Theorem velpw 3676

Description: Setvar variable membership in a power class (common case). See elpw 3675. (Contributed by David A. Wheeler, 8-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
velpw	⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem velpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2816	. 2 ⊢ 𝑥 ∈ V
2	1	elpw 3675	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝑥 ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3211  𝒫 cpw 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671

This theorem is referenced by:  sspw  3682  ordpwsucss  4689  fabexg  5554  abexssex  6318  qsss  6828  mapval2  6912  pmsspw  6917  uniixp  6956  exmidpw  7168  exmidpweq  7169  pw1fin  7170  pw1dc0el  7171  fival  7257  npsspw  7786  ballotfilem2  13140  restsspw  13460  subsubrng2  14358  subsubrg2  14389  lssintclm  14530  istopon  14876  isbasis2g  14908  tgval2  14914  unitg  14925  distop  14948  cldss2  14969  ntreq0  14995  discld  14999  neisspw  15011  restdis  15047  cnntr  15088  exmidnotnotr  16777