ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  map0g GIF version

Theorem map0g 6425
Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
map0g ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))

Proof of Theorem map0g
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 5193 . . . . . . . 8 (𝑓𝐴 → (𝐵 × {𝑓}):𝐵𝐴)
2 elmapg 6398 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ (𝐵 × {𝑓}):𝐵𝐴))
31, 2syl5ibr 154 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑓𝐴 → (𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴𝑚 𝐵)))
4 ne0i 3290 . . . . . . 7 ((𝐵 × {𝑓}) ∈ (𝐴𝑚 𝐵) → (𝐴𝑚 𝐵) ≠ ∅)
53, 4syl6 33 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝑓𝐴 → (𝐴𝑚 𝐵) ≠ ∅))
65exlimdv 1747 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∃𝑓 𝑓𝐴 → (𝐴𝑚 𝐵) ≠ ∅))
76necon2bd 2313 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ → ¬ ∃𝑓 𝑓𝐴))
8 notm0 3301 . . . 4 (¬ ∃𝑓 𝑓𝐴𝐴 = ∅)
97, 8syl6ib 159 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐴 = ∅))
10 f0 5185 . . . . . . 7 ∅:∅⟶𝐴
11 feq2 5132 . . . . . . 7 (𝐵 = ∅ → (∅:𝐵𝐴 ↔ ∅:∅⟶𝐴))
1210, 11mpbiri 166 . . . . . 6 (𝐵 = ∅ → ∅:𝐵𝐴)
13 elmapg 6398 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (∅ ∈ (𝐴𝑚 𝐵) ↔ ∅:𝐵𝐴))
1412, 13syl5ibr 154 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 = ∅ → ∅ ∈ (𝐴𝑚 𝐵)))
15 ne0i 3290 . . . . 5 (∅ ∈ (𝐴𝑚 𝐵) → (𝐴𝑚 𝐵) ≠ ∅)
1614, 15syl6 33 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐵 = ∅ → (𝐴𝑚 𝐵) ≠ ∅))
1716necon2d 2314 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ → 𝐵 ≠ ∅))
189, 17jcad 301 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ → (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
19 oveq1 5641 . . 3 (𝐴 = ∅ → (𝐴𝑚 𝐵) = (∅ ↑𝑚 𝐵))
20 map0b 6424 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐵) = ∅)
2119, 20sylan9eq 2140 . 2 ((𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (𝐴𝑚 𝐵) = ∅)
2218, 21impbid1 140 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐴𝑚 𝐵) = ∅ ↔ (𝐴 = ∅ ∧ 𝐵 ≠ ∅)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wex 1426  wcel 1438  wne 2255  c0 3284  {csn 3441   × cxp 4426  wf 4998  (class class class)co 5634  𝑚 cmap 6385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-map 6387
This theorem is referenced by:  map0  6426
  Copyright terms: Public domain W3C validator