ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ege2le3 GIF version

Theorem ege2le3 11663
Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 9180 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2 nn0uz 9551 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtri 2252 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
43a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ (ℤ‘0))
5 elnn0uz 9554 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65biimpri 133 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7 faccl 10699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
87nnrecred 8955 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
109oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
1210, 11fvmptg 5588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
138, 12mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
1413, 8eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
156, 14syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1615adantl 277 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
17 readdcl 7928 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1817adantl 277 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
194, 16, 18seq3p1 10448 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))))
20 0zd 9254 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2120, 16, 18seq3-1 10446 . . . . . . . 8 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (𝐺‘0))
22 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
23 fac0 10692 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘0) = 1
2422, 23eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
2524oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
26 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
2726div1i 8686 . . . . . . . . . . 11 (1 / 1) = 1
2825, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
29 1ex 7943 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3028, 11, 29fvmpt 5589 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
3221, 31eqtrd 2210 . . . . . . 7 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
33 1e0p1 9414 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
3433fveq2i 5514 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = (𝐺‘(0 + 1))
35 1nn0 9181 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
36 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
37 fac1 10693 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘1) = 1
3836, 37eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
3938oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
4039, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
4140, 11, 29fvmpt 5589 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
4334, 42eqtr3id 2224 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘(0 + 1)) = 1)
4432, 43oveq12d 5887 . . . . . 6 (⊤ → ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))) = (1 + 1))
4519, 44eqtrd 2210 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = (1 + 1))
4633fveq2i 5514 . . . . 5 (seq0( + , 𝐺)‘1) = (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1))
47 df-2 8967 . . . . 5 2 = (1 + 1)
4845, 46, 473eqtr4g 2235 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
4935a1i 9 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
50 nn0z 9262 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
51 1exp 10535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
5352oveq1d 5884 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
5453mpteq2ia 4086 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5511, 54eqtr4i 2201 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5655efcvg 11658 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
58 df-e 11641 . . . . . 6 e = (exp‘1)
5957, 58breqtrrdi 4042 . . . . 5 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
6013adantl 277 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
617adantl 277 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6261nnrecred 8955 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
6360, 62eqeltrd 2254 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6461nnred 8921 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
6561nngt0d 8952 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
66 1re 7947 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
67 0le1 8428 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
68 divge0 8819 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
6966, 67, 68mpanl12 436 . . . . . . 7 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
7064, 65, 69syl2anc 411 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
7170, 60breqtrrd 4028 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
722, 49, 59, 63, 71climserle 11337 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
7348, 72eqbrtrrd 4024 . . 3 (⊤ → 2 ≤ e)
7473mptru 1362 . 2 2 ≤ e
75 nnuz 9552 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
76 1zzd 9269 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
771a1i 9 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7863recnd 7976 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
792, 77, 78, 59clim2ser 11329 . . . . . . 7 (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
80 0p1e1 9022 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
81 seqeq1 10434 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
8332mptru 1362 . . . . . . . 8 (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
8483oveq2i 5880 . . . . . . 7 (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
8579, 82, 843brtr3g 4033 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
86 2cnd 8981 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
87 halfre 9121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℝ
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
9088, 89reexpcld 10656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
91 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
92 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9391, 92fvmptg 5588 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
9490, 93mpdan 421 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
9594adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
96 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 reexpcl 10523 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
9887, 96, 97sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
9998recnd 7976 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
10095, 99eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 1lt2 9077 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
102 2re 8978 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
103 0le2 8998 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
104 absid 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
105102, 103, 104mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘2) = 2
106101, 105breqtrri 4027 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (abs‘2)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 < (abs‘2))
10886, 107, 95georeclim 11505 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
109 2m1e1 9026 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
110109oveq2i 5880 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
111 2cn 8979 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
112111div1i 8686 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
113110, 112eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 − 1)) = 2
114108, 113breqtrdi 4041 . . . . . . . . . 10 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
1152, 77, 100, 114clim2ser 11329 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
116 seqeq1 10434 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
11780, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1186adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11994, 90eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
12120, 120, 18seq3-1 10446 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0))
122 halfcn 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) ∈ ℂ
123 exp0 10510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2)↑0) = 1
125124, 35eqeltri 2250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0
126 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
127126, 92fvmptg 5588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
1281, 125, 127mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
129128, 124eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
130121, 129eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
131130mptru 1362 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
132131oveq2i 5880 . . . . . . . . . 10 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
133132, 109eqtri 2198 . . . . . . . . 9 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
134115, 117, 1333brtr3g 4033 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
135 nnnn0 9172 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
136135, 100sylan2 286 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
139137, 138remulcld 7978 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
14091oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
142140, 141fvmptg 5588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
143139, 142mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
144143adantl 277 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
145135, 95sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
146145oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
147144, 146eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 11332 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
149 2t1e2 9061 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
150148, 149breqtrdi 4041 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
151135, 63sylan2 286 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
152 remulcl 7930 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
153102, 98, 152sylancr 414 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
154135, 153sylan2 286 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
155144, 154eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
156 faclbnd2 10706 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
157156adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
158 2nn 9069 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
159 nnexpcl 10519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
160158, 96, 159sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
161160nnrpd 9681 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
162161rphalfcld 9696 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
16361nnrpd 9681 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
164162, 163lerecd 9703 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
165157, 164mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
166 2cnd 8981 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
167160nncnd 8922 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
168160nnap0d 8954 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) # 0)
169166, 167, 168divrecapd 8739 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
170 2ap0 9001 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
172167, 166, 168, 171recdivapd 8753 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
173 nn0z 9262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
174173adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
175166, 171, 174exprecapd 10647 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
176175oveq2d 5885 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
177169, 172, 1763eqtr4rd 2221 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
178165, 177breqtrrd 4028 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
179135, 178sylan2 286 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
180135, 60sylan2 286 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
181179, 180, 1443brtr4d 4032 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 11334 . . . . 5 (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
183182mptru 1362 . . . 4 (e − 1) ≤ 2
184 ere 11662 . . . . 5 e ∈ ℝ
185184, 66, 102lesubaddi 8453 . . . 4 ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
186183, 185mpbi 145 . . 3 e ≤ (2 + 1)
187 df-3 8968 . . 3 3 = (2 + 1)
188186, 187breqtrri 4027 . 2 e ≤ 3
18974, 188pm3.2i 272 1 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148   class class class wbr 4000  cmpt 4061  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  cr 7801  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528   / cdiv 8618  cn 8908  2c2 8959  3c3 8960  0cn0 9165  cz 9242  cuz 9517  seqcseq 10431  cexp 10505  !cfa 10689  abscabs 10990  cli 11270  expce 11634  eceu 11635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-e 11641
This theorem is referenced by:  egt2lt3  11771
  Copyright terms: Public domain W3C validator