Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eirraplem GIF version

Theorem eirraplem 11127
 Description: Lemma for eirrap 11128. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
eirraplem (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirraplem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 11015 . . . . . . . . . . 11 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 faccl 10206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32nnrecred 8532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
54oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
6 eirr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
75, 6fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
83, 7mpdan 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
98sumeq2i 10816 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
101, 9eqtr4i 2112 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
11 nn0uz 9116 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
12 eqid 2089 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
13 eirr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 8500 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 8789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
16 eqidd 2090 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
17 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
18 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
19 1exp 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2120oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
2221mpteq2ia 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
236, 22eqtr4i 2112 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2423eftvalcn 11010 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2517, 24mpan 416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2717a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28 eftcl 11007 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3026, 29eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3123efcllem 11012 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3227, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3311, 12, 15, 16, 30, 32isumsplit 10948 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3410, 33syl5eq 2133 . . . . . . . . 9 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3513nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
36 pncan 7751 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3735, 17, 36sylancl 405 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3837oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3938sumeq1d 10818 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
4039oveq1d 5683 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4134, 40eqtrd 2121 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4241oveq1d 5683 . . . . . . 7 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
43 0zd 8825 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4413nnzd 8930 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
4543, 44fzfigd 9901 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
46 elfznn0 9591 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4746, 30sylan2 281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4845, 47fsumcl 10857 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
498adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
502adantl 272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
5349, 52eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5411, 12, 15, 16, 53, 32isumrpcl 10951 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5554rpred 9236 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 7579 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5748, 56pncan2d 7858 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5842, 57eqtrd 2121 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5958oveq2d 5684 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
6013nnnn0d 8789 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
6160faccld 10207 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
6261nncnd 8499 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
63 ere 11023 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
6463recni 7563 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
6564a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6662, 65, 48subdid 7955 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6759, 66eqtr3d 2123 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6861nnrpd 9235 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
6968, 54rpmulcld 9253 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
7069rpred 9236 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
71 eirr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7271zcnd 8932 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7313nnap0d 8531 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 # 0)
7462, 72, 35, 73div12apd 8357 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7513nnred 8498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7675leidd 8055 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄𝑄)
77 facdiv 10209 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7860, 13, 76, 77syl3anc 1175 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7978nnzd 8930 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
8071, 79zmulcld 8937 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
8174, 80eqeltrd 2165 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℤ)
8245, 62, 47fsummulc2 10905 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8346adantl 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8483, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8584oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8662adantr 271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8746, 50sylan2 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8887nncnd 8499 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8987nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) # 0)
9086, 88, 89divrecapd 8323 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
9185, 90eqtr4d 2124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
92 permnn 10242 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9392adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9491, 93eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9594nnzd 8930 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9645, 95fsumzcl 10859 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9782, 96eqeltrd 2165 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9881, 97zsubcld 8936 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9969rpgt0d 9239 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10014peano2nnd 8500 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
101100nnred 8498 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
10215faccld 10207 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103102, 14nnmulcld 8534 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
104101, 103nndivred 8535 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10561nnrecred 8532 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
106 abs1 10568 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘1) = 1
107106oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
108107oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
109108mpteq2i 3933 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11023, 109eqtr4i 2112 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
111 eqid 2089 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
112 1le1 8112 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 1
113106, 112eqbrtri 3872 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) ≤ 1
114113a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11523, 110, 111, 14, 27, 114eftlub 11043 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11654rprege0d 9244 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
117 absid 10567 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
118116, 117syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
119106oveq1i 5678 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12014nnzd 8930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
121 1exp 10047 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
123119, 122syl5eq 2133 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
124123oveq1d 5683 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
125104recnd 7579 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
126125mulid2d 7569 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127124, 126eqtrd 2121 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128115, 118, 1273brtr3d 3882 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
12914nnred 8498 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
130129, 129readdcld 7580 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131129, 129remulcld 7581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
132 1red 7566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13313nnge1d 8528 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
134 1nn 8496 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
135 nnleltp1 8872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136134, 13, 135sylancr 406 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
137133, 136mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
138132, 129, 129, 137ltadd2dd 7963 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
13914nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1401392timesd 8721 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
141 df-2 8544 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
142132, 75, 132, 133leadd1dd 8099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
143141, 142syl5eqbr 3886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
144 2re 8555 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
145144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14614nngt0d 8529 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
147 lemul1 8133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148145, 129, 129, 146, 147syl112anc 1179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
149143, 148mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150140, 149eqbrtrrd 3875 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151101, 130, 131, 138, 150ltletrd 7964 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
152 facp1 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15360, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
154153oveq1d 5683 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
155102nncnd 8499 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15661nnap0d 8531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑄) # 0)
157155, 62, 156divrecapd 8323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
158139, 62, 156divcanap3d 8325 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
159154, 157, 1583eqtr3rd 2130 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
160159oveq1d 5683 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
161105recnd 7579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
162155, 161, 139mul32d 7698 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163160, 162eqtrd 2121 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164151, 163breqtrd 3877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
165103nnred 8498 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
166103nngt0d 8529 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
167 ltdivmul 8400 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168101, 105, 165, 166, 167syl112anc 1179 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
169164, 168mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17055, 104, 105, 128, 169lelttrd 7671 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17155, 132, 68ltmuldiv2d 9285 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
172170, 171mpbird 166 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
173 0p1e1 8599 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
174172, 173syl6breqr 3893 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
17543, 70, 98, 99, 174btwnapz 8939 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17667, 175eqbrtrrd 3875 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17762, 65mulcld 7571 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ)
17881zcnd 8932 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ)
17962, 48mulcld 7571 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180 apsub1 8180 . . . 4 ((((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
181177, 178, 179, 180syl3anc 1175 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
182176, 181mpbird 166 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
183 znq 9172 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
18471, 13, 183syl2anc 404 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
185 qcn 9182 . . . 4 ((𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
186184, 185syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
187 apmul2 8319 . . 3 ((e ∈ ℂ ∧ (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑄) # 0)) → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
18865, 186, 62, 156, 187syl112anc 1179 . 2 (𝜑 → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
189182, 188mpbird 166 1 (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907  dom cdm 4454  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716   # cap 8121   / cdiv 8202  ℕcn 8485  2c2 8536  ℕ0cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ≥cuz 9082  ℚcq 9167  ℝ+crp 9197  ...cfz 9487  seqcseq 9915  ↑cexp 10017  !cfa 10196  abscabs 10493   ⇝ cli 10729  Σcsu 10805  eceu 10996 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-bc 10219  df-ihash 10247  df-shft 10312  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-e 11002 This theorem is referenced by:  eirrap  11128
 Copyright terms: Public domain W3C validator