Theorem cauappcvgprlemladd 7674

Description: Lemma for cauappcvgpr 7678. This takes 𝐿 and offsets it by the positive fraction 𝑆. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
cauappcvgpr.app	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
cauappcvgpr.bnd	⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
cauappcvgpr.lim	⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
cauappcvgprlemladd.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlemladd	⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐿,𝑝,𝑞   𝜑,𝑝,𝑞   𝐹,𝑙,𝑢,𝑝,𝑞   𝑆,𝑙,𝑞,𝑢,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑙)   𝐴(𝑢,𝑞,𝑙)   𝐿(𝑢,𝑙)

Proof of Theorem cauappcvgprlemladd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgpr.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:Q⟶Q)
2		cauappcvgpr.app	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q ∀𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑝) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q (𝑝 +Q 𝑞)) ∧ (𝐹‘𝑞) <Q ((𝐹‘𝑝) +Q (𝑝 +Q 𝑞))))
3		cauappcvgpr.bnd	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ Q 𝐴 <Q (𝐹‘𝑝))
4		cauappcvgpr.lim	. . . 4 ⊢ 𝐿 = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q (𝐹‘𝑞)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) <Q 𝑢}⟩
5		cauappcvgprlemladd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Q)
6	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdfl 7671	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
7	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdrl 7673	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
8	6, 7	eqssd 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
9	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdfu 7670	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ⊆ (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
10	1, 2, 3, 4, 5	cauappcvgprlemladdru 7672	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ⊆ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)))
11	9, 10	eqssd 3186	. 2 ⊢ (𝜑 → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))
12	1, 2, 3, 4	cauappcvgprlemcl 7669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ P)
13		nqprlu 7563	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Q → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
14	5, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P)
15		addclpr 7553	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ P ∧ ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩ ∈ P) → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
16	12, 14, 15	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P)
17		npsspw 7487	. . . . . . 7 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
18	17	sseli 3165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
19		1st2nd2 6193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩)
20	18, 19	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩)
21		ssrab2 3254	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ⊆ Q
22		nqex 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ Q ∈ V
23	22	elpw2 4171	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ⊆ Q)
24	21, 23	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ {𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q
25		ssrab2 3254	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ⊆ Q
26	22	elpw2 4171	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q ↔ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ⊆ Q)
27	25, 26	mpbir 146	. . . . . . 7 ⊢ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q
28		opelxpi 4672	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)} ∈ 𝒫 Q ∧ {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢} ∈ 𝒫 Q) → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
29	24, 27, 28	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
30		1st2nd2 6193	. . . . . 6 ⊢ (⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩)
31	29, 30	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩)
32	20, 31	eqeq12d 2203	. . . 4 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩))
33		xp1st 6183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
34	18, 33	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
35		xp2nd 6184	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
36	18, 35	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q)
37		opthg 4252	. . . . 5 ⊢ (((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) ∈ 𝒫 Q) → (⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
38	34, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → (⟨(1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)), (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩))⟩ = ⟨(1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩), (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
39	32, 38	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) ∈ P → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
40	16, 39	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩ ↔ ((1st ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (1st ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩) ∧ (2nd ‘(𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩)) = (2nd ‘⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩))))
41	8, 11, 40	mpbir2and 945	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿 +P ⟨{𝑙 ∣ 𝑙 <Q 𝑆}, {𝑢 ∣ 𝑆 <Q 𝑢}⟩) = ⟨{𝑙 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (𝑙 +Q 𝑞) <Q ((𝐹‘𝑞) +Q 𝑆)}, {𝑢 ∈ Q ∣ ∃𝑞 ∈ Q (((𝐹‘𝑞) +Q 𝑞) +Q 𝑆) <Q 𝑢}⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  {cab 2174  ∀wral 2467  ∃wrex 2468  {crab 2471   ⊆ wss 3143  𝒫 cpw 3589  ⟨cop 3609   class class class wbr 4017   × cxp 4638  ⟶wf 5226  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  1^st c1st 6156  2^nd c2nd 6157  Qcnq 7296   +_Q cplq 7298   <_Q cltq 7301  Pcnp 7307   +_P cpp 7309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-eprel 4303  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-2o 6435  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-qs 6558  df-ni 7320  df-pli 7321  df-mi 7322  df-lti 7323  df-plpq 7360  df-mpq 7361  df-enq 7363  df-nqqs 7364  df-plqqs 7365  df-mqqs 7366  df-1nqqs 7367  df-rq 7368  df-ltnqqs 7369  df-enq0 7440  df-nq0 7441  df-0nq0 7442  df-plq0 7443  df-mq0 7444  df-inp 7482  df-iplp 7484  df-iltp 7486

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlem1  7675