Theorem velpw 3659

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3658. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3658	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4665  fabexg  5524  abexssex  6287  qsss  6763  mapval2  6847  pmsspw  6852  uniixp  6890  exmidpw  7100  exmidpweq  7101  pw1fin  7102  pw1dc0el  7103  fival  7169  npsspw  7691  restsspw  13350  subsubrng2  14248  subsubrg2  14279  lssintclm  14417  istopon  14756  isbasis2g  14788  tgval2  14794  unitg  14805  distop  14828  cldss2  14849  ntreq0  14875  discld  14879  neisspw  14891  restdis  14927  cnntr  14968