Theorem velpw 3657

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3656. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2803	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3656	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4663  fabexg  5521  abexssex  6282  qsss  6758  mapval2  6842  pmsspw  6847  uniixp  6885  exmidpw  7093  exmidpweq  7094  pw1fin  7095  pw1dc0el  7096  fival  7160  npsspw  7681  restsspw  13322  subsubrng2  14219  subsubrg2  14250  lssintclm  14388  istopon  14727  isbasis2g  14759  tgval2  14765  unitg  14776  distop  14799  cldss2  14820  ntreq0  14846  discld  14850  neisspw  14862  restdis  14898  cnntr  14939