Theorem ntreq0 12340

Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntreq0	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ⊆ 𝑆 → 𝑥 = ∅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 12318	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3	2	eqeq1d 2149	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4		notm0 3388	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
5		ancom 264	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
6		elin 3264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
7	6	anbi1i 454	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
8		anass 399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
9	5, 7, 8	3bitri 205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
10	9	exbii 1585	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
11		eluni 3747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
12		df-rex 2423	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)))
13	10, 11, 12	3bitr4i 211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
14	13	exbii 1585	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
15		rexcom4 2712	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑦∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
16		19.42v 1879	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
17	16	rexbii 2445	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐽 ∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
18	14, 15, 17	3bitr2i 207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	notbii 658	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
20	4, 19	bitr3i 185	. . 3 ⊢ (∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
21		ralinexa 2465	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
22		velpw 3522	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑥 ⊆ 𝑆)
23		notm0 3388	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ 𝑥 = ∅)
24	22, 23	imbi12i 238	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ (𝑥 ⊆ 𝑆 → 𝑥 = ∅))
25	24	ralbii 2444	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ⊆ 𝑆 → 𝑥 = ∅))
26	20, 21, 25	3bitr2i 207	. 2 ⊢ (∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ⊆ 𝑆 → 𝑥 = ∅))
27	3, 26	syl6bb 195	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 (𝑥 ⊆ 𝑆 → 𝑥 = ∅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368  𝒫 cpw 3515  ∪ cuni 3744  ‘cfv 5131  Topctop 12203  intcnt 12301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-top 12204  df-ntr 12304

This theorem is referenced by: (None)