Theorem ege2le3 11024

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 8751	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9116	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2163	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9119	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		faccl 10206	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8	7	nnrecred 8532	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9		fveq2 5320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
10	9	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
11		erelem1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
12	10, 11	fvmptg 5395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
13	8, 12	mpdan 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
14	13, 8	eqeltrd 2165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
17		readdcl 7531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
18	17	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
19	4, 16, 18	seq3p1 9947	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))))
20		0zd 8825	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
21	20, 16, 18	seq3-1 9940	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (𝐺‘0))
22		fveq2 5320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
23		fac0 10199	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘0) = 1
24	22, 23	syl6eq 2137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
25	24	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
26		ax-1cn 7501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	div1i 8270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 1) = 1
28	25, 27	syl6eq 2137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
29		1ex 7546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
30	28, 11, 29	fvmpt 5396	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
31	1, 30	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
32	21, 31	eqtrd 2121	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
33		1e0p1 8981	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
34	33	fveq2i 5323	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1) = (𝐺‘(0 + 1))
35		1nn0 8752	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36		fveq2 5320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
37		fac1 10200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘1) = 1
38	36, 37	syl6eq 2137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
39	38	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
40	39, 27	syl6eq 2137	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
41	40, 11, 29	fvmpt 5396	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
42	35, 41	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
43	34, 42	syl5eqr 2135	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐺‘(0 + 1)) = 1)
44	32, 43	oveq12d 5686	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))) = (1 + 1))
45	19, 44	eqtrd 2121	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = (1 + 1))
46	33	fveq2i 5323	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘1) = (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1))
47		df-2 8544	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48	45, 46, 47	3eqtr4g 2146	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
49	35	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
50		nn0z 8833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
51		1exp 10047	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
53	52	oveq1d 5683	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
54	53	mpteq2ia 3932	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
55	11, 54	eqtr4i 2112	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
56	55	efcvg 11019	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
57	26, 56	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
58		df-e 11002	. . . . . 6 ⊢ e = (exp‘1)
59	57, 58	syl6breqr 3893	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
60	13	adantl 272	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
61	7	adantl 272	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
62	61	nnrecred 8532	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
63	60, 62	eqeltrd 2165	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
64	61	nnred 8498	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
65	61	nngt0d 8529	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
66		1re 7550	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
67		0le1 8022	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
68		divge0 8397	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
69	66, 67, 68	mpanl12 428	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
70	64, 65, 69	syl2anc 404	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
71	70, 60	breqtrrd 3879	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
72	2, 49, 59, 63, 71	climserle 10797	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
73	48, 72	eqbrtrrd 3875	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ≤ e)
74	73	mptru 1299	. 2 ⊢ 2 ≤ e
75		nnuz 9117	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
76		1zzd 8840	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
77	1	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
78	63	recnd 7579	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
79	2, 77, 78, 59	clim2ser 10788	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
80		0p1e1 8599	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
81		seqeq1 9924	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
82	80, 81	ax-mp 7	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
83	32	mptru 1299	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
84	83	oveq2i 5679	. . . . . . 7 ⊢ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
85	79, 82, 84	3brtr3g 3884	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
86		2cnd 8558	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
87		halfre 8692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
88	87	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
89		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
90	88, 89	reexpcld 10166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
91		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
92		eqid 2089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
93	91, 92	fvmptg 5395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
94	90, 93	mpdan 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
95	94	adantl 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
96		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97		reexpcl 10035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
98	87, 96, 97	sylancr 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
99	98	recnd 7579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
100	95, 99	eqeltrd 2165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101		1lt2 8648	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
102		2re 8555	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
103		0le2 8575	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
104		absid 10567	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
105	102, 103, 104	mp2an 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘2) = 2
106	101, 105	breqtrri 3878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < (abs‘2)
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 1 < (abs‘2))
108	86, 107, 95	georeclim 10970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
109		2m1e1 8603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
110	109	oveq2i 5679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
111		2cn 8556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
112	111	div1i 8270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
113	110, 112	eqtri 2109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / (2 − 1)) = 2
114	108, 113	syl6breq 3892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
115	2, 77, 100, 114	clim2ser 10788	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
116		seqeq1 9924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
117	80, 116	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 ⊢ seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
118	6	adantl 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
119	94, 90	eqeltrd 2165	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
120	118, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
121	20, 120, 18	seq3-1 9940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0))
122		halfcn 8693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
123		exp0 10022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
124	122, 123	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2)↑0) = 1
125	124, 35	eqeltri 2161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0
126		oveq2 5676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
127	126, 92	fvmptg 5395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
128	1, 125, 127	mp2an 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
129	128, 124	eqtri 2109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
130	121, 129	syl6eq 2137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
131	130	mptru 1299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
132	131	oveq2i 5679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
133	132, 109	eqtri 2109	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
134	115, 117, 133	3brtr3g 3884	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
135		nnnn0 8743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
136	135, 100	sylan2 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
137	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
138	135, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
139	137, 138	remulcld 7581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
140	91	oveq2d 5684	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
141		erelem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
142	140, 141	fvmptg 5395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
143	139, 142	mpdan 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
144	143	adantl 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
145	135, 95	sylan2 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
146	145	oveq2d 5684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
147	144, 146	eqtr4d 2124	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
148	75, 76, 86, 134, 136, 147	isermulc2 10792	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
149		2t1e2 8632	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
150	148, 149	syl6breq 3892	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
151	135, 63	sylan2 281	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
152		remulcl 7533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
153	102, 98, 152	sylancr 406	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
154	135, 153	sylan2 281	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
155	144, 154	eqeltrd 2165	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
156		faclbnd2 10213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
157	156	adantl 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
158		2nn 8640	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
159		nnexpcl 10031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
160	158, 96, 159	sylancr 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
161	160	nnrpd 9235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
162	161	rphalfcld 9249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
163	61	nnrpd 9235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
164	162, 163	lerecd 9256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
165	157, 164	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
166		2cnd 8558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
167	160	nncnd 8499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
168	160	nnap0d 8531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) # 0)
169	166, 167, 168	divrecapd 8323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
170		2ap0 8578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
172	167, 166, 168, 171	recdivapd 8337	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
173		nn0z 8833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
174	173	adantl 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
175	166, 171, 174	exprecapd 10157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
176	175	oveq2d 5684	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
177	169, 172, 176	3eqtr4rd 2132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
178	165, 177	breqtrrd 3879	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
179	135, 178	sylan2 281	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
180	135, 60	sylan2 281	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
181	179, 180, 144	3brtr4d 3883	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
182	75, 76, 85, 150, 151, 155, 181	iserle 10794	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
183	182	mptru 1299	. . . 4 ⊢ (e − 1) ≤ 2
184		ere 11023	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
185	184, 66, 102	lesubaddi 8047	. . . 4 ⊢ ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
186	183, 185	mpbi 144	. . 3 ⊢ e ≤ (2 + 1)
187		df-3 8545	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
188	186, 187	breqtrri 3878	. 2 ⊢ e ≤ 3
189	74, 188	pm3.2i 267	1 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Syntax hints:   ∧ wa 103   = wceq 1290  ⊤wtru 1291   ∈ wcel 1439   class class class wbr 3853   ↦ cmpt 3907  ‘cfv 5030  (class class class)co 5668  ℂcc 7411  ℝcr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585   ≤ cle 7586   − cmin 7716   # cap 8121   / cdiv 8202  ℕcn 8485  2c2 8536  3c3 8537  ℕ₀cn0 8736  ℤcz 8813  ℤ_≥cuz 9082  seqcseq 9915  ↑cexp 10017  !cfa 10196  abscabs 10493   ⇝ cli 10729  expce 10995  eceu 10996

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-e 11002

This theorem is referenced by:  egt2lt3  11130