Theorem pw1ndom3lem 16382

Description: Lemma for pw1ndom3 16383. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw1ndom3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
pw1ndom3lem.xz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
pw1ndom3lem.yz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pw1ndom3lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∅)

Proof of Theorem pw1ndom3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ndom3lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 1o)
2	1	elpwid 3660	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 1o)
3		df1o2 6582	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
4	2, 3	sseqtrdi 3272	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ {∅})
5		pw1ndom3lem.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 1o)
6	5	elpwid 3660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 1o)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ⊆ 1o)
8	7, 3	sseqtrdi 3272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ⊆ {∅})
9		pw1ndom3lem.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑋 ≠ 𝑌)
11		neeq1 2413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 1o → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 1o ≠ 𝑌))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 1o ≠ 𝑌))
13	10, 12	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o ≠ 𝑌)
14	13	necomd 2486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ 1o)
15	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o = {∅})
16	14, 15	neeqtrd 2428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ {∅})
17		pwntru 4283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ⊆ {∅} ∧ 𝑌 ≠ {∅}) → 𝑌 = ∅)
18	8, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 = ∅)
19		pw1ndom3lem.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝒫 1o)
20	19	elpwid 3660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 1o)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ⊆ 1o)
22	21, 3	sseqtrdi 3272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ⊆ {∅})
23		pw1ndom3lem.xz	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑋 ≠ 𝑍)
25		neeq1 2413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 1o → (𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 1o ≠ 𝑍))
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → (𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 1o ≠ 𝑍))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o ≠ 𝑍)
28	27	necomd 2486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ≠ 1o)
29	28, 15	neeqtrd 2428	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ≠ {∅})
30		pwntru 4283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ {∅} ∧ 𝑍 ≠ {∅}) → 𝑍 = ∅)
31	22, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 = ∅)
32	18, 31	eqtr4d 2265	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 = 𝑍)
33		pw1ndom3lem.yz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ 𝑍)
35	34	neneqd 2421	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
36	32, 35	pm2.65da 665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 1o)
37	36	neqned 2407	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1o)
38	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o = {∅})
39	37, 38	neeqtrd 2428	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ {∅})
40		pwntru 4283	. 2 ⊢ ((𝑋 ⊆ {∅} ∧ 𝑋 ≠ {∅}) → 𝑋 = ∅)
41	4, 39, 40	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491  𝒫 cpw 3649  {csn 3666  1_oc1o 6561

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-suc 4462  df-1o 6568

This theorem is referenced by:  pw1ndom3  16383