ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntreq0 GIF version

Theorem ntreq0 13928
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21ntrval 13906 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2196 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ…))
4 notm0 3455 . . . 4 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ…)
5 ancom 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
6 elin 3330 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆))
76anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
8 anass 401 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
95, 7, 83bitri 206 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
109exbii 1615 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
11 eluni 3824 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
12 df-rex 2471 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
1310, 11, 123bitr4i 212 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
1413exbii 1615 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
15 rexcom4 2772 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
16 19.42v 1916 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1716rexbii 2494 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1814, 15, 173bitr2i 208 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1918notbii 669 . . . 4 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
204, 19bitr3i 186 . . 3 (βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
21 ralinexa 2514 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
22 velpw 3594 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑆)
23 notm0 3455 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯ ↔ π‘₯ = βˆ…)
2422, 23imbi12i 239 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
2524ralbii 2493 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
2620, 21, 253bitr2i 208 . 2 (βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
273, 26bitrdi 196 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363  βˆƒwex 1502   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466   ∩ cin 3140   βŠ† wss 3141  βˆ…c0 3434  π’« cpw 3587  βˆͺ cuni 3821  β€˜cfv 5228  Topctop 13793  intcnt 13889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-top 13794  df-ntr 13892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator