Theorem velpw 3695

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3694. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3694	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690

This theorem is used by:  sspw  3702  ordpwsucss  4714  fabexg  5579  abexssex  6354  qsss  6868  fsetsspwxp  6948  mapval2  6959  pmsspw  6964  uniixp  7003  exmidpw  7215  exmidpweq  7216  pw1fin  7217  pw1dc0el  7218  fival  7304  npsspw  7838  ballotfilem2  13228  restsspw  13603  subsubrng2  14523  subsubrg2  14554  lssintclm  14721  istopon  15114  isbasis2g  15146  tgval2  15152  unitg  15163  distop  15186  cldss2  15207  ntreq0  15233  discld  15237  neisspw  15249  restdis  15285  cnntr  15326  exmidnotnotr  17036