Theorem elinp 7841

Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
elinp	⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))

Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp

Dummy variables 𝑢 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7838	. . . . 5 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3244	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		opelxp 4804	. . . 4 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 Q))
4	2, 3	sylib 122	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 Q))
5		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ 𝒫 Q → 𝐿 ∈ V)
6		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝒫 Q → 𝑈 ∈ V)
7	5, 6	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝒫 Q ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
8	4, 7	syl 14	. 2 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
9		nqex 7730	. . . . 5 ⊢ Q ∈ V
10	9	ssex 4270	. . . 4 ⊢ (𝐿 ⊆ Q → 𝐿 ∈ V)
11	9	ssex 4270	. . . 4 ⊢ (𝑈 ⊆ Q → 𝑈 ∈ V)
12	10, 11	anim12i 338	. . 3 ⊢ ((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
13	12	ad2antrr 492	. 2 ⊢ ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
14		df-inp 7833	. . . 4 ⊢ P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))}
15	14	eleq2i 2305	. . 3 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))})
16		sseq1 3271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑙 ⊆ Q ↔ 𝐿 ⊆ Q))
17	16	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ↔ (𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q)))
18		eleq2 2302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ 𝑞 ∈ 𝐿))
19	18	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿))
20	19	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢) ↔ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)))
21	17, 20	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ ((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢))))
22		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑟 ∈ 𝑙 ↔ 𝑟 ∈ 𝐿))
23	22	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)))
24	23	rexbidv 2551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙) ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)))
25	18, 24	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ↔ (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿))))
26	25	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ↔ ∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿))))
27	26	anbi1d 469	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ↔ (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)))))
28	18	anbi1d 469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)))
29	28	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)))
30	29	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)))
31	18	orbi1d 803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢) ↔ (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))
32	31	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))
33	32	2ralbidv 2574	. . . . . 6 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))
34	27, 30, 33	3anbi123d 1353	. . . . 5 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → (((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))) ↔ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))))
35	21, 34	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))) ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))))
36		sseq1 3271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑢 ⊆ Q ↔ 𝑈 ⊆ Q))
37	36	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ↔ (𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q)))
38		eleq2 2302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ 𝑟 ∈ 𝑈))
39	38	rexbidv 2551	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈))
40	39	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢) ↔ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)))
41	37, 40	anbi12d 477	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ ((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈))))
42		eleq2 2302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (𝑞 ∈ 𝑢 ↔ 𝑞 ∈ 𝑈))
43	42	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))
44	43	rexbidv 2551	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))
45	38, 44	bibi12d 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))))
46	45	ralbidv 2550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))))
47	46	anbi2d 468	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ↔ (∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))))
48	42	anbi2d 468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))
49	48	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))
50	49	ralbidv 2550	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈)))
51	38	orbi2d 802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢) ↔ (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))
52	51	imbi2d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
53	52	2ralbidv 2574	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))
54	47, 50, 53	3anbi123d 1353	. . . . 5 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → (((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))) ↔ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))
55	41, 54	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑢 = 𝑈 → ((((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢)))) ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))))
56	35, 55	opelopabg 4410	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙 ⊆ Q ∧ 𝑢 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝑙 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑢)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝑙 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝑙)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝑙 ∧ 𝑞 ∈ 𝑢) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝑙 ∨ 𝑟 ∈ 𝑢))))} ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))))
57	15, 56	bitrid 192	. 2 ⊢ ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈))))))
58	8, 13, 57	pm5.21nii 716	1 ⊢ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿 ⊆ Q ∧ 𝑈 ⊆ Q) ∧ (∃𝑞 ∈ Q 𝑞 ∈ 𝐿 ∧ ∃𝑟 ∈ Q 𝑟 ∈ 𝑈)) ∧ ((∀𝑞 ∈ Q (𝑞 ∈ 𝐿 ↔ ∃𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑟 ∈ 𝐿)) ∧ ∀𝑟 ∈ Q (𝑟 ∈ 𝑈 ↔ ∃𝑞 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈))) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ¬ (𝑞 ∈ 𝐿 ∧ 𝑞 ∈ 𝑈) ∧ ∀𝑞 ∈ Q ∀𝑟 ∈ Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞 ∈ 𝐿 ∨ 𝑟 ∈ 𝑈)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  {copab 4191   × cxp 4772  Qcnq 7647   <_Q cltq 7652  Pcnp 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7671  df-nqqs 7715  df-inp 7833

This theorem is used by:  elnp1st2nd  7843  prml  7844  prmu  7845  prssnql  7846  prssnqu  7847  prcdnql  7851  prcunqu  7852  prltlu  7854  prnmaxl  7855  prnminu  7856  prloc  7858  prdisj  7859  nqprxx  7913  suplocexprlemex  8089