ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mul32 GIF version

Theorem mul32 8089
Description: Commutative/associative law. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
mul32 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต))

Proof of Theorem mul32
StepHypRef Expression
1 mulcom 7942 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
21oveq2d 5893 . . 3 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
323adant1 1015 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
4 mulass 7944 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = (๐ด ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
5 mulass 7944 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
653com23 1209 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต) = (๐ด ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
73, 4, 63eqtr4d 2220 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท ๐ถ) = ((๐ด ยท ๐ถ) ยท ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811   ยท cmul 7818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-mulcom 7914  ax-mulass 7916
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880
This theorem is referenced by:  mul4  8091  mul32i  8106  mul32d  8112  muldvds1  11825  2sqlem6  14552
  Copyright terms: Public domain W3C validator