Theorem blssioo 12753

Description: The balls of the standard real metric space are included in the open real intervals. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
remet.1	⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
blssioo	⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Proof of Theorem blssioo

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		remet.1	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2	1	rexmet 12749	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ)
3		blrn 12620	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) → (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟)))
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟))
5		elxr 9593	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ* ↔ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞))
6	1	bl2ioo 12750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)))
7		resubcl 8050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ)
8		readdcl 7770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ)
9		rexr 7835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ*)
10		rexr 7835	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ → (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*)
11		ioorebasg 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ*) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
12	9, 10, 11	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 − 𝑟) ∈ ℝ ∧ (𝑦 + 𝑟) ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
13	7, 8, 12	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 𝑟)(,)(𝑦 + 𝑟)) ∈ ran (,))
14	6, 13	eqeltrd 2217	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
15		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = +∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)+∞))
16	1	remet 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
17		blpnf 12608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
18	16, 17	mpan 421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)+∞) = ℝ)
19	15, 18	sylan9eqr 2195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ℝ)
20		ioomax 9761	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
21		mnfxr 7846	. . . . . . . . . 10 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
22		pnfxr 7842	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
23		ioorebasg 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞(,)+∞) ∈ ran (,))
24	21, 22, 23	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (-∞(,)+∞) ∈ ran (,)
25	20, 24	eqeltrri 2214	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ ran (,)
26	19, 25	eqeltrdi 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = +∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
27		oveq2 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = -∞ → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
28		0xr 7836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
29		nltmnf 9604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ¬ 0 < -∞)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 < -∞
31		xblm 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ -∞ ∈ ℝ*) → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
32	2, 21, 31	mp3an13 1307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ 0 < -∞))
33	30, 32	mtbiri 665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞))
34		notm0 3388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ∃𝑤 𝑤 ∈ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
35	33, 34	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦(ball‘𝐷)-∞) = ∅)
36	27, 35	sylan9eqr 2195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) = ∅)
37		iooidg 9722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (0(,)0) = ∅)
38	28, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) = ∅
39		ioorebasg 9788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0(,)0) ∈ ran (,))
40	28, 28, 39	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,)0) ∈ ran (,)
41	38, 40	eqeltrri 2214	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ ran (,)
42	36, 41	eqeltrdi 2231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 = -∞) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
43	14, 26, 42	3jaodan 1285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∨ 𝑟 = +∞ ∨ 𝑟 = -∞)) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
44	5, 43	sylan2b 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,))
45		eleq1 2203	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → (𝑧 ∈ ran (,) ↔ (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) ∈ ran (,)))
46	44, 45	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) → (𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,)))
47	46	rexlimivv 2558	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑟 ∈ ℝ* 𝑧 = (𝑦(ball‘𝐷)𝑟) → 𝑧 ∈ ran (,))
48	4, 47	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑧 ∈ ran (ball‘𝐷) → 𝑧 ∈ ran (,))
49	48	ssriv 3106	1 ⊢ ran (ball‘𝐷) ⊆ ran (,)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 962   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3076  ∅c0 3368   class class class wbr 3937   × cxp 4545  ran crn 4548   ↾ cres 4549   ∘ ccom 4551  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℝcr 7643  0cc0 7644   + caddc 7647  +∞cpnf 7821  -∞cmnf 7822  ℝ^*cxr 7823   < clt 7824   − cmin 7957  (,)cioo 9701  abscabs 10801  ∞Metcxmet 12188  Metcmet 12189  ballcbl 12190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-map 6552  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-rp 9471  df-xadd 9590  df-ioo 9705  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-psmet 12195  df-xmet 12196  df-met 12197  df-bl 12198

This theorem is referenced by:  tgioo  12754