Theorem prop 7505

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7501	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6201	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2252	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  𝒫 cpw 3590  ⟨cop 3610   × cxp 4642  ‘cfv 5235  1^st c1st 6164  2^nd c2nd 6165  Qcnq 7310  Pcnp 7321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fv 5243  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-inp 7496

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7506  0npr  7513  genpdf  7538  genipv  7539  genpelvl  7542  genpelvu  7543  genpml  7547  genpmu  7548  genprndl  7551  genprndu  7552  genpdisj  7553  genpassl  7554  genpassu  7555  addnqprl  7559  addnqpru  7560  addlocprlemeqgt  7562  addlocprlemgt  7564  addlocprlem  7565  addlocpr  7566  nqprl  7581  nqpru  7582  addnqprlemfl  7589  addnqprlemfu  7590  mulnqprl  7598  mulnqpru  7599  mullocprlem  7600  mullocpr  7601  mulnqprlemfl  7605  mulnqprlemfu  7606  addcomprg  7608  mulcomprg  7610  distrlem1prl  7612  distrlem1pru  7613  distrlem4prl  7614  distrlem4pru  7615  ltprordil  7619  1idprl  7620  1idpru  7621  ltpopr  7625  ltsopr  7626  ltaddpr  7627  ltexprlemm  7630  ltexprlemopl  7631  ltexprlemlol  7632  ltexprlemopu  7633  ltexprlemupu  7634  ltexprlemdisj  7636  ltexprlemloc  7637  ltexprlemfl  7639  ltexprlemrl  7640  ltexprlemfu  7641  ltexprlemru  7642  addcanprleml  7644  addcanprlemu  7645  prplnqu  7650  recexprlemm  7654  recexprlemdisj  7660  recexprlemloc  7661  recexprlem1ssl  7663  recexprlem1ssu  7664  recexprlemss1l  7665  recexprlemss1u  7666  aptiprleml  7669  aptiprlemu  7670  archpr  7673  cauappcvgprlemladdru  7686  cauappcvgprlemladdrl  7687  archrecpr  7694  caucvgprlemladdrl  7708  caucvgprprlemml  7724  caucvgprprlemmu  7725  caucvgprprlemopl  7727  suplocexprlemml  7746  suplocexprlemrl  7747  suplocexprlemmu  7748  suplocexprlemdisj  7750  suplocexprlemloc  7751  suplocexprlemex  7752  suplocexprlemub  7753