Theorem velpw 3695

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3694. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3694	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  sspw  3702  ordpwsucss  4716  fabexg  5582  abexssex  6358  qsss  6872  fsetsspwxp  6952  mapval2  6963  pmsspw  6968  uniixp  7007  exmidpw  7219  exmidpweq  7220  pw1fin  7221  pw1dc0el  7222  fival  7309  npsspw  7844  ballotfilem2  13286  restsspw  13662  subsubrng2  14632  subsubrg2  14663  lssintclm  14830  istopon  15239  isbasis2g  15271  tgval2  15277  unitg  15288  distop  15311  cldss2  15332  ntreq0  15358  discld  15362  neisspw  15374  restdis  15410  cnntr  15451  exmidnotnotr  17241