝑤)
106	103, 105	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((𝑤↑1) / (!‘1)) = 𝑤)
107	106	oveq2d 5890	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (1 + ((𝑤↑1) / (!‘1))) = (1 + 𝑤))
108	77, 80, 81, 52, 55, 97, 107	efsep 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (exp‘𝑤) = ((1 + 𝑤) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
109	75, 79, 108	mvrladdd 8323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((exp‘𝑤) − (1 + 𝑤)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
110	73, 109	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((exp‘𝑤) − 1) − 𝑤) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
111	67, 72, 110	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))
112	111	fveq2d 5519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
113	52, 56	absmuld 11202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(𝑤 · ((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
114	112, 113	eqtr3d 2212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) = ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))))
115		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘𝑤)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
116		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘𝑤)↑2) / (!‘2)) · ((1 / (2 + 1))↑𝑛)))
117		2nn 9079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℕ
118	117	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 2 ∈ ℕ)
119		1red 7971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 1 ∈ ℝ)
120		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) < 1)
121	48, 119, 120	ltled 8075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ≤ 1)
122	77, 115, 116, 118, 52, 121	eftlub 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘2)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑤↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
123	114, 122	eqbrtrrd 4027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))))
124		df-3 8978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 = (2 + 1)
125		fac2 10710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (!‘2) = 2
126	125	oveq1i 5884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((!‘2) · 2) = (2 · 2)
127		2t2e4 9072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (2 · 2) = 4
128	126, 127	eqtr2i 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 4 = ((!‘2) · 2)
129	124, 128	oveq12i 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (3 / 4) = ((2 + 1) / ((!‘2) · 2))
130	129	oveq2i 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) = (((abs‘𝑤)↑2) · ((2 + 1) / ((!‘2) · 2)))
131	123, 130	breqtrrdi 4045	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)))
132	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ∈ ℝ)
133	48	sqge0d 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
134		1re 7955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
135		3lt4 9090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 3 < 4
136		4cn 8996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℂ
137	136	mulid1i 7958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 · 1) = 4
138	135, 137	breqtrri 4030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 3 < (4 · 1)
139		4re 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 4 ∈ ℝ
140		4pos 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 4
141	139, 140	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)
142		ltdivmul 8832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((3 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1)))
143	60, 134, 141, 142	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < (4 · 1))
144	138, 143	mpbir 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (3 / 4) < 1
145	63, 134, 144	ltleii 8059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (3 / 4) ≤ 1
146	145	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (3 / 4) ≤ 1)
147	132, 119, 59, 133, 146	lemul2ad 8896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ (((abs‘𝑤)↑2) · 1))
148	48	recnd 7985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℂ)
149	148	sqcld 10651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) ∈ ℂ)
150	149	mulridd 7973	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · 1) = ((abs‘𝑤)↑2))
151	147, 150	breqtrd 4029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (((abs‘𝑤)↑2) · (3 / 4)) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
152	58, 65, 59, 131, 151	letrd 8080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤)↑2))
153	148	sqvald 10650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤)↑2) = ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
154	152, 153	breqtrd 4029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤)))
155		absgt0ap 11107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
156	155	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (𝑤 # 0 ↔ 0 < (abs‘𝑤)))
157	53, 156	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → 0 < (abs‘𝑤))
158	48, 157	elrpd 9692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘𝑤) ∈ ℝ+)
159	57, 48, 158	lemul2d 9740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → ((abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤) ↔ ((abs‘𝑤) · (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1))) ≤ ((abs‘𝑤) · (abs‘𝑤))))
160	154, 159	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0) ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
161	160	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) ≤ (abs‘𝑤))
162		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘𝑤) < 𝑥)
163	42, 44, 46, 161, 162	lelttrd 8081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘((((exp‘𝑤) − 1) / 𝑤) − 1)) < 𝑥)
164	39, 163	eqbrtrd 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) ∧ ((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1)) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
165	164	ex 115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → (((abs‘𝑤) < 𝑥 ∧ (abs‘𝑤) < 1) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
166	24, 165	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
167	166	adantld 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 # 0)) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
168	13, 167	sylan2b 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}) → ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
169	168	ralrimiva 2550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
170		brimralrspcev 4062	. . . . 5 ⊢ ((inf({𝑥, 1}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < inf({𝑥, 1}, ℝ, < )) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
171	11, 169, 170	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))
172	171	rgen 2530	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)
173		elrabi 2890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 ∈ ℂ)
174		efcl 11671	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℂ → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
175	173, 174	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (exp‘𝑧) ∈ ℂ)
176		1cnd 7972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 1 ∈ ℂ)
177	175, 176	subcld 8267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → ((exp‘𝑧) − 1) ∈ ℂ)
178		breq1 4006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑧 → (𝑢 # 0 ↔ 𝑧 # 0))
179	178	elrab 2893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↔ (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 # 0))
180	179	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → 𝑧 # 0)
181	177, 173, 180	divclapd 8746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) ∈ ℂ)
182	25, 181	fmpti 5668	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ
183	182	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)):{𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0}⟶ℂ)
184		apsscn 8603	. . . . . 6 ⊢ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ
185	184	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ⊆ ℂ)
186		0cnd 7949	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℂ)
187	183, 185, 186	ellimc3ap 14100	. . . 4 ⊢ (⊤ → (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥))))
188	187	mptru 1362	. . 3 ⊢ (1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0) ↔ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ((𝑤 # 0 ∧ (abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑦) → (abs‘(((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧))‘𝑤) − 1)) < 𝑥)))
189	8, 172, 188	mpbir2an 942	. 2 ⊢ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)
190	2	cntoptopon 14002	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
191	190	toponrestid 13491	. . . 4 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t ℂ)
192	173	subid1d 8256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (𝑧 − 0) = 𝑧)
193	192	oveq2d 5890	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧))
194		ef0 11679	. . . . . . . 8 ⊢ (exp‘0) = 1
195	194	oveq2i 5885	. . . . . . 7 ⊢ ((exp‘𝑧) − (exp‘0)) = ((exp‘𝑧) − 1)
196	195	oveq1i 5884	. . . . . 6 ⊢ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)
197	193, 196	eqtr2di 2227	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} → (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧) = (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
198	197	mpteq2ia 4089	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) = (𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − (exp‘0)) / (𝑧 − 0)))
199		ssidd 3176	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ⊆ ℂ)
200		eff 11670	. . . . 5 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
201	200	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → exp:ℂ⟶ℂ)
202	191, 2, 198, 199, 201, 199	eldvap 14121	. . 3 ⊢ (⊤ → (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0))))
203	202	mptru 1362	. 2 ⊢ (0(ℂ D exp)1 ↔ (0 ∈ ((int‘(MetOpen‘(abs ∘ − )))‘ℂ) ∧ 1 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑢 ∈ ℂ ∣ 𝑢 # 0} ↦ (((exp‘𝑧) − 1) / 𝑧)) limℂ 0)))
204	7, 189, 203	mpbir2an 942	1 ⊢ 0(ℂ D exp)1

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  {crab 2459   ⊆ wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064   ∘ ccom 4630  ⟶wf 5212  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981  ℂcc 7808  ℝcr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815   < clt 7991   ≤ cle 7992   − cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  ℕcn 8918  2c2 8969  3c3 8970  4c4 8971  ℕ₀cn0 9175  ℤ_≥cuz 9527  ℝ⁺crp 9652  ↑cexp 10518  !cfa 10704  abscabs 11005  Σcsu 11360  expce 11649  MetOpencmopn 13415  Topctop 13467  intcnt 13563   lim_ℂ climc 14093   D cdv 14094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ico 9893  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-limced 14095  df-dvap 14096

This theorem is referenced by:  dvef  14158