ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eirraplem GIF version

Theorem eirraplem 11395
Description: Lemma for eirrap 11396. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
eirraplem (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirraplem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 11282 . . . . . . . . . . 11 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 faccl 10436 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32nnrecred 8731 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4 fveq2 5389 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
54oveq2d 5758 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
6 eirr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
75, 6fvmptg 5465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
83, 7mpdan 417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
98sumeq2i 11088 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
101, 9eqtr4i 2141 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
11 nn0uz 9316 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
12 eqid 2117 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
13 eirr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 8699 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 8988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
16 eqidd 2118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
17 ax-1cn 7681 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
18 nn0z 9032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
19 1exp 10277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2120oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
2221mpteq2ia 3984 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
236, 22eqtr4i 2141 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2423eftvalcn 11277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2517, 24mpan 420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2717a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28 eftcl 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3026, 29eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3123efcllem 11279 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3227, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3311, 12, 15, 16, 30, 32isumsplit 11215 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3410, 33syl5eq 2162 . . . . . . . . 9 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3513nncnd 8698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
36 pncan 7936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3735, 17, 36sylancl 409 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3837oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3938sumeq1d 11090 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
4039oveq1d 5757 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4134, 40eqtrd 2150 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4241oveq1d 5757 . . . . . . 7 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
43 0zd 9024 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4413nnzd 9130 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
4543, 44fzfigd 10159 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
46 elfznn0 9849 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4746, 30sylan2 284 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4845, 47fsumcl 11124 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
498adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
502adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 9437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
5349, 52eqeltrd 2194 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5411, 12, 15, 16, 53, 32isumrpcl 11218 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5554rpred 9438 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 7762 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5748, 56pncan2d 8043 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5842, 57eqtrd 2150 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5958oveq2d 5758 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
6013nnnn0d 8988 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
6160faccld 10437 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
6261nncnd 8698 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
63 ere 11290 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
6463recni 7746 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
6564a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6662, 65, 48subdid 8144 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6759, 66eqtr3d 2152 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6861nnrpd 9437 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
6968, 54rpmulcld 9455 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
7069rpred 9438 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
71 eirr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7271zcnd 9132 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7313nnap0d 8730 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 # 0)
7462, 72, 35, 73div12apd 8554 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7513nnred 8697 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7675leidd 8244 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄𝑄)
77 facdiv 10439 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7860, 13, 76, 77syl3anc 1201 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7978nnzd 9130 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
8071, 79zmulcld 9137 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
8174, 80eqeltrd 2194 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℤ)
8245, 62, 47fsummulc2 11172 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8346adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8483, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8584oveq2d 5758 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8662adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8746, 50sylan2 284 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8887nncnd 8698 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8987nnap0d 8730 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) # 0)
9086, 88, 89divrecapd 8520 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
9185, 90eqtr4d 2153 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
92 permnn 10472 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9392adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9491, 93eqeltrd 2194 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9594nnzd 9130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9645, 95fsumzcl 11126 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9782, 96eqeltrd 2194 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9881, 97zsubcld 9136 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9969rpgt0d 9441 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10014peano2nnd 8699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
101100nnred 8697 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
10215faccld 10437 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103102, 14nnmulcld 8733 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
104101, 103nndivred 8734 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10561nnrecred 8731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
106 abs1 10799 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘1) = 1
107106oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
108107oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
109108mpteq2i 3985 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11023, 109eqtr4i 2141 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
111 eqid 2117 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
112 1le1 8301 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 1
113106, 112eqbrtri 3919 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) ≤ 1
114113a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11523, 110, 111, 14, 27, 114eftlub 11310 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11654rprege0d 9446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
117 absid 10798 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
118116, 117syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
119106oveq1i 5752 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12014nnzd 9130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
121 1exp 10277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
123119, 122syl5eq 2162 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
124123oveq1d 5757 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
125104recnd 7762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
126125mulid2d 7752 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127124, 126eqtrd 2150 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128115, 118, 1273brtr3d 3929 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
12914nnred 8697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
130129, 129readdcld 7763 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131129, 129remulcld 7764 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
132 1red 7749 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13313nnge1d 8727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
134 1nn 8695 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
135 nnleltp1 9071 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136134, 13, 135sylancr 410 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
137133, 136mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
138132, 129, 129, 137ltadd2dd 8152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
13914nncnd 8698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1401392timesd 8920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
141 df-2 8743 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
142132, 75, 132, 133leadd1dd 8288 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
143141, 142eqbrtrid 3933 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
144 2re 8754 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
145144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14614nngt0d 8728 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
147 lemul1 8322 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148145, 129, 129, 146, 147syl112anc 1205 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
149143, 148mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150140, 149eqbrtrrd 3922 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151101, 130, 131, 138, 150ltletrd 8153 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
152 facp1 10431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15360, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
154153oveq1d 5757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
155102nncnd 8698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15661nnap0d 8730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑄) # 0)
157155, 62, 156divrecapd 8520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
158139, 62, 156divcanap3d 8522 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
159154, 157, 1583eqtr3rd 2159 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
160159oveq1d 5757 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
161105recnd 7762 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
162155, 161, 139mul32d 7883 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163160, 162eqtrd 2150 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164151, 163breqtrd 3924 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
165103nnred 8697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
166103nngt0d 8728 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
167 ltdivmul 8598 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168101, 105, 165, 166, 167syl112anc 1205 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
169164, 168mpbird 166 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17055, 104, 105, 128, 169lelttrd 7855 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17155, 132, 68ltmuldiv2d 9487 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
172170, 171mpbird 166 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
173 0p1e1 8798 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
174172, 173breqtrrdi 3940 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
17543, 70, 98, 99, 174btwnapz 9139 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17667, 175eqbrtrrd 3922 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17762, 65mulcld 7754 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ)
17881zcnd 9132 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ)
17962, 48mulcld 7754 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180 apsub1 8371 . . . 4 ((((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
181177, 178, 179, 180syl3anc 1201 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
182176, 181mpbird 166 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
183 znq 9372 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
18471, 13, 183syl2anc 408 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
185 qcn 9382 . . . 4 ((𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
186184, 185syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
187 apmul2 8516 . . 3 ((e ∈ ℂ ∧ (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑄) # 0)) → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
18865, 186, 62, 156, 187syl112anc 1205 . 2 (𝜑 → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
189182, 188mpbird 166 1 (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cmpt 3959  dom cdm 4509  cfv 5093  (class class class)co 5742  cc 7586  cr 7587  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   · cmul 7593   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901   # cap 8310   / cdiv 8399  cn 8684  2c2 8735  0cn0 8935  cz 9012  cuz 9282  cq 9367  +crp 9397  ...cfz 9745  seqcseq 10173  cexp 10247  !cfa 10426  abscabs 10724  cli 11002  Σcsu 11077  eceu 11263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-irdg 6235  df-frec 6256  df-1o 6281  df-oadd 6285  df-er 6397  df-en 6603  df-dom 6604  df-fin 6605  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-2 8743  df-3 8744  df-4 8745  df-n0 8936  df-z 9013  df-uz 9283  df-q 9368  df-rp 9398  df-ico 9632  df-fz 9746  df-fzo 9875  df-seqfrec 10174  df-exp 10248  df-fac 10427  df-bc 10449  df-ihash 10477  df-shft 10542  df-cj 10569  df-re 10570  df-im 10571  df-rsqrt 10725  df-abs 10726  df-clim 11003  df-sumdc 11078  df-ef 11268  df-e 11269
This theorem is referenced by:  eirrap  11396
  Copyright terms: Public domain W3C validator