Theorem cauappcvgprlemladd 7742

Description: Lemma for cauappcvgpr 7746. This takes 𝐿 and offsets it by the positive fraction 𝑆. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladd	⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
2		cauappcvgpr.app	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3		cauappcvgpr.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
4		cauappcvgpr.lim	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
5		cauappcvgprlemladd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
6	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdfl 7739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
7	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdrl 7741	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
8	6, 7	eqssd 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdfu 7738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
10	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdru 7740	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
11	9, 10	eqssd 3201	. 2 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
12	1, 2, 3, 4	cauappcvgprlemcl 7737	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
13		nqprlu 7631	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
14	5, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
15		addclpr 7621	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
17		npsspw 7555	. . . . . . 7 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
18	17	sseli 3180	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
19		1st2nd2 6242	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩)
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩)
21		ssrab2 3269	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ⊆ Q
22		nqex 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ∈ V
23	22	elpw2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ⊆ Q)
24	21, 23	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q
25		ssrab2 3269	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ⊆ Q
26	22	elpw2 4191	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ⊆ Q)
27	25, 26	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q
28		opelxpi 4696	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q ∧ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q) → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
29	24, 27, 28	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
30		1st2nd2 6242	. . . . . 6 ⊢ (⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩)
31	29, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩)
32	20, 31	eqeq12d 2211	. . . 4 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩))
33		xp1st 6232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
34	18, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
35		xp2nd 6233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
37		opthg 4272	. . . . 5 ⊢ (((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q) → (⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
39	32, 38	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
40	16, 39	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
41	8, 11, 40	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  {crab 2479   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   × cxp 4662  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  1^st c1st 6205  2^nd c2nd 6206  Qcnq 7364   +_Q cplq 7366   <_Q cltq 7369  Pcnp 7375   +_P cpp 7377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-iplp 7552  df-iltp 7554

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlem1  7743