Theorem prop 7307

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7303	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3098	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6081	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2203	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 158	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  𝒫 cpw 3515  ⟨cop 3535   × cxp 4545  ‘cfv 5131  1^st c1st 6044  2^nd c2nd 6045  Qcnq 7112  Pcnp 7123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-inp 7298

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7308  0npr  7315  genpdf  7340  genipv  7341  genpelvl  7344  genpelvu  7345  genpml  7349  genpmu  7350  genprndl  7353  genprndu  7354  genpdisj  7355  genpassl  7356  genpassu  7357  addnqprl  7361  addnqpru  7362  addlocprlemeqgt  7364  addlocprlemgt  7366  addlocprlem  7367  addlocpr  7368  nqprl  7383  nqpru  7384  addnqprlemfl  7391  addnqprlemfu  7392  mulnqprl  7400  mulnqpru  7401  mullocprlem  7402  mullocpr  7403  mulnqprlemfl  7407  mulnqprlemfu  7408  addcomprg  7410  mulcomprg  7412  distrlem1prl  7414  distrlem1pru  7415  distrlem4prl  7416  distrlem4pru  7417  ltprordil  7421  1idprl  7422  1idpru  7423  ltpopr  7427  ltsopr  7428  ltaddpr  7429  ltexprlemm  7432  ltexprlemopl  7433  ltexprlemlol  7434  ltexprlemopu  7435  ltexprlemupu  7436  ltexprlemdisj  7438  ltexprlemloc  7439  ltexprlemfl  7441  ltexprlemrl  7442  ltexprlemfu  7443  ltexprlemru  7444  addcanprleml  7446  addcanprlemu  7447  prplnqu  7452  recexprlemm  7456  recexprlemdisj  7462  recexprlemloc  7463  recexprlem1ssl  7465  recexprlem1ssu  7466  recexprlemss1l  7467  recexprlemss1u  7468  aptiprleml  7471  aptiprlemu  7472  archpr  7475  cauappcvgprlemladdru  7488  cauappcvgprlemladdrl  7489  archrecpr  7496  caucvgprlemladdrl  7510  caucvgprprlemml  7526  caucvgprprlemmu  7527  caucvgprprlemopl  7529  suplocexprlemml  7548  suplocexprlemrl  7549  suplocexprlemmu  7550  suplocexprlemdisj  7552  suplocexprlemloc  7553  suplocexprlemex  7554  suplocexprlemub  7555