Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntreq0 GIF version

Theorem ntreq0 12083
 Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑆   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21ntrval 12061 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2108 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅))
4 notm0 3330 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅)
5 ancom 264 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
6 elin 3206 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆))
76anbi1i 449 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ ((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥))
8 anass 396 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐽𝑥 ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
95, 7, 83bitri 205 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
109exbii 1552 . . . . . . . 8 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
11 eluni 3686 . . . . . . . 8 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥(𝑦𝑥𝑥 ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
12 df-rex 2381 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐽 ∧ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥)))
1310, 11, 123bitr4i 211 . . . . . . 7 (𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
1413exbii 1552 . . . . . 6 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
15 rexcom4 2664 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑦𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥))
16 19.42v 1845 . . . . . . 7 (∃𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1716rexbii 2401 . . . . . 6 (∃𝑥𝐽𝑦(𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1814, 15, 173bitr2i 207 . . . . 5 (∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
1918notbii 635 . . . 4 (¬ ∃𝑦 𝑦 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
204, 19bitr3i 185 . . 3 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
21 ralinexa 2421 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 ∧ ∃𝑦 𝑦𝑥))
22 selpw 3464 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆𝑥𝑆)
23 notm0 3330 . . . . 5 (¬ ∃𝑦 𝑦𝑥𝑥 = ∅)
2422, 23imbi12i 238 . . . 4 ((𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2524ralbii 2400 . . 3 (∀𝑥𝐽 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑆 → ¬ ∃𝑦 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
2620, 21, 253bitr2i 207 . 2 ( (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅))
273, 26syl6bb 195 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → (((int‘𝐽)‘𝑆) = ∅ ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑥𝑆𝑥 = ∅)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1299  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448  ∀wral 2375  ∃wrex 2376   ∩ cin 3020   ⊆ wss 3021  ∅c0 3310  𝒫 cpw 3457  ∪ cuni 3683  ‘cfv 5059  Topctop 11946  intcnt 12044 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-top 11947  df-ntr 12047 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator