Theorem prop 7469

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7465	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3151	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6171	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2240	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  𝒫 cpw 3575  ⟨cop 3595   × cxp 4622  ‘cfv 5213  1^st c1st 6134  2^nd c2nd 6135  Qcnq 7274  Pcnp 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4119  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-id 4291  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fv 5221  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-inp 7460

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7470  0npr  7477  genpdf  7502  genipv  7503  genpelvl  7506  genpelvu  7507  genpml  7511  genpmu  7512  genprndl  7515  genprndu  7516  genpdisj  7517  genpassl  7518  genpassu  7519  addnqprl  7523  addnqpru  7524  addlocprlemeqgt  7526  addlocprlemgt  7528  addlocprlem  7529  addlocpr  7530  nqprl  7545  nqpru  7546  addnqprlemfl  7553  addnqprlemfu  7554  mulnqprl  7562  mulnqpru  7563  mullocprlem  7564  mullocpr  7565  mulnqprlemfl  7569  mulnqprlemfu  7570  addcomprg  7572  mulcomprg  7574  distrlem1prl  7576  distrlem1pru  7577  distrlem4prl  7578  distrlem4pru  7579  ltprordil  7583  1idprl  7584  1idpru  7585  ltpopr  7589  ltsopr  7590  ltaddpr  7591  ltexprlemm  7594  ltexprlemopl  7595  ltexprlemlol  7596  ltexprlemopu  7597  ltexprlemupu  7598  ltexprlemdisj  7600  ltexprlemloc  7601  ltexprlemfl  7603  ltexprlemrl  7604  ltexprlemfu  7605  ltexprlemru  7606  addcanprleml  7608  addcanprlemu  7609  prplnqu  7614  recexprlemm  7618  recexprlemdisj  7624  recexprlemloc  7625  recexprlem1ssl  7627  recexprlem1ssu  7628  recexprlemss1l  7629  recexprlemss1u  7630  aptiprleml  7633  aptiprlemu  7634  archpr  7637  cauappcvgprlemladdru  7650  cauappcvgprlemladdrl  7651  archrecpr  7658  caucvgprlemladdrl  7672  caucvgprprlemml  7688  caucvgprprlemmu  7689  caucvgprprlemopl  7691  suplocexprlemml  7710  suplocexprlemrl  7711  suplocexprlemmu  7712  suplocexprlemdisj  7714  suplocexprlemloc  7715  suplocexprlemex  7716  suplocexprlemub  7717