ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ege2le3 GIF version

Theorem ege2le3 11024
Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 8751 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2 nn0uz 9116 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
31, 2eleqtri 2163 . . . . . . . 8 0 ∈ (ℤ‘0)
43a1i 9 . . . . . . 7 (⊤ → 0 ∈ (ℤ‘0))
5 elnn0uz 9119 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘0))
65biimpri 132 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7 faccl 10206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
87nnrecred 8532 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
109oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
1210, 11fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
138, 12mpdan 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
1413, 8eqeltrd 2165 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
156, 14syl 14 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
1615adantl 272 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
17 readdcl 7531 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
1817adantl 272 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
194, 16, 18seq3p1 9947 . . . . . 6 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))))
20 0zd 8825 . . . . . . . . 9 (⊤ → 0 ∈ ℤ)
2120, 16, 18seq3-1 9940 . . . . . . . 8 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (𝐺‘0))
22 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
23 fac0 10199 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘0) = 1
2422, 23syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
2524oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
26 ax-1cn 7501 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
2726div1i 8270 . . . . . . . . . . 11 (1 / 1) = 1
2825, 27syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
29 1ex 7546 . . . . . . . . . 10 1 ∈ V
3028, 11, 29fvmpt 5396 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
3221, 31eqtrd 2121 . . . . . . 7 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
33 1e0p1 8981 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
3433fveq2i 5323 . . . . . . . 8 (𝐺‘1) = (𝐺‘(0 + 1))
35 1nn0 8752 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
36 fveq2 5320 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
37 fac1 10200 . . . . . . . . . . . . 13 (!‘1) = 1
3836, 37syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
3938oveq2d 5684 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
4039, 27syl6eq 2137 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
4140, 11, 29fvmpt 5396 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
4334, 42syl5eqr 2135 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐺‘(0 + 1)) = 1)
4432, 43oveq12d 5686 . . . . . 6 (⊤ → ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))) = (1 + 1))
4519, 44eqtrd 2121 . . . . 5 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = (1 + 1))
4633fveq2i 5323 . . . . 5 (seq0( + , 𝐺)‘1) = (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1))
47 df-2 8544 . . . . 5 2 = (1 + 1)
4845, 46, 473eqtr4g 2146 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
4935a1i 9 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
50 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
51 1exp 10047 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
5352oveq1d 5683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
5453mpteq2ia 3932 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
5511, 54eqtr4i 2112 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
5655efcvg 11019 . . . . . . 7 (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
58 df-e 11002 . . . . . 6 e = (exp‘1)
5957, 58syl6breqr 3893 . . . . 5 (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
6013adantl 272 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
617adantl 272 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
6261nnrecred 8532 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
6360, 62eqeltrd 2165 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6461nnred 8498 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
6561nngt0d 8529 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
66 1re 7550 . . . . . . . 8 1 ∈ ℝ
67 0le1 8022 . . . . . . . 8 0 ≤ 1
68 divge0 8397 . . . . . . . 8 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
6966, 67, 68mpanl12 428 . . . . . . 7 (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
7064, 65, 69syl2anc 404 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
7170, 60breqtrrd 3879 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
722, 49, 59, 63, 71climserle 10797 . . . 4 (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
7348, 72eqbrtrrd 3875 . . 3 (⊤ → 2 ≤ e)
7473mptru 1299 . 2 2 ≤ e
75 nnuz 9117 . . . . . 6 ℕ = (ℤ‘1)
76 1zzd 8840 . . . . . 6 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
771a1i 9 . . . . . . . 8 (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
7863recnd 7579 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
792, 77, 78, 59clim2ser 10788 . . . . . . 7 (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
80 0p1e1 8599 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
81 seqeq1 9924 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
8280, 81ax-mp 7 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
8332mptru 1299 . . . . . . . 8 (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
8483oveq2i 5679 . . . . . . 7 (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
8579, 82, 843brtr3g 3884 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
86 2cnd 8558 . . . . . . . 8 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
87 halfre 8692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) ∈ ℝ
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0)
9088, 89reexpcld 10166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
91 oveq2 5676 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
92 eqid 2089 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
9391, 92fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
9490, 93mpdan 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
9594adantl 272 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
96 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97 reexpcl 10035 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
9887, 96, 97sylancr 406 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
9998recnd 7579 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
10095, 99eqeltrd 2165 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101 1lt2 8648 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
102 2re 8555 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ
103 0le2 8575 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ≤ 2
104 absid 10567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
105102, 103, 104mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘2) = 2
106101, 105breqtrri 3878 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (abs‘2)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 1 < (abs‘2))
10886, 107, 95georeclim 10970 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
109 2m1e1 8603 . . . . . . . . . . . . 13 (2 − 1) = 1
110109oveq2i 5679 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
111 2cn 8556 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
112111div1i 8270 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
113110, 112eqtri 2109 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 − 1)) = 2
114108, 113syl6breq 3892 . . . . . . . . . 10 (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
1152, 77, 100, 114clim2ser 10788 . . . . . . . . 9 (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
116 seqeq1 9924 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
11780, 116ax-mp 7 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
1186adantl 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11994, 90eqeltrd 2165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
12120, 120, 18seq3-1 9940 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0))
122 halfcn 8693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) ∈ ℂ
123 exp0 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
124122, 123ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2)↑0) = 1
125124, 35eqeltri 2161 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0
126 oveq2 5676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
127126, 92fvmptg 5395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
1281, 125, 127mp2an 418 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
129128, 124eqtri 2109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
130121, 129syl6eq 2137 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
131130mptru 1299 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
132131oveq2i 5679 . . . . . . . . . 10 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
133132, 109eqtri 2109 . . . . . . . . 9 (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
134115, 117, 1333brtr3g 3884 . . . . . . . 8 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
135 nnnn0 8743 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
136135, 100sylan2 281 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
139137, 138remulcld 7581 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
14091oveq2d 5684 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
142140, 141fvmptg 5395 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
143139, 142mpdan 413 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
144143adantl 272 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
145135, 95sylan2 281 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
146145oveq2d 5684 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
147144, 146eqtr4d 2124 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 10792 . . . . . . 7 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
149 2t1e2 8632 . . . . . . 7 (2 · 1) = 2
150148, 149syl6breq 3892 . . . . . 6 (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
151135, 63sylan2 281 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
152 remulcl 7533 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
153102, 98, 152sylancr 406 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
154135, 153sylan2 281 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
155144, 154eqeltrd 2165 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
156 faclbnd2 10213 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
157156adantl 272 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
158 2nn 8640 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
159 nnexpcl 10031 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
160158, 96, 159sylancr 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
161160nnrpd 9235 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
162161rphalfcld 9249 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
16361nnrpd 9235 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
164162, 163lerecd 9256 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
165157, 164mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
166 2cnd 8558 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
167160nncnd 8499 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
168160nnap0d 8531 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) # 0)
169166, 167, 168divrecapd 8323 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
170 2ap0 8578 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
172167, 166, 168, 171recdivapd 8337 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
173 nn0z 8833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
174173adantl 272 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
175166, 171, 174exprecapd 10157 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
176175oveq2d 5684 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
177169, 172, 1763eqtr4rd 2132 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
178165, 177breqtrrd 3879 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
179135, 178sylan2 281 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
180135, 60sylan2 281 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
181179, 180, 1443brtr4d 3883 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 10794 . . . . 5 (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
183182mptru 1299 . . . 4 (e − 1) ≤ 2
184 ere 11023 . . . . 5 e ∈ ℝ
185184, 66, 102lesubaddi 8047 . . . 4 ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
186183, 185mpbi 144 . . 3 e ≤ (2 + 1)
187 df-3 8545 . . 3 3 = (2 + 1)
188186, 187breqtrri 3878 . 2 e ≤ 3
18974, 188pm3.2i 267 1 (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103   = wceq 1290  wtru 1291  wcel 1439   class class class wbr 3853  cmpt 3907  cfv 5030  (class class class)co 5668  cc 7411  cr 7412  0cc0 7413  1c1 7414   + caddc 7416   · cmul 7418   < clt 7585  cle 7586  cmin 7716   # cap 8121   / cdiv 8202  cn 8485  2c2 8536  3c3 8537  0cn0 8736  cz 8813  cuz 9082  seqcseq 9915  cexp 10017  !cfa 10196  abscabs 10493  cli 10729  expce 10995  eceu 10996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-mulrcl 7507  ax-addcom 7508  ax-mulcom 7509  ax-addass 7510  ax-mulass 7511  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-1rid 7515  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-precex 7518  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-apti 7523  ax-pre-ltadd 7524  ax-pre-mulgt0 7525  ax-pre-mulext 7526  ax-arch 7527  ax-caucvg 7528
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-if 3400  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-po 4134  df-iso 4135  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-isom 5039  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-irdg 6151  df-frec 6172  df-1o 6197  df-oadd 6201  df-er 6308  df-en 6514  df-dom 6515  df-fin 6516  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-reap 8115  df-ap 8122  df-div 8203  df-inn 8486  df-2 8544  df-3 8545  df-4 8546  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-q 9168  df-rp 9198  df-ico 9375  df-fz 9488  df-fzo 9617  df-iseq 9916  df-seq3 9917  df-exp 10018  df-fac 10197  df-ihash 10247  df-cj 10339  df-re 10340  df-im 10341  df-rsqrt 10494  df-abs 10495  df-clim 10730  df-isum 10806  df-ef 11001  df-e 11002
This theorem is referenced by:  egt2lt3  11130
  Copyright terms: Public domain W3C validator