ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp GIF version

Theorem elinp 7502
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables 𝑢 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 7499 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 3166 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4674 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
42, 3sylib 122 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
5 elex 2763 . . . 4 (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝐿 ∈ V)
6 elex 2763 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ V)
75, 6anim12i 338 . . 3 ((𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
9 nqex 7391 . . . . 5 Q ∈ V
109ssex 4155 . . . 4 (𝐿Q𝐿 ∈ V)
119ssex 4155 . . . 4 (𝑈Q𝑈 ∈ V)
1210, 11anim12i 338 . . 3 ((𝐿Q𝑈Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
1312ad2antrr 488 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
14 df-inp 7494 . . . 4 P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))}
1514eleq2i 2256 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))})
16 sseq1 3193 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 465 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑢Q)))
18 eleq2 2253 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞𝑙𝑞𝐿))
1918rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ↔ ∃𝑞Q 𝑞𝐿))
2019anbi1d 465 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)))
2117, 20anbi12d 473 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢))))
22 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟𝑙𝑟𝐿))
2322anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2423rexbidv 2491 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2518, 24bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2625ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ ∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2726anbi1d 465 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)))))
2818anbi1d 465 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
2928notbid 668 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3029ralbidv 2490 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3118orbi1d 792 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑢)))
3231imbi2d 230 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
33322ralbidv 2514 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
3427, 30, 333anbi123d 1323 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))))
3521, 34anbi12d 473 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))))
36 sseq1 3193 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢Q𝑈Q))
3736anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐿Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑈Q)))
38 eleq2 2253 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑟𝑢𝑟𝑈))
3938rexbidv 2491 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑟Q 𝑟𝑢 ↔ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))
4039anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)))
4137, 40anbi12d 473 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))))
42 eleq2 2253 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (𝑞𝑢𝑞𝑈))
4342anbi2d 464 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4443rexbidv 2491 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4538, 44bibi12d 235 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4645ralbidv 2490 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4746anbi2d 464 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))))
4842anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
4948notbid 668 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5049ralbidv 2490 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5138orbi2d 791 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5251imbi2d 230 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
53522ralbidv 2514 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1323 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
5541, 54anbi12d 473 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5635, 55opelopabg 4286 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))} ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5715, 56bitrid 192 . 2 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 705 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 709  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  Vcvv 2752  wss 3144  𝒫 cpw 3590  cop 3610   class class class wbr 4018  {copab 4078   × cxp 4642  Qcnq 7308   <Q cltq 7313  Pcnp 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-qs 6564  df-ni 7332  df-nqqs 7376  df-inp 7494
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7504  prml  7505  prmu  7506  prssnql  7507  prssnqu  7508  prcdnql  7512  prcunqu  7513  prltlu  7515  prnmaxl  7516  prnminu  7517  prloc  7519  prdisj  7520  nqprxx  7574  suplocexprlemex  7750
  Copyright terms: Public domain W3C validator