Theorem velpw 3522

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3521. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2692	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3521	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 104   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076  𝒫 cpw 3515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4490  fabexg  5318  abexssex  6031  qsss  6496  mapval2  6580  pmsspw  6585  uniixp  6623  exmidpw  6810  fival  6866  npsspw  7303  restsspw  12169  istopon  12219  isbasis2g  12251  tgval2  12259  unitg  12270  distop  12293  cldss2  12314  ntreq0  12340  discld  12344  neisspw  12356  restdis  12392  cnntr  12433