ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 GIF version

Theorem 2sqlem6 14025
Description: Lemma for 2sq . If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
2sqlem6.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2sqlem6.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2sqlem6.3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
2sqlem6.4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
2sqlem6 (𝜑𝐴𝑆)
Distinct variable groups:   𝑤,𝑝   𝜑,𝑝   𝐵,𝑝   𝑆,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤)   𝐴(𝑤,𝑝)   𝐵(𝑤)   𝑆(𝑤)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 2sqlem6.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
3 2sqlem6.3 . . 3 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆))
4 breq2 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑝𝑥𝑝 ∥ 1))
54imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
65ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆)))
7 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 1 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 1))
87eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 1) ∈ 𝑆))
98imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
109ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 1 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116, 10imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12 breq2 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑝𝑥𝑝𝑦))
1312imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
1413ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆)))
15 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑦))
1615eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆))
1716imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1817ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1914, 18imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
20 breq2 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → (𝑝𝑥𝑝𝑧))
2120imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
2221ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
23 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑧 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝑧))
2423eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
2524imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2625ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝑧 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
2722, 26imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝑧 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
28 breq2 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝𝑥𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
2928imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
3029ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)))
31 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
3231eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
3332imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3433ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
3530, 34imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
36 breq2 4002 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑝𝑥𝑝𝐵))
3736imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
3837ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆)))
39 oveq2 5873 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (𝑚 · 𝑥) = (𝑚 · 𝐵))
4039eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆))
4140imbi1d 231 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4241ralbidv 2475 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
4338, 42imbi12d 234 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
44 nncn 8898 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
4544mulid1d 7949 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 · 1) = 𝑚)
4645eleq1d 2244 . . . . . . 7 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4746biimpd 144 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
4847rgen 2528 . . . . 5 𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆)
4948a1i 9 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ 1 → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 1) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
50 breq1 4001 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑥𝑥𝑥))
51 eleq1 2238 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝑥 → (𝑝𝑆𝑥𝑆))
5250, 51imbi12d 234 . . . . . 6 (𝑝 = 𝑥 → ((𝑝𝑥𝑝𝑆) ↔ (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
5352rspcv 2835 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → (𝑥𝑥𝑥𝑆)))
54 prmz 12076 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
55 iddvds 11777 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥𝑥)
5654, 55syl 14 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥𝑥)
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10 𝑆 = ran (𝑤 ∈ ℤ[i] ↦ ((abs‘𝑤)↑2))
58 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚 ∈ ℕ)
59 simpll 527 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥 ∈ ℙ)
60 simprr 531 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)
61 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑥𝑆)
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 14024 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆)) → 𝑚𝑆)
6362expr 375 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6463ralrimiva 2548 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
6564ex 115 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥𝑆 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6656, 65embantd 56 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℙ → ((𝑥𝑥𝑥𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
6753, 66syld 45 . . . 4 (𝑥 ∈ ℙ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑥𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
68 anim12 344 . . . . 5 (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
69 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℙ)
70 eluzelz 9508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℤ‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
7170ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
72 eluzelz 9508 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
7372ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
74 euclemma 12111 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7569, 71, 73, 74syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) ↔ (𝑝𝑦𝑝𝑧)))
7675imbi1d 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆)))
77 jaob 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝𝑦𝑝𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
7876, 77bitrdi 196 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
7978ralbidva 2471 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
80 r19.26 2601 . . . . . . . . . 10 (∀𝑝 ∈ ℙ ((𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
8179, 80bitrdi 196 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆))))
8281biimpa 296 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)))
83 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑦) = (𝑛 · 𝑦))
8483eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆))
85 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = 𝑛 → (𝑚𝑆𝑛𝑆))
8684, 85imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = 𝑛 → (((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)))
8786cbvralvw 2705 . . . . . . . . . 10 (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
8844adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
89 uzssz 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ‘2) ⊆ ℤ
90 zsscn 9232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℤ ⊆ ℂ
9189, 90sstri 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ‘2) ⊆ ℂ
92 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9392ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘2))
9491, 93sselid 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
95 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9695ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ (ℤ‘2))
9791, 96sselid 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℂ)
98 mul32 8061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
99 mulass 7917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10098, 99eqtr3d 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
10188, 94, 97, 100syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) = (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)))
102101eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆))
103 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
104 eluz2nn 9537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ (ℤ‘2) → 𝑧 ∈ ℕ)
10596, 104syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑧 ∈ ℕ)
106103, 105nnmulcld 8939 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ)
107 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆))
108 oveq1 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛 · 𝑦) = ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦))
109108eleq1d 2244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆))
110 eleq1 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (𝑛𝑆 ↔ (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
111109, 110imbi12d 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (𝑚 · 𝑧) → (((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) ↔ (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
112111rspcv 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 · 𝑧) ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆)))
113106, 107, 112sylc 62 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) · 𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
114102, 113sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆 → (𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆))
115114imim1d 75 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
116115ralimdva 2542 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑛 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑛𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11787, 116sylan2b 287 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
118117expimpd 363 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → ((∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
11982, 118embantd 56 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
120119ex 115 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
121120com23 78 . . . . 5 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) ∧ ∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆)) → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ∧ ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12268, 121syl5 32 . . . 4 ((𝑦 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ‘2)) → (((∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑦𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑦) ∈ 𝑆𝑚𝑆)) ∧ (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝑧𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝑧) ∈ 𝑆𝑚𝑆))) → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧) → 𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · (𝑦 · 𝑧)) ∈ 𝑆𝑚𝑆))))
12311, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 122prmind 12086 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ (𝑝𝐵𝑝𝑆) → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆)))
1242, 3, 123sylc 62 . 2 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆))
125 2sqlem6.4 . 2 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆)
126 oveq1 5872 . . . . 5 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
127126eleq1d 2244 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆))
128 eleq1 2238 . . . 4 (𝑚 = 𝐴 → (𝑚𝑆𝐴𝑆))
129127, 128imbi12d 234 . . 3 (𝑚 = 𝐴 → (((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) ↔ ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
130129rspcv 2835 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ ((𝑚 · 𝐵) ∈ 𝑆𝑚𝑆) → ((𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑆𝐴𝑆)))
1311, 124, 125, 130syl3c 63 1 (𝜑𝐴𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2146  wral 2453   class class class wbr 3998  cmpt 4059  ran crn 4621  cfv 5208  (class class class)co 5865  cc 7784  1c1 7787   · cmul 7791  cn 8890  2c2 8941  cz 9224  cuz 9499  cexp 10487  abscabs 10972  cdvds 11760  cprime 12072  ℤ[i]cgz 12332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-cj 10817  df-re 10818  df-im 10819  df-rsqrt 10973  df-abs 10974  df-dvds 11761  df-gcd 11909  df-prm 12073  df-gz 12333
This theorem is referenced by:  2sqlem8  14028
  Copyright terms: Public domain W3C validator