Theorem prop 7476

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7472	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2240	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  𝒫 cpw 3577  ⟨cop 3597   × cxp 4626  ‘cfv 5218  1^st c1st 6141  2^nd c2nd 6142  Qcnq 7281  Pcnp 7292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-inp 7467

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7477  0npr  7484  genpdf  7509  genipv  7510  genpelvl  7513  genpelvu  7514  genpml  7518  genpmu  7519  genprndl  7522  genprndu  7523  genpdisj  7524  genpassl  7525  genpassu  7526  addnqprl  7530  addnqpru  7531  addlocprlemeqgt  7533  addlocprlemgt  7535  addlocprlem  7536  addlocpr  7537  nqprl  7552  nqpru  7553  addnqprlemfl  7560  addnqprlemfu  7561  mulnqprl  7569  mulnqpru  7570  mullocprlem  7571  mullocpr  7572  mulnqprlemfl  7576  mulnqprlemfu  7577  addcomprg  7579  mulcomprg  7581  distrlem1prl  7583  distrlem1pru  7584  distrlem4prl  7585  distrlem4pru  7586  ltprordil  7590  1idprl  7591  1idpru  7592  ltpopr  7596  ltsopr  7597  ltaddpr  7598  ltexprlemm  7601  ltexprlemopl  7602  ltexprlemlol  7603  ltexprlemopu  7604  ltexprlemupu  7605  ltexprlemdisj  7607  ltexprlemloc  7608  ltexprlemfl  7610  ltexprlemrl  7611  ltexprlemfu  7612  ltexprlemru  7613  addcanprleml  7615  addcanprlemu  7616  prplnqu  7621  recexprlemm  7625  recexprlemdisj  7631  recexprlemloc  7632  recexprlem1ssl  7634  recexprlem1ssu  7635  recexprlemss1l  7636  recexprlemss1u  7637  aptiprleml  7640  aptiprlemu  7641  archpr  7644  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  archrecpr  7665  caucvgprlemladdrl  7679  caucvgprprlemml  7695  caucvgprprlemmu  7696  caucvgprprlemopl  7698  suplocexprlemml  7717  suplocexprlemrl  7718  suplocexprlemmu  7719  suplocexprlemdisj  7721  suplocexprlemloc  7722  suplocexprlemex  7723  suplocexprlemub  7724