Theorem velpw 3659

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3658. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2805	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3658	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4665  fabexg  5524  abexssex  6286  qsss  6762  mapval2  6846  pmsspw  6851  uniixp  6889  exmidpw  7099  exmidpweq  7100  pw1fin  7101  pw1dc0el  7102  fival  7168  npsspw  7690  restsspw  13331  subsubrng2  14228  subsubrg2  14259  lssintclm  14397  istopon  14736  isbasis2g  14768  tgval2  14774  unitg  14785  distop  14808  cldss2  14829  ntreq0  14855  discld  14859  neisspw  14871  restdis  14907  cnntr  14948