Theorem velpw 3584

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3583. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2742	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3583	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  𝒫 cpw 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4568  fabexg  5405  abexssex  6128  qsss  6596  mapval2  6680  pmsspw  6685  uniixp  6723  exmidpw  6910  exmidpweq  6911  pw1fin  6912  pw1dc0el  6913  fival  6971  npsspw  7472  restsspw  12703  subsubrg2  13372  lssintclm  13476  istopon  13598  isbasis2g  13630  tgval2  13636  unitg  13647  distop  13670  cldss2  13691  ntreq0  13717  discld  13721  neisspw  13733  restdis  13769  cnntr  13810