Theorem velpw 3681

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3680. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2818	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3680	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2205   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676

This theorem is referenced by:  sspw  3687  ordpwsucss  4694  fabexg  5559  abexssex  6327  qsss  6841  mapval2  6925  pmsspw  6930  uniixp  6969  exmidpw  7181  exmidpweq  7182  pw1fin  7183  pw1dc0el  7184  fival  7270  npsspw  7802  ballotfilem2  13172  restsspw  13546  subsubrng2  14461  subsubrg2  14492  lssintclm  14658  istopon  15004  isbasis2g  15036  tgval2  15042  unitg  15053  distop  15076  cldss2  15097  ntreq0  15123  discld  15127  neisspw  15139  restdis  15175  cnntr  15216  exmidnotnotr  16905