Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp GIF version

Theorem elinp 7294
 Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables 𝑢 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 7291 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 3093 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4569 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
42, 3sylib 121 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
5 elex 2697 . . . 4 (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝐿 ∈ V)
6 elex 2697 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ V)
75, 6anim12i 336 . . 3 ((𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
9 nqex 7183 . . . . 5 Q ∈ V
109ssex 4065 . . . 4 (𝐿Q𝐿 ∈ V)
119ssex 4065 . . . 4 (𝑈Q𝑈 ∈ V)
1210, 11anim12i 336 . . 3 ((𝐿Q𝑈Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
1312ad2antrr 479 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
14 df-inp 7286 . . . 4 P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))}
1514eleq2i 2206 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))})
16 sseq1 3120 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 460 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑢Q)))
18 eleq2 2203 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞𝑙𝑞𝐿))
1918rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ↔ ∃𝑞Q 𝑞𝐿))
2019anbi1d 460 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)))
2117, 20anbi12d 464 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢))))
22 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟𝑙𝑟𝐿))
2322anbi2d 459 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2423rexbidv 2438 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2518, 24bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2625ralbidv 2437 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ ∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2726anbi1d 460 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)))))
2818anbi1d 460 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
2928notbid 656 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3029ralbidv 2437 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3118orbi1d 780 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑢)))
3231imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
33322ralbidv 2459 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
3427, 30, 333anbi123d 1290 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))))
3521, 34anbi12d 464 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))))
36 sseq1 3120 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢Q𝑈Q))
3736anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐿Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑈Q)))
38 eleq2 2203 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑟𝑢𝑟𝑈))
3938rexbidv 2438 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑟Q 𝑟𝑢 ↔ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))
4039anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)))
4137, 40anbi12d 464 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))))
42 eleq2 2203 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (𝑞𝑢𝑞𝑈))
4342anbi2d 459 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4443rexbidv 2438 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4538, 44bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4645ralbidv 2437 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4746anbi2d 459 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))))
4842anbi2d 459 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
4948notbid 656 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5049ralbidv 2437 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5138orbi2d 779 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5251imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
53522ralbidv 2459 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1290 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
5541, 54anbi12d 464 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5635, 55opelopabg 4190 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))} ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5715, 56syl5bb 191 . 2 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 693 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ⟨cop 3530   class class class wbr 3929  {copab 3988   × cxp 4537  Qcnq 7100
 Copyright terms: Public domain W3C validator