Theorem pw1ndom3 17003

Description: The powerset of 1_o does not dominate 3_o. This is another way of saying that 𝒫 1_o does not have three elements (like pwntru 4334). (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ndom3	⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1ndom3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dom 17001	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simp-4r 548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝒫 1o)
3		simpllr 540	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 1o)
4		simplr 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝒫 1o)
5		simpr1 1034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6		simpr2 1035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑧)
7		simpr3 1036	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pw1ndom3lem 17002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = ∅)
9	5	necomd 2506	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
10	3, 2, 4, 9, 7, 6	pw1ndom3lem 17002	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 = ∅)
11	8, 10	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = 𝑦)
12	11, 5	pm2.21ddne 2503	. . . . . . 7 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ⊥)
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
14	13	rexlimdva 2668	. . . . 5 ⊢ (((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
15	14	rexlimdva 2668	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
16	15	rexlimdva 2668	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → (∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
17	1, 16	mpd 13	. 2 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥)
18		dfnot 1420	. 2 ⊢ (¬ 3o ≼ 𝒫 1o ↔ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥))
19	17, 18	mpbir 146	1 ⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009  ⊥wfal 1407   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∃wrex 2529  ∅c0 3520  𝒫 cpw 3688   class class class wbr 4128  1_oc1o 6674  3_oc3o 6676   ≼ cdom 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fv 5383  df-1o 6681  df-2o 6682  df-3o 6683  df-dom 7018

This theorem is referenced by:  pw1ninf  17004