Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eirraplem GIF version

Theorem eirraplem 11472
 Description: Lemma for eirrap 11473. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
eirraplem (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirraplem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 11357 . . . . . . . . . . 11 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 faccl 10474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32nnrecred 8760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
54oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
6 eirr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
75, 6fvmptg 5490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
83, 7mpdan 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
98sumeq2i 11126 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
101, 9eqtr4i 2161 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
11 nn0uz 9353 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
12 eqid 2137 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
13 eirr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 8728 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 9023 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
16 eqidd 2138 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
17 ax-1cn 7706 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
18 nn0z 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
19 1exp 10315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2120oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
2221mpteq2ia 4009 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
236, 22eqtr4i 2161 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2423eftvalcn 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2517, 24mpan 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2717a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28 eftcl 11349 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3026, 29eqeltrd 2214 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3123efcllem 11354 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3227, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3311, 12, 15, 16, 30, 32isumsplit 11253 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3410, 33syl5eq 2182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3513nncnd 8727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
36 pncan 7961 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3735, 17, 36sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3837oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3938sumeq1d 11128 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
4039oveq1d 5782 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4134, 40eqtrd 2170 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4241oveq1d 5782 . . . . . . 7 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
43 0zd 9059 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4413nnzd 9165 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
4543, 44fzfigd 10197 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
46 elfznn0 9887 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4746, 30sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4845, 47fsumcl 11162 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
498adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
502adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 9475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
5349, 52eqeltrd 2214 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5411, 12, 15, 16, 53, 32isumrpcl 11256 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5554rpred 9476 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 7787 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5748, 56pncan2d 8068 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5842, 57eqtrd 2170 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5958oveq2d 5783 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
6013nnnn0d 9023 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
6160faccld 10475 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
6261nncnd 8727 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
63 ere 11365 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
6463recni 7771 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
6564a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6662, 65, 48subdid 8169 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6759, 66eqtr3d 2172 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6861nnrpd 9475 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
6968, 54rpmulcld 9493 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
7069rpred 9476 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
71 eirr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7271zcnd 9167 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7313nnap0d 8759 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 # 0)
7462, 72, 35, 73div12apd 8580 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7513nnred 8726 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7675leidd 8269 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄𝑄)
77 facdiv 10477 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7860, 13, 76, 77syl3anc 1216 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7978nnzd 9165 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
8071, 79zmulcld 9172 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
8174, 80eqeltrd 2214 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℤ)
8245, 62, 47fsummulc2 11210 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8346adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8483, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8584oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8662adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8746, 50sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8887nncnd 8727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8987nnap0d 8759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) # 0)
9086, 88, 89divrecapd 8546 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
9185, 90eqtr4d 2173 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
92 permnn 10510 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9392adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9491, 93eqeltrd 2214 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9594nnzd 9165 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9645, 95fsumzcl 11164 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9782, 96eqeltrd 2214 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9881, 97zsubcld 9171 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9969rpgt0d 9479 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10014peano2nnd 8728 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
101100nnred 8726 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
10215faccld 10475 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103102, 14nnmulcld 8762 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
104101, 103nndivred 8763 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10561nnrecred 8760 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
106 abs1 10837 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘1) = 1
107106oveq1i 5777 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
108107oveq1i 5777 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
109108mpteq2i 4010 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11023, 109eqtr4i 2161 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
111 eqid 2137 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
112 1le1 8327 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 1
113106, 112eqbrtri 3944 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) ≤ 1
114113a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11523, 110, 111, 14, 27, 114eftlub 11385 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11654rprege0d 9484 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
117 absid 10836 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
118116, 117syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
119106oveq1i 5777 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12014nnzd 9165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
121 1exp 10315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
123119, 122syl5eq 2182 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
124123oveq1d 5782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
125104recnd 7787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
126125mulid2d 7777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127124, 126eqtrd 2170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128115, 118, 1273brtr3d 3954 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
12914nnred 8726 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
130129, 129readdcld 7788 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131129, 129remulcld 7789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
132 1red 7774 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13313nnge1d 8756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
134 1nn 8724 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
135 nnleltp1 9106 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136134, 13, 135sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
137133, 136mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
138132, 129, 129, 137ltadd2dd 8177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
13914nncnd 8727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1401392timesd 8955 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
141 df-2 8772 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
142132, 75, 132, 133leadd1dd 8314 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
143141, 142eqbrtrid 3958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
144 2re 8783 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
145144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14614nngt0d 8757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
147 lemul1 8348 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148145, 129, 129, 146, 147syl112anc 1220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
149143, 148mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150140, 149eqbrtrrd 3947 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151101, 130, 131, 138, 150ltletrd 8178 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
152 facp1 10469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15360, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
154153oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
155102nncnd 8727 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15661nnap0d 8759 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑄) # 0)
157155, 62, 156divrecapd 8546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
158139, 62, 156divcanap3d 8548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
159154, 157, 1583eqtr3rd 2179 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
160159oveq1d 5782 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
161105recnd 7787 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
162155, 161, 139mul32d 7908 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163160, 162eqtrd 2170 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164151, 163breqtrd 3949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
165103nnred 8726 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
166103nngt0d 8757 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
167 ltdivmul 8627 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168101, 105, 165, 166, 167syl112anc 1220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
169164, 168mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17055, 104, 105, 128, 169lelttrd 7880 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17155, 132, 68ltmuldiv2d 9525 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
172170, 171mpbird 166 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
173 0p1e1 8827 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
174172, 173breqtrrdi 3965 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
17543, 70, 98, 99, 174btwnapz 9174 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17667, 175eqbrtrrd 3947 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17762, 65mulcld 7779 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ)
17881zcnd 9167 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ)
17962, 48mulcld 7779 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180 apsub1 8397 . . . 4 ((((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
181177, 178, 179, 180syl3anc 1216 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
182176, 181mpbird 166 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
183 znq 9409 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
18471, 13, 183syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
185 qcn 9419 . . . 4 ((𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
186184, 185syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
187 apmul2 8542 . . 3 ((e ∈ ℂ ∧ (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑄) # 0)) → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
18865, 186, 62, 156, 187syl112anc 1220 . 2 (𝜑 → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
189182, 188mpbird 166 1 (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3924   ↦ cmpt 3984  dom cdm 4534  ‘cfv 5118  (class class class)co 5767  ℂcc 7611  ℝcr 7612  0cc0 7613  1c1 7614   + caddc 7616   · cmul 7618   < clt 7793   ≤ cle 7794   − cmin 7926   # cap 8336   / cdiv 8425  ℕcn 8713  2c2 8764  ℕ0cn0 8970  ℤcz 9047  ℤ≥cuz 9319  ℚcq 9404  ℝ+crp 9434  ...cfz 9783  seqcseq 10211  ↑cexp 10285  !cfa 10464  abscabs 10762   ⇝ cli 11040  Σcsu 11115  eceu 11338 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-shft 10580  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-e 11344 This theorem is referenced by:  eirrap  11473
 Copyright terms: Public domain W3C validator