ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eirraplem GIF version

Theorem eirraplem 11798
Description: Lemma for eirrap 11799. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
eirr.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
eirr.2 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
eirr.3 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
eirraplem (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Distinct variable group:   𝑄,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝑃(𝑛)   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem eirraplem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esum 11684 . . . . . . . . . . 11 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
2 faccl 10729 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32nnrecred 8980 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
4 fveq2 5527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
54oveq2d 5904 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
6 eirr.1 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
75, 6fvmptg 5605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
83, 7mpdan 421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
98sumeq2i 11386 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (1 / (!‘𝑘))
101, 9eqtr4i 2211 . . . . . . . . . 10 e = Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘)
11 nn0uz 9576 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
12 eqid 2187 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(𝑄 + 1)) = (ℤ‘(𝑄 + 1))
13 eirr.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
1413peano2nnd 8948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ)
1514nnnn0d 9243 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℕ0)
16 eqidd 2188 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
17 ax-1cn 7918 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
18 nn0z 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
19 1exp 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
2018, 19syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
2120oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
2221mpteq2ia 4101 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
236, 22eqtr4i 2211 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
2423eftvalcn 11679 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2517, 24mpan 424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2625adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)))
2717a1i 9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
28 eftcl 11676 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2927, 28sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → ((1↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
3026, 29eqeltrd 2264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3123efcllem 11681 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3227, 31syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3311, 12, 15, 16, 30, 32isumsplit 11513 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ℕ0 (𝐹𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3410, 33eqtrid 2232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
3513nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
36 pncan 8177 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3735, 17, 36sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑄 + 1) − 1) = 𝑄)
3837oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0...((𝑄 + 1) − 1)) = (0...𝑄))
3938sumeq1d 11388 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))
4039oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...((𝑄 + 1) − 1))(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4134, 40eqtrd 2220 . . . . . . . 8 (𝜑 → e = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
4241oveq1d 5903 . . . . . . 7 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))
43 0zd 9279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4413nnzd 9388 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
4543, 44fzfigd 10445 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑄) ∈ Fin)
46 elfznn0 10128 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4746, 30sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4845, 47fsumcl 11422 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
498adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
502adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
5150nnrpd 9708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
5251rpreccld 9721 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ+)
5349, 52eqeltrd 2264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5411, 12, 15, 16, 53, 32isumrpcl 11516 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ+)
5554rpred 9710 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
5655recnd 8000 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℂ)
5748, 56pncan2d 8284 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘) + Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5842, 57eqtrd 2220 . . . . . 6 (𝜑 → (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
5958oveq2d 5904 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
6013nnnn0d 9243 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ ℕ0)
6160faccld 10730 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℕ)
6261nncnd 8947 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
63 ere 11692 . . . . . . . 8 e ∈ ℝ
6463recni 7983 . . . . . . 7 e ∈ ℂ
6564a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → e ∈ ℂ)
6662, 65, 48subdid 8385 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (e − Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6759, 66eqtr3d 2222 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
6861nnrpd 9708 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑄) ∈ ℝ+)
6968, 54rpmulcld 9727 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
7069rpred 9710 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
71 eirr.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
7271zcnd 9390 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
7313nnap0d 8979 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 # 0)
7462, 72, 35, 73div12apd 8798 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) = (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)))
7513nnred 8946 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
7675leidd 8485 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄𝑄)
77 facdiv 10732 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 ∈ ℕ0𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑄𝑄) → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7860, 13, 76, 77syl3anc 1248 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℕ)
7978nnzd 9388 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((!‘𝑄) / 𝑄) ∈ ℤ)
8071, 79zmulcld 9395 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 · ((!‘𝑄) / 𝑄)) ∈ ℤ)
8174, 80eqeltrd 2264 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℤ)
8245, 62, 47fsummulc2 11470 . . . . . . 7 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)))
8346adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8483, 8syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (𝐹𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
8584oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
8662adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑄) ∈ ℂ)
8746, 50sylan2 286 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8887nncnd 8947 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
8987nnap0d 8979 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → (!‘𝑘) # 0)
9086, 88, 89divrecapd 8764 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) = ((!‘𝑄) · (1 / (!‘𝑘))))
9185, 90eqtr4d 2223 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) = ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)))
92 permnn 10765 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...𝑄) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9392adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) / (!‘𝑘)) ∈ ℕ)
9491, 93eqeltrd 2264 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℕ)
9594nnzd 9388 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑄)) → ((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9645, 95fsumzcl 11424 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)((!‘𝑄) · (𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9782, 96eqeltrd 2264 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℤ)
9881, 97zsubcld 9394 . . . . 5 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) ∈ ℤ)
9969rpgt0d 9713 . . . . 5 (𝜑 → 0 < ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
10014peano2nnd 8948 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℕ)
101100nnred 8946 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ)
10215faccld 10730 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
103102, 14nnmulcld 8982 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℕ)
104101, 103nndivred 8983 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℝ)
10561nnrecred 8980 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ)
106 abs1 11095 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘1) = 1
107106oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘1)↑𝑛) = (1↑𝑛)
108107oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)) = ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))
109108mpteq2i 4102 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
11023, 109eqtr4i 2211 . . . . . . . . . 10 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((abs‘1)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
111 eqid 2187 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) / (!‘(𝑄 + 1))) · ((1 / ((𝑄 + 1) + 1))↑𝑛)))
112 1le1 8543 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 1
113106, 112eqbrtri 4036 . . . . . . . . . . 11 (abs‘1) ≤ 1
114113a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (abs‘1) ≤ 1)
11523, 110, 111, 14, 27, 114eftlub 11712 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) ≤ (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
11654rprege0d 9718 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)))
117 absid 11094 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
118116, 117syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘))
119106oveq1i 5898 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = (1↑(𝑄 + 1))
12014nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℤ)
121 1exp 10563 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 + 1) ∈ ℤ → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
122120, 121syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1↑(𝑄 + 1)) = 1)
123119, 122eqtrid 2232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) = 1)
124123oveq1d 5903 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))))
125104recnd 8000 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) ∈ ℂ)
126125mulid2d 7990 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
127124, 126eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((abs‘1)↑(𝑄 + 1)) · (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) = (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
128115, 118, 1273brtr3d 4046 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) ≤ (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))))
12914nnred 8946 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
130129, 129readdcld 8001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
131129, 129remulcld 8002 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
132 1red 7986 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
13313nnge1d 8976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ≤ 𝑄)
134 1nn 8944 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ
135 nnleltp1 9326 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℕ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
136134, 13, 135sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 ≤ 𝑄 ↔ 1 < (𝑄 + 1)))
137133, 136mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 < (𝑄 + 1))
138132, 129, 129, 137ltadd2dd 8393 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
13914nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑄 + 1) ∈ ℂ)
1401392timesd 9175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) = ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)))
141 df-2 8992 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
142132, 75, 132, 133leadd1dd 8530 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (1 + 1) ≤ (𝑄 + 1))
143141, 142eqbrtrid 4050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 2 ≤ (𝑄 + 1))
144 2re 9003 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
145144a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
14614nngt0d 8977 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝑄 + 1))
147 lemul1 8564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝑄 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑄 + 1))) → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
148145, 129, 129, 146, 147syl112anc 1252 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 ≤ (𝑄 + 1) ↔ (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1))))
149143, 148mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (2 · (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
150140, 149eqbrtrrd 4039 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + (𝑄 + 1)) ≤ ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
151101, 130, 131, 138, 150ltletrd 8394 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)))
152 facp1 10724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑄 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
15360, 152syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) = ((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)))
154153oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)))
155102nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘(𝑄 + 1)) ∈ ℂ)
15661nnap0d 8979 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (!‘𝑄) # 0)
157155, 62, 156divrecapd 8764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
158139, 62, 156divcanap3d 8766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((!‘𝑄) · (𝑄 + 1)) / (!‘𝑄)) = (𝑄 + 1))
159154, 157, 1583eqtr3rd 2229 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 + 1) = ((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
160159oveq1d 5903 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)))
161105recnd 8000 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℂ)
162155, 161, 139mul32d 8124 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((!‘(𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
163160, 162eqtrd 2220 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑄 + 1) · (𝑄 + 1)) = (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
164151, 163breqtrd 4041 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄))))
165103nnred 8946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ)
166103nngt0d 8977 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))
167 ltdivmul 8847 . . . . . . . . . 10 ((((𝑄 + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ (1 / (!‘𝑄)) ∈ ℝ ∧ (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)))) → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
168101, 105, 165, 166, 167syl112anc 1252 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)) ↔ ((𝑄 + 1) + 1) < (((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1)) · (1 / (!‘𝑄)))))
169164, 168mpbird 167 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑄 + 1) + 1) / ((!‘(𝑄 + 1)) · (𝑄 + 1))) < (1 / (!‘𝑄)))
17055, 104, 105, 128, 169lelttrd 8096 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄)))
17155, 132, 68ltmuldiv2d 9759 . . . . . . 7 (𝜑 → (((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1 ↔ Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘) < (1 / (!‘𝑄))))
172170, 171mpbird 167 . . . . . 6 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < 1)
173 0p1e1 9047 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
174172, 173breqtrrdi 4057 . . . . 5 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) < (0 + 1))
17543, 70, 98, 99, 174btwnapz 9397 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑄 + 1))(𝐹𝑘)) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17667, 175eqbrtrrd 4039 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))))
17762, 65mulcld 7992 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ)
17881zcnd 9390 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ)
17962, 48mulcld 7992 . . . 4 (𝜑 → ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
180 apsub1 8613 . . . 4 ((((!‘𝑄) · e) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
181177, 178, 179, 180syl3anc 1248 . . 3 (𝜑 → (((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) ↔ (((!‘𝑄) · e) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘))) # (((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)) − ((!‘𝑄) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑄)(𝐹𝑘)))))
182176, 181mpbird 167 . 2 (𝜑 → ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄)))
183 znq 9638 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℕ) → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
18471, 13, 183syl2anc 411 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ)
185 qcn 9648 . . . 4 ((𝑃 / 𝑄) ∈ ℚ → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
186184, 185syl 14 . . 3 (𝜑 → (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ)
187 apmul2 8760 . . 3 ((e ∈ ℂ ∧ (𝑃 / 𝑄) ∈ ℂ ∧ ((!‘𝑄) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑄) # 0)) → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
18865, 186, 62, 156, 187syl112anc 1252 . 2 (𝜑 → (e # (𝑃 / 𝑄) ↔ ((!‘𝑄) · e) # ((!‘𝑄) · (𝑃 / 𝑄))))
189182, 188mpbird 167 1 (𝜑 → e # (𝑃 / 𝑄))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1363  wcel 2158   class class class wbr 4015  cmpt 4076  dom cdm 4638  cfv 5228  (class class class)co 5888  cc 7823  cr 7824  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   · cmul 7830   < clt 8006  cle 8007  cmin 8142   # cap 8552   / cdiv 8643  cn 8933  2c2 8984  0cn0 9190  cz 9267  cuz 9542  cq 9633  +crp 9667  ...cfz 10022  seqcseq 10459  cexp 10533  !cfa 10719  abscabs 11020  cli 11300  Σcsu 11375  eceu 11665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-ico 9908  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-e 11671
This theorem is referenced by:  eirrap  11799
  Copyright terms: Public domain W3C validator