Theorem velpw 3663

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3662. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2806	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3662	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658

This theorem is referenced by:  ordpwsucss  4671  fabexg  5532  abexssex  6296  qsss  6806  mapval2  6890  pmsspw  6895  uniixp  6933  exmidpw  7143  exmidpweq  7144  pw1fin  7145  pw1dc0el  7146  fival  7212  npsspw  7734  restsspw  13395  subsubrng2  14293  subsubrg2  14324  lssintclm  14463  istopon  14807  isbasis2g  14839  tgval2  14845  unitg  14856  distop  14879  cldss2  14900  ntreq0  14926  discld  14930  neisspw  14942  restdis  14978  cnntr  15019  exmidnotnotr  16710