ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  blssioo GIF version

Theorem blssioo 12641
Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
blssioo ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 remet.1 . . . . 5 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
21rexmet 12637 . . . 4 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3 blrn 12508 . . . 4 (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
42, 3ax-mp 5 . . 3 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5 elxr 9531 . . . . . 6 (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
61bl2ioo 12638 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7 resubcl 7994 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦𝑟) ∈ ℝ)
8 readdcl 7714 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9 rexr 7779 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑟) ∈ ℝ → (𝑦𝑟) ∈ ℝ*)
10 rexr 7779 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11 ioorebasg 9726 . . . . . . . . . 10 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
129, 10, 11syl2an 287 . . . . . . . . 9 (((𝑦𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
137, 8, 12syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
146, 13eqeltrd 2194 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
15 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
161remet 12636 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
17 blpnf 12496 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
1816, 17mpan 420 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
1915, 18sylan9eqr 2172 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
20 ioomax 9699 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) = ℝ
21 mnfxr 7790 . . . . . . . . . 10 -∞ ∈ ℝ*
22 pnfxr 7786 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
23 ioorebasg 9726 . . . . . . . . . 10 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
2421, 22, 23mp2an 422 . . . . . . . . 9 (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
2520, 24eqeltrri 2191 . . . . . . . 8 ℝ ∈ ran (,)
2619, 25syl6eqel 2208 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27 oveq2 5750 . . . . . . . . 9 (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28 0xr 7780 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
29 nltmnf 9542 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 < -∞
31 xblm 12513 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
322, 21, 31mp3an13 1291 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
3330, 32mtbiri 649 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
34 notm0 3353 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3533, 34sylib 121 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
3627, 35sylan9eqr 2172 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37 iooidg 9660 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ* → (0(,)0) = ∅)
3828, 37ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (0(,)0) = ∅
39 ioorebasg 9726 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
4028, 28, 39mp2an 422 . . . . . . . . 9 (0(,)0) ∈ ran (,)
4138, 40eqeltrri 2191 . . . . . . . 8 ∅ ∈ ran (,)
4236, 41syl6eqel 2208 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
4314, 26, 423jaodan 1269 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
445, 43sylan2b 285 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
45 eleq1 2180 . . . . 5 (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
4644, 45syl5ibrcom 156 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
4746rexlimivv 2532 . . 3 (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
484, 47sylbi 120 . 2 (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
4948ssriv 3071 1 ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  w3o 946   = wceq 1316  wex 1453  wcel 1465  wrex 2394  wss 3041  c0 3333   class class class wbr 3899   × cxp 4507  ran crn 4510  cres 4511  ccom 4513  cfv 5093  (class class class)co 5742  cr 7587  0cc0 7588   + caddc 7591  +∞cpnf 7765  -∞cmnf 7766  *cxr 7767   < clt 7768  cmin 7901  (,)cioo 9639  abscabs 10737  ∞Metcxmet 12076  Metcmet 12077  ballcbl 12078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707  ax-caucvg 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 805  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-recs 6170  df-frec 6256  df-map 6512  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8305  df-ap 8312  df-div 8401  df-inn 8689  df-2 8747  df-3 8748  df-4 8749  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295  df-rp 9410  df-xadd 9528  df-ioo 9643  df-seqfrec 10187  df-exp 10261  df-cj 10582  df-re 10583  df-im 10584  df-rsqrt 10738  df-abs 10739  df-psmet 12083  df-xmet 12084  df-met 12085  df-bl 12086
This theorem is referenced by:  tgioo  12642
  Copyright terms: Public domain W3C validator