Theorem prop 7426

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7422	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3143	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2233	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  𝒫 cpw 3564  ⟨cop 3584   × cxp 4607  ‘cfv 5196  1^st c1st 6115  2^nd c2nd 6116  Qcnq 7231  Pcnp 7242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fv 5204  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-inp 7417

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7427  0npr  7434  genpdf  7459  genipv  7460  genpelvl  7463  genpelvu  7464  genpml  7468  genpmu  7469  genprndl  7472  genprndu  7473  genpdisj  7474  genpassl  7475  genpassu  7476  addnqprl  7480  addnqpru  7481  addlocprlemeqgt  7483  addlocprlemgt  7485  addlocprlem  7486  addlocpr  7487  nqprl  7502  nqpru  7503  addnqprlemfl  7510  addnqprlemfu  7511  mulnqprl  7519  mulnqpru  7520  mullocprlem  7521  mullocpr  7522  mulnqprlemfl  7526  mulnqprlemfu  7527  addcomprg  7529  mulcomprg  7531  distrlem1prl  7533  distrlem1pru  7534  distrlem4prl  7535  distrlem4pru  7536  ltprordil  7540  1idprl  7541  1idpru  7542  ltpopr  7546  ltsopr  7547  ltaddpr  7548  ltexprlemm  7551  ltexprlemopl  7552  ltexprlemlol  7553  ltexprlemopu  7554  ltexprlemupu  7555  ltexprlemdisj  7557  ltexprlemloc  7558  ltexprlemfl  7560  ltexprlemrl  7561  ltexprlemfu  7562  ltexprlemru  7563  addcanprleml  7565  addcanprlemu  7566  prplnqu  7571  recexprlemm  7575  recexprlemdisj  7581  recexprlemloc  7582  recexprlem1ssl  7584  recexprlem1ssu  7585  recexprlemss1l  7586  recexprlemss1u  7587  aptiprleml  7590  aptiprlemu  7591  archpr  7594  cauappcvgprlemladdru  7607  cauappcvgprlemladdrl  7608  archrecpr  7615  caucvgprlemladdrl  7629  caucvgprprlemml  7645  caucvgprprlemmu  7646  caucvgprprlemopl  7648  suplocexprlemml  7667  suplocexprlemrl  7668  suplocexprlemmu  7669  suplocexprlemdisj  7671  suplocexprlemloc  7672  suplocexprlemex  7673  suplocexprlemub  7674