Theorem mul32 8450

Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul32	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Proof of Theorem mul32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcom 8302	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝐶) = (𝐶 · 𝐵))
2	1	oveq2d 6095	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
3	2	3adant1 1046	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
4		mulass 8304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
5		mulass 8304	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
6	5	3com23 1240	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) = (𝐴 · (𝐶 · 𝐵)))
7	3, 4, 6	3eqtr4d 2281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6079  ℂcc 8171   · cmul 8178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-mulcom 8274  ax-mulass 8276

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-iota 5335  df-fv 5383  df-ov 6082

This theorem is referenced by:  mul4  8452  mul32i  8467  mul32d  8473  muldvds1  12566  2sqlem6  16222