Theorem map0g 6666

Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0g	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem map0g

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst6g 5396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐵 × {𝑓}):𝐵⟶𝐴)
2		elmapg 6639	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ (𝐵 × {𝑓}):𝐵⟶𝐴))
3	1, 2	syl5ibr 155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
4		ne0i 3421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅)
5	3, 4	syl6 33	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
6	5	exlimdv 1812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
7	6	necon2bd 2398	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴))
8		notm0 3435	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑓 𝑓 ∈ 𝐴 ↔ 𝐴 = ∅)
9	7, 8	syl6ib 160	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
10		f0 5388	. . . . . . 7 ⊢ ∅:∅⟶𝐴
11		feq2 5331	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = ∅ → (∅:𝐵⟶𝐴 ↔ ∅:∅⟶𝐴))
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = ∅ → ∅:𝐵⟶𝐴)
13		elmapg 6639	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ↔ ∅:𝐵⟶𝐴))
14	12, 13	syl5ibr 155	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵)))
15		ne0i 3421	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ (𝐴 ↑𝑚 𝐵) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅)
16	14, 15	syl6 33	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐵 = ∅ → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) ≠ ∅))
17	16	necon2d 2399	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
18	9, 17	jcad 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19		oveq1 5860	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = (∅ ↑𝑚 𝐵))
20		map0b 6665	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐵) = ∅)
21	19, 20	sylan9eq 2223	. 2 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅)
22	18, 21	impbid1 141	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐴 ↑𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  ∅c0 3414  {csn 3583   × cxp 4609  ⟶wf 5194  (class class class)co 5853   ↑_𝑚 cmap 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-map 6628

This theorem is referenced by:  map0  6667