Theorem blssioo 14732

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
blssioo	⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 14728	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		blrn 14591	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5		elxr 9845	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
6	1	bl2ioo 14729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7		resubcl 8285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
8		readdcl 8000	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9		rexr 8067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
10		rexr 8067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11		ioorebasg 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
12	9, 10, 11	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
13	7, 8, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
14	6, 13	eqeltrd 2270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
15		oveq2 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
16	1	remet 14727	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
17		blpnf 14579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
18	16, 17	mpan 424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
19	15, 18	sylan9eqr 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
20		ioomax 10017	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
21		mnfxr 8078	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22		pnfxr 8074	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
23		ioorebasg 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
24	21, 22, 23	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
25	20, 24	eqeltrri 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
26	19, 25	eqeltrdi 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27		oveq2 5927	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28		0xr 8068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		nltmnf 9857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < -∞
31		xblm 14596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
32	2, 21, 31	mp3an13 1339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
33	30, 32	mtbiri 676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
34		notm0 3468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
35	33, 34	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
36	27, 35	sylan9eqr 2248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37		iooidg 9978	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0(,)0) = ∅)
38	28, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) = ∅
39		ioorebasg 10044	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
40	28, 28, 39	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
41	38, 40	eqeltrri 2267	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
42	36, 41	eqeltrdi 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43	14, 26, 42	3jaodan 1317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
44	5, 43	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
45		eleq1 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
46	44, 45	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
47	46	rexlimivv 2617	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
48	4, 47	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
49	48	ssriv 3184	1 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 979   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154  ∅c0 3447   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ran crn 4661   ↾ cres 4662   ∘ ccom 4664  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  0cc0 7874   + caddc 7877  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   − cmin 8192  (,)cioo 9957  abscabs 11144  ∞Metcxmet 14035  Metcmet 14036  ballcbl 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045

This theorem is referenced by:  tgioo  14733