ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntreq0 GIF version

Theorem ntreq0 13635
Description: Two ways to say that a subset has an empty interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Jim Kingdon, 11-Mar-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = βˆͺ 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntreq0 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐽   π‘₯,𝑆   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem ntreq0
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . . 4 𝑋 = βˆͺ 𝐽
21ntrval 13613 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ ((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
32eqeq1d 2186 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ…))
4 notm0 3444 . . . 4 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ…)
5 ancom 266 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
6 elin 3319 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆))
76anbi1i 458 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
8 anass 401 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆) ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
95, 7, 83bitri 206 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
109exbii 1605 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
11 eluni 3813 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯(𝑦 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆)))
12 df-rex 2461 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯)))
1310, 11, 123bitr4i 212 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
1413exbii 1605 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
15 rexcom4 2761 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯))
16 19.42v 1906 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1716rexbii 2484 . . . . . 6 (βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 βˆƒπ‘¦(π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1814, 15, 173bitr2i 208 . . . . 5 (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
1918notbii 668 . . . 4 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
204, 19bitr3i 186 . . 3 (βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ… ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
21 ralinexa 2504 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ∧ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯))
22 velpw 3583 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 ↔ π‘₯ βŠ† 𝑆)
23 notm0 3444 . . . . 5 (Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯ ↔ π‘₯ = βˆ…)
2422, 23imbi12i 239 . . . 4 ((π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
2524ralbii 2483 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝑆 β†’ Β¬ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
2620, 21, 253bitr2i 208 . 2 (βˆͺ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…))
273, 26bitrdi 196 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 βŠ† 𝑋) β†’ (((intβ€˜π½)β€˜π‘†) = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 (π‘₯ βŠ† 𝑆 β†’ π‘₯ = βˆ…)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   ∩ cin 3129   βŠ† wss 3130  βˆ…c0 3423  π’« cpw 3576  βˆͺ cuni 3810  β€˜cfv 5217  Topctop 13500  intcnt 13596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-top 13501  df-ntr 13599
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator