Theorem prop 7603

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7599	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3193	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6273	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2269	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  𝒫 cpw 3620  ⟨cop 3640   × cxp 4680  ‘cfv 5279  1^st c1st 6236  2^nd c2nd 6237  Qcnq 7408  Pcnp 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fv 5287  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-inp 7594

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7604  0npr  7611  genpdf  7636  genipv  7637  genpelvl  7640  genpelvu  7641  genpml  7645  genpmu  7646  genprndl  7649  genprndu  7650  genpdisj  7651  genpassl  7652  genpassu  7653  addnqprl  7657  addnqpru  7658  addlocprlemeqgt  7660  addlocprlemgt  7662  addlocprlem  7663  addlocpr  7664  nqprl  7679  nqpru  7680  addnqprlemfl  7687  addnqprlemfu  7688  mulnqprl  7696  mulnqpru  7697  mullocprlem  7698  mullocpr  7699  mulnqprlemfl  7703  mulnqprlemfu  7704  addcomprg  7706  mulcomprg  7708  distrlem1prl  7710  distrlem1pru  7711  distrlem4prl  7712  distrlem4pru  7713  ltprordil  7717  1idprl  7718  1idpru  7719  ltpopr  7723  ltsopr  7724  ltaddpr  7725  ltexprlemm  7728  ltexprlemopl  7729  ltexprlemlol  7730  ltexprlemopu  7731  ltexprlemupu  7732  ltexprlemdisj  7734  ltexprlemloc  7735  ltexprlemfl  7737  ltexprlemrl  7738  ltexprlemfu  7739  ltexprlemru  7740  addcanprleml  7742  addcanprlemu  7743  prplnqu  7748  recexprlemm  7752  recexprlemdisj  7758  recexprlemloc  7759  recexprlem1ssl  7761  recexprlem1ssu  7762  recexprlemss1l  7763  recexprlemss1u  7764  aptiprleml  7767  aptiprlemu  7768  archpr  7771  cauappcvgprlemladdru  7784  cauappcvgprlemladdrl  7785  archrecpr  7792  caucvgprlemladdrl  7806  caucvgprprlemml  7822  caucvgprprlemmu  7823  caucvgprprlemopl  7825  suplocexprlemml  7844  suplocexprlemrl  7845  suplocexprlemmu  7846  suplocexprlemdisj  7848  suplocexprlemloc  7849  suplocexprlemex  7850  suplocexprlemub  7851