Theorem prop 7535

Description: A positive real is an ordered pair of a lower cut and an upper cut. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prop	⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Proof of Theorem prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npsspw 7531	. . . 4 ⊢ P ⊆ (𝒫 Q × 𝒫 Q)
2	1	sseli 3175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q))
3		1st2nd2 6228	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (𝒫 Q × 𝒫 Q) → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
4	2, 3	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → 𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩)
5		eleq1 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → (𝐴 ∈ P ↔ ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
6	5	biimpcd 159	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ P → (𝐴 = ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P))
7	4, 6	mpd 13	1 ⊢ (𝐴 ∈ P → ⟨(1st ‘𝐴), (2nd ‘𝐴)⟩ ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  𝒫 cpw 3601  ⟨cop 3621   × cxp 4657  ‘cfv 5254  1^st c1st 6191  2^nd c2nd 6192  Qcnq 7340  Pcnp 7351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-inp 7526

This theorem is referenced by:  elnp1st2nd  7536  0npr  7543  genpdf  7568  genipv  7569  genpelvl  7572  genpelvu  7573  genpml  7577  genpmu  7578  genprndl  7581  genprndu  7582  genpdisj  7583  genpassl  7584  genpassu  7585  addnqprl  7589  addnqpru  7590  addlocprlemeqgt  7592  addlocprlemgt  7594  addlocprlem  7595  addlocpr  7596  nqprl  7611  nqpru  7612  addnqprlemfl  7619  addnqprlemfu  7620  mulnqprl  7628  mulnqpru  7629  mullocprlem  7630  mullocpr  7631  mulnqprlemfl  7635  mulnqprlemfu  7636  addcomprg  7638  mulcomprg  7640  distrlem1prl  7642  distrlem1pru  7643  distrlem4prl  7644  distrlem4pru  7645  ltprordil  7649  1idprl  7650  1idpru  7651  ltpopr  7655  ltsopr  7656  ltaddpr  7657  ltexprlemm  7660  ltexprlemopl  7661  ltexprlemlol  7662  ltexprlemopu  7663  ltexprlemupu  7664  ltexprlemdisj  7666  ltexprlemloc  7667  ltexprlemfl  7669  ltexprlemrl  7670  ltexprlemfu  7671  ltexprlemru  7672  addcanprleml  7674  addcanprlemu  7675  prplnqu  7680  recexprlemm  7684  recexprlemdisj  7690  recexprlemloc  7691  recexprlem1ssl  7693  recexprlem1ssu  7694  recexprlemss1l  7695  recexprlemss1u  7696  aptiprleml  7699  aptiprlemu  7700  archpr  7703  cauappcvgprlemladdru  7716  cauappcvgprlemladdrl  7717  archrecpr  7724  caucvgprlemladdrl  7738  caucvgprprlemml  7754  caucvgprprlemmu  7755  caucvgprprlemopl  7757  suplocexprlemml  7776  suplocexprlemrl  7777  suplocexprlemmu  7778  suplocexprlemdisj  7780  suplocexprlemloc  7781  suplocexprlemex  7782  suplocexprlemub  7783