ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prop GIF version

Theorem prop 7295
Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
prop (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop
StepHypRef Expression
1 npsspw 7291 . . . 4 P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
21sseli 3093 . . 3 (𝐴P𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3 1st2nd2 6073 . . 3 (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
42, 3syl 14 . 2 (𝐴P𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩)
5 eleq1 2202 . . 3 (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → (𝐴P ↔ ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
65biimpcd 158 . 2 (𝐴P → (𝐴 = ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P))
74, 6mpd 13 1 (𝐴P → ⟨(1st𝐴), (2nd𝐴)⟩ ∈ P)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1331  wcel 1480  𝒫 cpw 3510  cop 3530   × cxp 4537  cfv 5123  1st c1st 6036  2nd c2nd 6037  Qcnq 7100  Pcnp 7111
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-inp 7286
This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7296  0npr  7303  genpdf  7328  genipv  7329  genpelvl  7332  genpelvu  7333  genpml  7337  genpmu  7338  genprndl  7341  genprndu  7342  genpdisj  7343  genpassl  7344  genpassu  7345  addnqprl  7349  addnqpru  7350  addlocprlemeqgt  7352  addlocprlemgt  7354  addlocprlem  7355  addlocpr  7356  nqprl  7371  nqpru  7372  addnqprlemfl  7379  addnqprlemfu  7380  mulnqprl  7388  mulnqpru  7389  mullocprlem  7390  mullocpr  7391  mulnqprlemfl  7395  mulnqprlemfu  7396  addcomprg  7398  mulcomprg  7400  distrlem1prl  7402  distrlem1pru  7403  distrlem4prl  7404  distrlem4pru  7405  ltprordil  7409  1idprl  7410  1idpru  7411  ltpopr  7415  ltsopr  7416  ltaddpr  7417  ltexprlemm  7420  ltexprlemopl  7421  ltexprlemlol  7422  ltexprlemopu  7423  ltexprlemupu  7424  ltexprlemdisj  7426  ltexprlemloc  7427  ltexprlemfl  7429  ltexprlemrl  7430  ltexprlemfu  7431  ltexprlemru  7432  addcanprleml  7434  addcanprlemu  7435  prplnqu  7440  recexprlemm  7444  recexprlemdisj  7450  recexprlemloc  7451  recexprlem1ssl  7453  recexprlem1ssu  7454  recexprlemss1l  7455  recexprlemss1u  7456  aptiprleml  7459  aptiprlemu  7460  archpr  7463  cauappcvgprlemladdru  7476  cauappcvgprlemladdrl  7477  archrecpr  7484  caucvgprlemladdrl  7498  caucvgprprlemml  7514  caucvgprprlemmu  7515  caucvgprprlemopl  7517  suplocexprlemml  7536  suplocexprlemrl  7537  suplocexprlemmu  7538  suplocexprlemdisj  7540  suplocexprlemloc  7541  suplocexprlemex  7542  suplocexprlemub  7543
  Copyright terms: Public domain W3C validator