ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elinp GIF version

Theorem elinp 7423
Description: Membership in positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
elinp (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Distinct variable groups:   𝑟,𝑞,𝐿   𝑈,𝑞,𝑟

Proof of Theorem elinp
Dummy variables 𝑢 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npsspw 7420 . . . . 5 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 3143 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 opelxp 4639 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) ↔ (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
42, 3sylib 121 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q))
5 elex 2741 . . . 4 (𝐿 ∈ 𝒫 Q𝐿 ∈ V)
6 elex 2741 . . . 4 (𝑈 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ V)
75, 6anim12i 336 . . 3 ((𝐿 ∈ 𝒫 Q𝑈 ∈ 𝒫 Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
84, 7syl 14 . 2 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
9 nqex 7312 . . . . 5 Q ∈ V
109ssex 4124 . . . 4 (𝐿Q𝐿 ∈ V)
119ssex 4124 . . . 4 (𝑈Q𝑈 ∈ V)
1210, 11anim12i 336 . . 3 ((𝐿Q𝑈Q) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
1312ad2antrr 485 . 2 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → (𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V))
14 df-inp 7415 . . . 4 P = {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))}
1514eleq2i 2237 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ ⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))})
16 sseq1 3170 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (𝑙Q𝐿Q))
1716anbi1d 462 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑙Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑢Q)))
18 eleq2 2234 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → (𝑞𝑙𝑞𝐿))
1918rexbidv 2471 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ↔ ∃𝑞Q 𝑞𝐿))
2019anbi1d 462 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)))
2117, 20anbi12d 470 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢))))
22 eleq2 2234 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝐿 → (𝑟𝑙𝑟𝐿))
2322anbi2d 461 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2423rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝐿 → (∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙) ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)))
2518, 24bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2625ralbidv 2470 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ↔ ∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿))))
2726anbi1d 462 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)))))
2818anbi1d 462 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
2928notbid 662 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3029ralbidv 2470 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢)))
3118orbi1d 786 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞𝑙𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑢)))
3231imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑙 = 𝐿 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
33322ralbidv 2494 . . . . . 6 (𝑙 = 𝐿 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))
3427, 30, 333anbi123d 1307 . . . . 5 (𝑙 = 𝐿 → (((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))))
3521, 34anbi12d 470 . . . 4 (𝑙 = 𝐿 → ((((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))))))
36 sseq1 3170 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (𝑢Q𝑈Q))
3736anbi2d 461 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐿Q𝑢Q) ↔ (𝐿Q𝑈Q)))
38 eleq2 2234 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → (𝑟𝑢𝑟𝑈))
3938rexbidv 2471 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑟Q 𝑟𝑢 ↔ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))
4039anbi2d 461 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢) ↔ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)))
4137, 40anbi12d 470 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ↔ ((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈))))
42 eleq2 2234 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑈 → (𝑞𝑢𝑞𝑈))
4342anbi2d 461 . . . . . . . . . 10 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4443rexbidv 2471 . . . . . . . . 9 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢) ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))
4538, 44bibi12d 234 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4645ralbidv 2470 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢)) ↔ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))))
4746anbi2d 461 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ↔ (∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈)))))
4842anbi2d 461 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
4948notbid 662 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5049ralbidv 2470 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ↔ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)))
5138orbi2d 785 . . . . . . . 8 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞𝐿𝑟𝑢) ↔ (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5251imbi2d 229 . . . . . . 7 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
53522ralbidv 2494 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑈 → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)) ↔ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))
5447, 50, 533anbi123d 1307 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → (((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢))) ↔ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
5541, 54anbi12d 470 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → ((((𝐿Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑢)))) ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5635, 55opelopabg 4251 . . 3 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ {⟨𝑙, 𝑢⟩ ∣ (((𝑙Q𝑢Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝑙 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑢)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝑙 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝑙)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑢 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑢))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝑙𝑞𝑢) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝑙𝑟𝑢))))} ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
5715, 56syl5bb 191 . 2 ((𝐿 ∈ V ∧ 𝑈 ∈ V) → (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈))))))
588, 13, 57pm5.21nii 699 1 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 703  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  Vcvv 2730  wss 3121  𝒫 cpw 3564  cop 3584   class class class wbr 3987  {copab 4047   × cxp 4607  Qcnq 7229   <Q cltq 7234  Pcnp 7240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-qs 6515  df-ni 7253  df-nqqs 7297  df-inp 7415
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7425  prml  7426  prmu  7427  prssnql  7428  prssnqu  7429  prcdnql  7433  prcunqu  7434  prltlu  7436  prnmaxl  7437  prnminu  7438  prloc  7440  prdisj  7441  nqprxx  7495  suplocexprlemex  7671
  Copyright terms: Public domain W3C validator