Theorem pw1ndom3 16649

Description: The powerset of 1_o does not dominate 3_o. This is another way of saying that 𝒫 1_o does not have three elements (like pwntru 4291). (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ndom3	⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1ndom3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dom 16647	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simp-4r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝒫 1o)
3		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 1o)
4		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝒫 1o)
5		simpr1 1029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6		simpr2 1030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑧)
7		simpr3 1031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pw1ndom3lem 16648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = ∅)
9	5	necomd 2487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
10	3, 2, 4, 9, 7, 6	pw1ndom3lem 16648	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 = ∅)
11	8, 10	eqtr4d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = 𝑦)
12	11, 5	pm2.21ddne 2484	. . . . . . 7 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ⊥)
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
14	13	rexlimdva 2649	. . . . 5 ⊢ (((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
15	14	rexlimdva 2649	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
16	15	rexlimdva 2649	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → (∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
17	1, 16	mpd 13	. 2 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥)
18		dfnot 1415	. 2 ⊢ (¬ 3o ≼ 𝒫 1o ↔ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥))
19	17, 18	mpbir 146	1 ⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004  ⊥wfal 1402   ∈ wcel 2201   ≠ wne 2401  ∃wrex 2510  ∅c0 3493  𝒫 cpw 3653   class class class wbr 4089  1_oc1o 6580  3_oc3o 6582   ≼ cdom 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fv 5336  df-1o 6587  df-2o 6588  df-3o 6589  df-dom 6916

This theorem is referenced by:  pw1ninf  16650