Theorem pw1ndom3 16903

Description: The powerset of 1_o does not dominate 3_o. This is another way of saying that 𝒫 1_o does not have three elements (like pwntru 4317). (Contributed by Steven Nguyen and Jim Kingdon, 14-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pw1ndom3	⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Proof of Theorem pw1ndom3

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3dom 16901	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
2		simp-4r 544	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ∈ 𝒫 1o)
3		simpllr 536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝒫 1o)
4		simplr 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝒫 1o)
5		simpr1 1030	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑦)
6		simpr2 1031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 ≠ 𝑧)
7		simpr3 1032	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑧)
8	2, 3, 4, 5, 6, 7	pw1ndom3lem 16902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = ∅)
9	5	necomd 2500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ≠ 𝑥)
10	3, 2, 4, 9, 7, 6	pw1ndom3lem 16902	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 = ∅)
11	8, 10	eqtr4d 2270	. . . . . . . 8 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑥 = 𝑦)
12	11, 5	pm2.21ddne 2497	. . . . . . 7 ⊢ (((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) ∧ (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ⊥)
13	12	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 1o) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
14	13	rexlimdva 2662	. . . . 5 ⊢ (((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
15	14	rexlimdva 2662	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 1o) → (∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
16	15	rexlimdva 2662	. . 3 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → (∃𝑥 ∈ 𝒫 1o∃𝑦 ∈ 𝒫 1o∃𝑧 ∈ 𝒫 1o(𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) → ⊥))
17	1, 16	mpd 13	. 2 ⊢ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥)
18		dfnot 1416	. 2 ⊢ (¬ 3o ≼ 𝒫 1o ↔ (3o ≼ 𝒫 1o → ⊥))
19	17, 18	mpbir 146	1 ⊢ ¬ 3o ≼ 𝒫 1o

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005  ⊥wfal 1403   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414  ∃wrex 2523  ∅c0 3512  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114  1_oc1o 6653  3_oc3o 6655   ≼ cdom 6987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-3o 6662  df-dom 6990

This theorem is referenced by:  pw1ninf  16904