Theorem ege2le3 12463

Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
erelem1.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
erelem1.2	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
ege2le3	⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

Proof of Theorem ege2le3

Dummy variables 𝑘 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 9589	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		nn0uz 9973	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
3	1, 2	eleqtri 2313	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ (ℤ≥‘0)
4	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 0 ∈ (ℤ≥‘0))
5		elnn0uz 9976	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 ↔ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0))
6	5	biimpri 133	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
7		faccl 11195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
8	7	nnrecred 9360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
9		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (!‘𝑛) = (!‘𝑘))
10	9	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑘)))
11		erelem1.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
12	10, 11	fvmptg 5784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
13	8, 12	mpdan 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
14	13, 8	eqeltrd 2315	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
15	6, 14	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
16	15	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
17		readdcl 8311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
18	17	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑘 + 𝑦) ∈ ℝ)
19	4, 16, 18	seq3p1 10923	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))))
20		0zd 9667	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℤ)
21	20, 16, 18	seq3-1 10920	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = (𝐺‘0))
22		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = (!‘0))
23		fac0 11188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘0) = 1
24	22, 23	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 0 → (!‘𝑛) = 1)
25	24	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
26		ax-1cn 8278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
27	26	div1i 9078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 / 1) = 1
28	25, 27	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 0 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
29		1ex 8327	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ V
30	28, 11, 29	fvmpt 5785	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → (𝐺‘0) = 1)
31	1, 30	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐺‘0) = 1)
32	21, 31	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1)
33		1e0p1 9834	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = (0 + 1)
34	33	fveq2i 5701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺‘1) = (𝐺‘(0 + 1))
35		1nn0 9590	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
36		fveq2 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = (!‘1))
37		fac1 11189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (!‘1) = 1
38	36, 37	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 1 → (!‘𝑛) = 1)
39	38	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = (1 / 1))
40	39, 27	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 1 → (1 / (!‘𝑛)) = 1)
41	40, 11, 29	fvmpt 5785	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝐺‘1) = 1)
42	35, 41	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (𝐺‘1) = 1)
43	34, 42	eqtr3id 2285	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (𝐺‘(0 + 1)) = 1)
44	32, 43	oveq12d 6106	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → ((seq0( + , 𝐺)‘0) + (𝐺‘(0 + 1))) = (1 + 1))
45	19, 44	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1)) = (1 + 1))
46	33	fveq2i 5701	. . . . 5 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘1) = (seq0( + , 𝐺)‘(0 + 1))
47		df-2 9372	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
48	45, 46, 47	3eqtr4g 2296	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) = 2)
49	35	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℕ0)
50		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℤ)
51		1exp 11026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (1↑𝑛) = 1)
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (1↑𝑛) = 1)
53	52	oveq1d 6103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (1 / (!‘𝑛)))
54	53	mpteq2ia 4219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (1 / (!‘𝑛)))
55	11, 54	eqtr4i 2262	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1↑𝑛) / (!‘𝑛)))
56	55	efcvg 12458	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
57	26, 56	mp1i 10	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ (exp‘1))
58		df-e 12441	. . . . . 6 ⊢ e = (exp‘1)
59	57, 58	breqtrrdi 4173	. . . . 5 ⊢ (⊤ → seq0( + , 𝐺) ⇝ e)
60	13	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
61	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
62	61	nnrecred 9360	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
63	60, 62	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
64	61	nnred 9326	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
65	61	nngt0d 9357	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 < (!‘𝑘))
66		1re 8331	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
67		0le1 8816	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 1
68		divge0 9211	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
69	66, 67, 68	mpanl12 440	. . . . . . 7 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘)) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
70	64, 65, 69	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (1 / (!‘𝑘)))
71	70, 60	breqtrrd 4159	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐺‘𝑘))
72	2, 49, 59, 63, 71	climserle 12136	. . . 4 ⊢ (⊤ → (seq0( + , 𝐺)‘1) ≤ e)
73	48, 72	eqbrtrrd 4155	. . 3 ⊢ (⊤ → 2 ≤ e)
74	73	mptru 1411	. 2 ⊢ 2 ≤ e
75		nnuz 9974	. . . . . 6 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
76		1zzd 9682	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
77	1	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℕ0)
78	63	recnd 8360	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℂ)
79	2, 77, 78, 59	clim2ser 12128	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , 𝐺) ⇝ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)))
80		0p1e1 9427	. . . . . . . 8 ⊢ (0 + 1) = 1
81		seqeq1 10908	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺))
82	80, 81	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ seq(0 + 1)( + , 𝐺) = seq1( + , 𝐺)
83	32	mptru 1411	. . . . . . . 8 ⊢ (seq0( + , 𝐺)‘0) = 1
84	83	oveq2i 6099	. . . . . . 7 ⊢ (e − (seq0( + , 𝐺)‘0)) = (e − 1)
85	79, 82, 84	3brtr3g 4164	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐺) ⇝ (e − 1))
86		2cnd 9386	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
87		halfre 9529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
88	87	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
89		id 19	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0)
90	88, 89	reexpcld 11149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
91		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑𝑘))
92		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))
93	91, 92	fvmptg 5784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
94	90, 93	mpdan 425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
95	94	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
96		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
97		reexpcl 11014	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
98	87, 96, 97	sylancr 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
99	98	recnd 8360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℂ)
100	95, 99	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
101		1lt2 9485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 2
102		2re 9383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ
103		0le2 9403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ≤ 2
104		absid 11859	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) → (abs‘2) = 2)
105	102, 103, 104	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs‘2) = 2
106	101, 105	breqtrri 4158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < (abs‘2)
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 1 < (abs‘2))
108	86, 107, 95	georeclim 12305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 / (2 − 1)))
109		2m1e1 9431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2 − 1) = 1
110	109	oveq2i 6099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / (2 − 1)) = (2 / 1)
111		2cn 9384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
112	111	div1i 9078	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 / 1) = 2
113	110, 112	eqtri 2259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 / (2 − 1)) = 2
114	108, 113	breqtrdi 4172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 2)
115	2, 77, 100, 114	clim2ser 12128	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊤ → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)))
116		seqeq1 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 + 1) = 1 → seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))))
117	80, 116	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ seq(0 + 1)( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))
118	6	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
119	94, 90	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
120	118, 119	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘0)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
121	20, 120, 18	seq3-1 10920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0))
122		halfcn 9530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
123		exp0 11001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 2) ∈ ℂ → ((1 / 2)↑0) = 1)
124	122, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((1 / 2)↑0) = 1
125	124, 35	eqeltri 2311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0
126		oveq2 6096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 = 0 → ((1 / 2)↑𝑛) = ((1 / 2)↑0))
127	126, 92	fvmptg 5784	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ ((1 / 2)↑0) ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0))
128	1, 125, 127	mp2an 430	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = ((1 / 2)↑0)
129	128, 124	eqtri 2259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘0) = 1
130	121, 129	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1)
131	130	mptru 1411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0) = 1
132	131	oveq2i 6099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = (2 − 1)
133	132, 109	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 − (seq0( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛)))‘0)) = 1
134	115, 117, 133	3brtr3g 4164	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))) ⇝ 1)
135		nnnn0 9581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
136	135, 100	sylan2 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) ∈ ℂ)
137	102	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
138	135, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ)
139	137, 138	remulcld 8362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
140	91	oveq2d 6104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (2 · ((1 / 2)↑𝑛)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
141		erelem1.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (2 · ((1 / 2)↑𝑛)))
142	140, 141	fvmptg 5784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
143	139, 142	mpdan 425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
144	143	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
145	135, 95	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘) = ((1 / 2)↑𝑘))
146	145	oveq2d 6104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)) = (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
147	144, 146	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = (2 · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 2)↑𝑛))‘𝑘)))
148	75, 76, 86, 134, 136, 147	isermulc2 12131	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ (2 · 1))
149		2t1e2 9467	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 1) = 2
150	148, 149	breqtrdi 4172	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → seq1( + , 𝐹) ⇝ 2)
151	135, 63	sylan2 286	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
152		remulcl 8313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((1 / 2)↑𝑘) ∈ ℝ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
153	102, 98, 152	sylancr 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
154	135, 153	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) ∈ ℝ)
155	144, 154	eqeltrd 2315	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
156		faclbnd2 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
157	156	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘))
158		2nn 9477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ
159		nnexpcl 11010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
160	158, 96, 159	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℕ)
161	160	nnrpd 10112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℝ+)
162	161	rphalfcld 10127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑘) / 2) ∈ ℝ+)
163	61	nnrpd 10112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ+)
164	162, 163	lerecd 10134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((2↑𝑘) / 2) ≤ (!‘𝑘) ↔ (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2))))
165	157, 164	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
166		2cnd 9386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
167	160	nncnd 9327	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
168	160	nnap0d 9359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2↑𝑘) # 0)
169	166, 167, 168	divrecapd 9131	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 / (2↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
170		2ap0 9406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
172	167, 166, 168, 171	recdivapd 9145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / ((2↑𝑘) / 2)) = (2 / (2↑𝑘)))
173		nn0z 9675	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℤ)
174	173	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℤ)
175	166, 171, 174	exprecapd 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((1 / 2)↑𝑘) = (1 / (2↑𝑘)))
176	175	oveq2d 6104	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (2 · (1 / (2↑𝑘))))
177	169, 172, 176	3eqtr4rd 2282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (2 · ((1 / 2)↑𝑘)) = (1 / ((2↑𝑘) / 2)))
178	165, 177	breqtrrd 4159	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
179	135, 178	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / (!‘𝑘)) ≤ (2 · ((1 / 2)↑𝑘)))
180	135, 60	sylan2 286	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) = (1 / (!‘𝑘)))
181	179, 180, 144	3brtr4d 4163	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑘) ≤ (𝐹‘𝑘))
182	75, 76, 85, 150, 151, 155, 181	iserle 12133	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (e − 1) ≤ 2)
183	182	mptru 1411	. . . 4 ⊢ (e − 1) ≤ 2
184		ere 12462	. . . . 5 ⊢ e ∈ ℝ
185	184, 66, 102	lesubaddi 8841	. . . 4 ⊢ ((e − 1) ≤ 2 ↔ e ≤ (2 + 1))
186	183, 185	mpbi 145	. . 3 ⊢ e ≤ (2 + 1)
187		df-3 9373	. . 3 ⊢ 3 = (2 + 1)
188	186, 187	breqtrri 4158	. 2 ⊢ e ≤ 3
189	74, 188	pm3.2i 272	1 ⊢ (2 ≤ e ∧ e ≤ 3)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4131   ↦ cmpt 4193  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8183  ℝcr 8184  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190   < clt 8366   ≤ cle 8367   − cmin 8504   # cap 8917   / cdiv 9010  ℕcn 9313  2c2 9364  3c3 9365  ℕ₀cn0 9574  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  seqcseq 10905  ↑cexp 10996  !cfa 11185  abscabs 11785   ⇝ cli 12069  expce 12434  eceu 12435

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441

This theorem is used by:  egt2lt3  12572