Theorem pw1ndom3lem 17002

Description: Lemma for pw1ndom3 17003. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw1ndom3lem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝒫 1o)
pw1ndom3lem.xy	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
pw1ndom3lem.xz	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
pw1ndom3lem.yz	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pw1ndom3lem	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∅)

Proof of Theorem pw1ndom3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pw1ndom3lem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝒫 1o)
2	1	elpwid 3699	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 1o)
3		df1o2 6695	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
4	2, 3	sseqtrdi 3296	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ {∅})
5		pw1ndom3lem.y	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝒫 1o)
6	5	elpwid 3699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ 1o)
7	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ⊆ 1o)
8	7, 3	sseqtrdi 3296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ⊆ {∅})
9		pw1ndom3lem.xy	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10	9	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑋 ≠ 𝑌)
11		neeq1 2433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 1o → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 1o ≠ 𝑌))
12	11	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ 1o ≠ 𝑌))
13	10, 12	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o ≠ 𝑌)
14	13	necomd 2506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ 1o)
15	3	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o = {∅})
16	14, 15	neeqtrd 2448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ {∅})
17		pwntru 4334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ⊆ {∅} ∧ 𝑌 ≠ {∅}) → 𝑌 = ∅)
18	8, 16, 17	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 = ∅)
19		pw1ndom3lem.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝒫 1o)
20	19	elpwid 3699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ 1o)
21	20	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ⊆ 1o)
22	21, 3	sseqtrdi 3296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ⊆ {∅})
23		pw1ndom3lem.xz	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑍)
24	23	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑋 ≠ 𝑍)
25		neeq1 2433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 = 1o → (𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 1o ≠ 𝑍))
26	25	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → (𝑋 ≠ 𝑍 ↔ 1o ≠ 𝑍))
27	24, 26	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 1o ≠ 𝑍)
28	27	necomd 2506	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ≠ 1o)
29	28, 15	neeqtrd 2448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 ≠ {∅})
30		pwntru 4334	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑍 ⊆ {∅} ∧ 𝑍 ≠ {∅}) → 𝑍 = ∅)
31	22, 29, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑍 = ∅)
32	18, 31	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 = 𝑍)
33		pw1ndom3lem.yz	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
34	33	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → 𝑌 ≠ 𝑍)
35	34	neneqd 2441	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = 1o) → ¬ 𝑌 = 𝑍)
36	32, 35	pm2.65da 671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 1o)
37	36	neqned 2427	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 1o)
38	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1o = {∅})
39	37, 38	neeqtrd 2448	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ {∅})
40		pwntru 4334	. 2 ⊢ ((𝑋 ⊆ {∅} ∧ 𝑋 ≠ {∅}) → 𝑋 = ∅)
41	4, 39, 40	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688  {csn 3708  1_oc1o 6674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-suc 4514  df-1o 6681

This theorem is referenced by:  pw1ndom3  17003