ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssioo GIF version
Theorem blssioo 14048
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Proof of Theorem blssioo
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
21rexmet 14044 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„)
3 blrn 13915 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) β†’ (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ))
5 elxr 9776 . . . . . 6 (π‘Ÿ ∈ ℝ* ↔ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞))
61bl2ioo 14045 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)))
7 resubcl 8221 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
8 readdcl 7937 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9 rexr 8003 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
10 rexr 8003 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ β†’ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
11 ioorebasg 9975 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
129, 10, 11syl2an 289 . . . . . . . . 9 (((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + π‘Ÿ) ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
137, 8, 12syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑦 + π‘Ÿ)) ∈ ran (,))
146, 13eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
15 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = +∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)+∞))
161remet 14043 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Metβ€˜β„)
17 blpnf 13903 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
1816, 17mpan 424 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)+∞) = ℝ)
1915, 18sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = ℝ)
20 ioomax 9948 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
21 mnfxr 8014 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
22 pnfxr 8010 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
23 ioorebasg 9975 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2421, 22, 23mp2an 426 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2520, 24eqeltrri 2251 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2619, 25eqeltrdi 2268 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = +∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
27 oveq2 5883 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = -∞ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = (𝑦(ballβ€˜π·)-∞))
28 0xr 8004 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 9788 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ* β†’ Β¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 < -∞
31 xblm 13920 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) ↔ 0 < -∞))
322, 21, 31mp3an13 1328 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) ↔ 0 < -∞))
3330, 32mtbiri 675 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ β†’ Β¬ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞))
34 notm0 3444 . . . . . . . . . 10 (Β¬ βˆƒπ‘€ 𝑀 ∈ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…)
3533, 34sylib 122 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)-∞) = βˆ…)
3627, 35sylan9eqr 2232 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) = βˆ…)
37 iooidg 9909 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* β†’ (0(,)0) = βˆ…)
3828, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = βˆ…
39 ioorebasg 9975 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) β†’ (0(,)0) ∈ ran (,))
4028, 28, 39mp2an 426 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
4138, 40eqeltrri 2251 . . . . . . . 8 βˆ… ∈ ran (,)
4236, 41eqeltrdi 2268 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ = -∞) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
4314, 26, 423jaodan 1306 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ ∨ π‘Ÿ = +∞ ∨ π‘Ÿ = -∞)) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
445, 43sylan2b 287 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,))
45 eleq1 2240 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) ∈ ran (,)))
4644, 45syl5ibrcom 157 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,)))
4746rexlimivv 2600 . . 3 (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ballβ€˜π·)π‘Ÿ) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
484, 47sylbi 121 . 2 (𝑧 ∈ ran (ballβ€˜π·) β†’ 𝑧 ∈ ran (,))
4948ssriv 3160 1 ran (ballβ€˜π·) βŠ† ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 977   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  βˆƒwrex 2456   βŠ† wss 3130  βˆ…c0 3423   class class class wbr 4004   Γ— cxp 4625  ran crn 4628   β†Ύ cres 4629   ∘ ccom 4631  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„cr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814  +∞cpnf 7989  -∞cmnf 7990  β„*cxr 7991   < clt 7992   βˆ’ cmin 8128  (,)cioo 9888  abscabs 11006  βˆžMetcxmet 13443  Metcmet 13444  ballcbl 13445
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-rp 9654  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453
This theorem is referenced by:  tgioo  14049
  Copyright terms: Public domain W3C validator