Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssioo GIF version

Theorem blssioo 12464
 Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 12460 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 blrn 12340 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
42, 3ax-mp 7 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5 elxr 9404 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
61bl2ioo 12461 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7 resubcl 7897 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
8 readdcl 7618 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9 rexr 7683 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
10 rexr 7683 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11 ioorebasg 9599 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
129, 10, 11syl2an 285 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
137, 8, 12syl2anc 406 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
146, 13eqeltrd 2176 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
15 oveq2 5714 . . . . . . . . 9 (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
161remet 12459 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
17 blpnf 12328 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
1816, 17mpan 418 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
1915, 18sylan9eqr 2154 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
20 ioomax 9572 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
21 mnfxr 7694 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
22 pnfxr 7690 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
23 ioorebasg 9599 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2421, 22, 23mp2an 420 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2520, 24eqeltrri 2173 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2619, 25syl6eqel 2190 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27 oveq2 5714 . . . . . . . . 9 (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28 0xr 7684 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 9415 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 7 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < -∞
31 xblm 12345 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
322, 21, 31mp3an13 1274 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
3330, 32mtbiri 641 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
34 notm0 3330 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3533, 34sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3627, 35sylan9eqr 2154 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37 iooidg 9533 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* → (0(,)0) = ∅)
3828, 37ax-mp 7 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = ∅
39 ioorebasg 9599 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
4028, 28, 39mp2an 420 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
4138, 40eqeltrri 2173 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ran (,)
4236, 41syl6eqel 2190 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
4314, 26, 423jaodan 1252 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
445, 43sylan2b 283 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
45 eleq1 2162 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
4644, 45syl5ibrcom 156 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
4746rexlimivv 2514 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
484, 47sylbi 120 . 2 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
4948ssriv 3051 1 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 929   = wceq 1299  ∃wex 1436   ∈ wcel 1448  ∃wrex 2376   ⊆ wss 3021  ∅c0 3310   class class class wbr 3875   × cxp 4475  ran crn 4478   ↾ cres 4479   ∘ ccom 4481  ‘cfv 5059  (class class class)co 5706  ℝcr 7499  0cc0 7500   + caddc 7503  +∞cpnf 7669  -∞cmnf 7670  ℝ*cxr 7671   < clt 7672   − cmin 7804  (,)cioo 9512  abscabs 10609  ∞Metcxmet 11931  Metcmet 11932  ballcbl 11933 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-map 6474  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-xadd 9401  df-ioo 9516  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-psmet 11938  df-xmet 11939  df-met 11940  df-bl 11941 This theorem is referenced by:  tgioo  12465
 Copyright terms: Public domain W3C validator