ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ege2le3 GIF version

Theorem ege2le3 11679
Description: Euler's constant e = 2.71828... is bounded by 2 and 3. (Contributed by NM, 20-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
erelem1.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
erelem1.2 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
ege2le3 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)

Proof of Theorem ege2le3
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0nn0 9191 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„•0
2 nn0uz 9562 . . . . . . . . 9 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
31, 2eleqtri 2252 . . . . . . . 8 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
43a1i 9 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
5 elnn0uz 9565 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†” ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0))
65biimpri 133 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
7 faccl 10715 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
87nnrecred 8966 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
9 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜๐‘˜))
109oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
11 erelem1.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
1210, 11fvmptg 5593 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
138, 12mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
1413, 8eqeltrd 2254 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
156, 14syl 14 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
1615adantl 277 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
17 readdcl 7937 . . . . . . . 8 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘˜ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
1817adantl 277 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„)) โ†’ (๐‘˜ + ๐‘ฆ) โˆˆ โ„)
194, 16, 18seq3p1 10462 . . . . . 6 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜(0 + 1)) = ((seq0( + , ๐บ)โ€˜0) + (๐บโ€˜(0 + 1))))
20 0zd 9265 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„ค)
2120, 16, 18seq3-1 10460 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = (๐บโ€˜0))
22 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜0))
23 fac0 10708 . . . . . . . . . . . . 13 (!โ€˜0) = 1
2422, 23eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = 0 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
2524oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
26 ax-1cn 7904 . . . . . . . . . . . 12 1 โˆˆ โ„‚
2726div1i 8697 . . . . . . . . . . 11 (1 / 1) = 1
2825, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 0 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
29 1ex 7952 . . . . . . . . . 10 1 โˆˆ V
3028, 11, 29fvmpt 5594 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
311, 30mp1i 10 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜0) = 1)
3221, 31eqtrd 2210 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1)
33 1e0p1 9425 . . . . . . . . 9 1 = (0 + 1)
3433fveq2i 5519 . . . . . . . 8 (๐บโ€˜1) = (๐บโ€˜(0 + 1))
35 1nn0 9192 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„•0
36 fveq2 5516 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = (!โ€˜1))
37 fac1 10709 . . . . . . . . . . . . 13 (!โ€˜1) = 1
3836, 37eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = 1 โ†’ (!โ€˜๐‘›) = 1)
3938oveq2d 5891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / 1))
4039, 27eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = 1 โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘›)) = 1)
4140, 11, 29fvmpt 5594 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
4235, 41mp1i 10 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜1) = 1)
4334, 42eqtr3id 2224 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ (๐บโ€˜(0 + 1)) = 1)
4432, 43oveq12d 5893 . . . . . 6 (โŠค โ†’ ((seq0( + , ๐บ)โ€˜0) + (๐บโ€˜(0 + 1))) = (1 + 1))
4519, 44eqtrd 2210 . . . . 5 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜(0 + 1)) = (1 + 1))
4633fveq2i 5519 . . . . 5 (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = (seq0( + , ๐บ)โ€˜(0 + 1))
47 df-2 8978 . . . . 5 2 = (1 + 1)
4845, 46, 473eqtr4g 2235 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) = 2)
4935a1i 9 . . . . 5 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
50 nn0z 9273 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
51 1exp 10549 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
5250, 51syl 14 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (1โ†‘๐‘›) = 1)
5352oveq1d 5890 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)) = (1 / (!โ€˜๐‘›)))
5453mpteq2ia 4090 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›))) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (1 / (!โ€˜๐‘›)))
5511, 54eqtr4i 2201 . . . . . . . 8 ๐บ = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1โ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
5655efcvg 11674 . . . . . . 7 (1 โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
5726, 56mp1i 10 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ (expโ€˜1))
58 df-e 11657 . . . . . 6 e = (expโ€˜1)
5957, 58breqtrrdi 4046 . . . . 5 (โŠค โ†’ seq0( + , ๐บ) โ‡ e)
6013adantl 277 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
617adantl 277 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
6261nnrecred 8966 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
6360, 62eqeltrd 2254 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
6461nnred 8932 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
6561nngt0d 8963 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
66 1re 7956 . . . . . . . 8 1 โˆˆ โ„
67 0le1 8438 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 1
68 divge0 8830 . . . . . . . 8 (((1 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 1) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
6966, 67, 68mpanl12 436 . . . . . . 7 (((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
7064, 65, 69syl2anc 411 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
7170, 60breqtrrd 4032 . . . . 5 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 โ‰ค (๐บโ€˜๐‘˜))
722, 49, 59, 63, 71climserle 11353 . . . 4 (โŠค โ†’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜1) โ‰ค e)
7348, 72eqbrtrrd 4028 . . 3 (โŠค โ†’ 2 โ‰ค e)
7473mptru 1362 . 2 2 โ‰ค e
75 nnuz 9563 . . . . . 6 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
76 1zzd 9280 . . . . . 6 (โŠค โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
771a1i 9 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
7863recnd 7986 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
792, 77, 78, 59clim2ser 11345 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)))
80 0p1e1 9033 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
81 seqeq1 10448 . . . . . . . 8 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ))
8280, 81ax-mp 5 . . . . . . 7 seq(0 + 1)( + , ๐บ) = seq1( + , ๐บ)
8332mptru 1362 . . . . . . . 8 (seq0( + , ๐บ)โ€˜0) = 1
8483oveq2i 5886 . . . . . . 7 (e โˆ’ (seq0( + , ๐บ)โ€˜0)) = (e โˆ’ 1)
8579, 82, 843brtr3g 4037 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐บ) โ‡ (e โˆ’ 1))
86 2cnd 8992 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
87 halfre 9132 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 / 2) โˆˆ โ„
8887a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
89 id 19 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
9088, 89reexpcld 10671 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
91 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
92 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))
9391, 92fvmptg 5593 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
9490, 93mpdan 421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
9594adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
96 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
97 reexpcl 10537 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 / 2) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
9887, 96, 97sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
9998recnd 7986 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
10095, 99eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
101 1lt2 9088 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 2
102 2re 8989 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 โˆˆ โ„
103 0le2 9009 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 โ‰ค 2
104 absid 11080 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค 2) โ†’ (absโ€˜2) = 2)
105102, 103, 104mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 (absโ€˜2) = 2
106101, 105breqtrri 4031 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (absโ€˜2)
107106a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ 1 < (absโ€˜2))
10886, 107, 95georeclim 11521 . . . . . . . . . . 11 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 / (2 โˆ’ 1)))
109 2m1e1 9037 . . . . . . . . . . . . 13 (2 โˆ’ 1) = 1
110109oveq2i 5886 . . . . . . . . . . . 12 (2 / (2 โˆ’ 1)) = (2 / 1)
111 2cn 8990 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„‚
112111div1i 8697 . . . . . . . . . . . 12 (2 / 1) = 2
113110, 112eqtri 2198 . . . . . . . . . . 11 (2 / (2 โˆ’ 1)) = 2
114108, 113breqtrdi 4045 . . . . . . . . . 10 (โŠค โ†’ seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 2)
1152, 77, 100, 114clim2ser 11345 . . . . . . . . 9 (โŠค โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)))
116 seqeq1 10448 . . . . . . . . . 10 ((0 + 1) = 1 โ†’ seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))))
11780, 116ax-mp 5 . . . . . . . . 9 seq(0 + 1)( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) = seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
1186adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
11994, 90eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
120118, 119syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜0)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
12120, 120, 18seq3-1 10460 . . . . . . . . . . . . 13 (โŠค โ†’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0))
122 halfcn 9133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
123 exp0 10524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 / 2)โ†‘0) = 1)
124122, 123ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 / 2)โ†‘0) = 1
125124, 35eqeltri 2250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / 2)โ†‘0) โˆˆ โ„•0
126 oveq2 5883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› = 0 โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘›) = ((1 / 2)โ†‘0))
127126, 92fvmptg 5593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 โˆˆ โ„•0 โˆง ((1 / 2)โ†‘0) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0))
1281, 125, 127mp2an 426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = ((1 / 2)โ†‘0)
129128, 124eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜0) = 1
130121, 129eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 (โŠค โ†’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1)
131130mptru 1362 . . . . . . . . . . 11 (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0) = 1
132131oveq2i 5886 . . . . . . . . . 10 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = (2 โˆ’ 1)
133132, 109eqtri 2198 . . . . . . . . 9 (2 โˆ’ (seq0( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))โ€˜0)) = 1
134115, 117, 1333brtr3g 4037 . . . . . . . 8 (โŠค โ†’ seq1( + , (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))) โ‡ 1)
135 nnnn0 9183 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
136135, 100sylan2 286 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
137102a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
138135, 90syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
139137, 138remulcld 7988 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
14091oveq2d 5891 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘˜ โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
141 erelem1.1 . . . . . . . . . . . 12 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘›)))
142140, 141fvmptg 5593 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
143139, 142mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ โ„• โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
144143adantl 277 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
145135, 95sylan2 286 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜) = ((1 / 2)โ†‘๐‘˜))
146145oveq2d 5891 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)) = (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
147144, 146eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = (2 ยท ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((1 / 2)โ†‘๐‘›))โ€˜๐‘˜)))
14875, 76, 86, 134, 136, 147isermulc2 11348 . . . . . . 7 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ (2 ยท 1))
149 2t1e2 9072 . . . . . . 7 (2 ยท 1) = 2
150148, 149breqtrdi 4045 . . . . . 6 (โŠค โ†’ seq1( + , ๐น) โ‡ 2)
151135, 63sylan2 286 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
152 remulcl 7939 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
153102, 98, 152sylancr 414 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
154135, 153sylan2 286 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) โˆˆ โ„)
155144, 154eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
156 faclbnd2 10722 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
157156adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜))
158 2nn 9080 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„•
159 nnexpcl 10533 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
160158, 96, 159sylancr 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„•)
161160nnrpd 9694 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„+)
162161rphalfcld 9709 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2โ†‘๐‘˜) / 2) โˆˆ โ„+)
16361nnrpd 9694 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„+)
164162, 163lerecd 9716 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘๐‘˜) / 2) โ‰ค (!โ€˜๐‘˜) โ†” (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2))))
165157, 164mpbid 147 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
166 2cnd 8992 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
167160nncnd 8933 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
168160nnap0d 8965 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘๐‘˜) # 0)
169166, 167, 168divrecapd 8750 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 / (2โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
170 2ap0 9012 . . . . . . . . . . . 12 2 # 0
171170a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ 2 # 0)
172167, 166, 168, 171recdivapd 8764 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)) = (2 / (2โ†‘๐‘˜)))
173 nn0z 9273 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
174173adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
175166, 171, 174exprecapd 10662 . . . . . . . . . . 11 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 2)โ†‘๐‘˜) = (1 / (2โ†‘๐‘˜)))
176175oveq2d 5891 . . . . . . . . . 10 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (2 ยท (1 / (2โ†‘๐‘˜))))
177169, 172, 1763eqtr4rd 2221 . . . . . . . . 9 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)) = (1 / ((2โ†‘๐‘˜) / 2)))
178165, 177breqtrrd 4032 . . . . . . . 8 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
179135, 178sylan2 286 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (1 / (!โ€˜๐‘˜)) โ‰ค (2 ยท ((1 / 2)โ†‘๐‘˜)))
180135, 60sylan2 286 . . . . . . 7 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) = (1 / (!โ€˜๐‘˜)))
181179, 180, 1443brtr4d 4036 . . . . . 6 ((โŠค โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐บโ€˜๐‘˜) โ‰ค (๐นโ€˜๐‘˜))
18275, 76, 85, 150, 151, 155, 181iserle 11350 . . . . 5 (โŠค โ†’ (e โˆ’ 1) โ‰ค 2)
183182mptru 1362 . . . 4 (e โˆ’ 1) โ‰ค 2
184 ere 11678 . . . . 5 e โˆˆ โ„
185184, 66, 102lesubaddi 8463 . . . 4 ((e โˆ’ 1) โ‰ค 2 โ†” e โ‰ค (2 + 1))
186183, 185mpbi 145 . . 3 e โ‰ค (2 + 1)
187 df-3 8979 . . 3 3 = (2 + 1)
188186, 187breqtrri 4031 . 2 e โ‰ค 3
18974, 188pm3.2i 272 1 (2 โ‰ค e โˆง e โ‰ค 3)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โˆง wa 104   = wceq 1353  โŠคwtru 1354   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  โ„cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   ยท cmul 7816   < clt 7992   โ‰ค cle 7993   โˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  โ„•cn 8919  2c2 8970  3c3 8971  โ„•0cn0 9176  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  seqcseq 10445  โ†‘cexp 10519  !cfa 10705  abscabs 11006   โ‡ cli 11286  expce 11650  eceu 11651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-e 11657
This theorem is referenced by:  egt2lt3  11787
  Copyright terms: Public domain W3C validator