Theorem 3dom 16608

Description: A set that dominates ordinal 3 has at least 3 different members. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
3dom	⊢ (3o ≼ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem 3dom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6920	. 2 ⊢ (3o ≼ 𝐴 → ∃𝑓 𝑓:3o–1-1→𝐴)
2		f1f 5542	. . . . 5 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → 𝑓:3o⟶𝐴)
3	2	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → 𝑓:3o⟶𝐴)
4		0lt2o 6609	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ 2o
5		elelsuc 4506	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ∈ 2o → ∅ ∈ suc 2o)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ suc 2o
7		df-3o 6584	. . . . . 6 ⊢ 3o = suc 2o
8	6, 7	eleqtrri 2307	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 3o
9	8	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → ∅ ∈ 3o)
10	3, 9	ffvelcdmd 5783	. . 3 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ∈ 𝐴)
11		1lt2o 6610	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ 2o
12		elelsuc 4506	. . . . . . . 8 ⊢ (1o ∈ 2o → 1o ∈ suc 2o)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1o ∈ suc 2o
14	13, 7	eleqtrri 2307	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 3o
15	14	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → 1o ∈ 3o)
16	3, 15	ffvelcdmd 5783	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘1o) ∈ 𝐴)
17		2onn 6689	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ∈ ω
18	17	elexi 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ∈ V
19	18	sucid 4514	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ suc 2o
20	19, 7	eleqtrri 2307	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ 3o
21	20	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → 2o ∈ 3o)
22	3, 21	ffvelcdmd 5783	. . . . 5 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘2o) ∈ 𝐴)
23		1n0 6600	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ≠ ∅
24	23	nesymi 2448	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 1o
25		f1veqaeq 5910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (∅ ∈ 3o ∧ 1o ∈ 3o)) → ((𝑓‘∅) = (𝑓‘1o) → ∅ = 1o))
26	24, 25	mtoi 670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (∅ ∈ 3o ∧ 1o ∈ 3o)) → ¬ (𝑓‘∅) = (𝑓‘1o))
27	8, 14, 26	mpanr12 439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → ¬ (𝑓‘∅) = (𝑓‘1o))
28	27	neqned 2409	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o))
29	28	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o))
30		2on0 6592	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o ≠ ∅
31	30	nesymi 2448	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ ∅ = 2o
32		f1veqaeq 5910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (∅ ∈ 3o ∧ 2o ∈ 3o)) → ((𝑓‘∅) = (𝑓‘2o) → ∅ = 2o))
33	31, 32	mtoi 670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (∅ ∈ 3o ∧ 2o ∈ 3o)) → ¬ (𝑓‘∅) = (𝑓‘2o))
34	8, 20, 33	mpanr12 439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → ¬ (𝑓‘∅) = (𝑓‘2o))
35	34	neqned 2409	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘2o))
36	35	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘2o))
37		nnord 4710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2o ∈ ω → Ord 2o)
38	17, 37	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ord 2o
39		ordirr 4640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 2o → ¬ 2o ∈ 2o)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 2o ∈ 2o
41		eleq1 2294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1o = 2o → (1o ∈ 2o ↔ 2o ∈ 2o))
42	40, 41	mtbiri 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1o = 2o → ¬ 1o ∈ 2o)
43	11, 42	mt2 645	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ 1o = 2o
44		f1veqaeq 5910	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (1o ∈ 3o ∧ 2o ∈ 3o)) → ((𝑓‘1o) = (𝑓‘2o) → 1o = 2o))
45	43, 44	mtoi 670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑓:3o–1-1→𝐴 ∧ (1o ∈ 3o ∧ 2o ∈ 3o)) → ¬ (𝑓‘1o) = (𝑓‘2o))
46	14, 20, 45	mpanr12 439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → ¬ (𝑓‘1o) = (𝑓‘2o))
47	46	neqned 2409	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:3o–1-1→𝐴 → (𝑓‘1o) ≠ (𝑓‘2o))
48	47	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → (𝑓‘1o) ≠ (𝑓‘2o))
49		neeq2 2416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘2o) → ((𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ↔ (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘2o)))
50		neeq2 2416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘2o) → ((𝑓‘1o) ≠ 𝑧 ↔ (𝑓‘1o) ≠ (𝑓‘2o)))
51	49, 50	3anbi23d 1351	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = (𝑓‘2o) → (((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧) ↔ ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘2o) ∧ (𝑓‘1o) ≠ (𝑓‘2o))))
52	51	rspcev 2910	. . . . 5 ⊢ (((𝑓‘2o) ∈ 𝐴 ∧ ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘2o) ∧ (𝑓‘1o) ≠ (𝑓‘2o))) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧))
53	22, 29, 36, 48, 52	syl13anc 1275	. . . 4 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧))
54		neeq2 2416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘1o) → ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o)))
55		biidd 172	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘1o) → ((𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ↔ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧))
56		neeq1 2415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘1o) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧))
57	54, 55, 56	3anbi123d 1348	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘1o) → (((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧)))
58	57	rexbidv 2533	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘1o) → (∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧)))
59	58	rspcev 2910	. . . 4 ⊢ (((𝑓‘1o) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ (𝑓‘1o) ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ (𝑓‘1o) ≠ 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
60	16, 53, 59	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
61		neeq1 2415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘∅) → (𝑥 ≠ 𝑦 ↔ (𝑓‘∅) ≠ 𝑦))
62		neeq1 2415	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘∅) → (𝑥 ≠ 𝑧 ↔ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧))
63		biidd 172	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘∅) → (𝑦 ≠ 𝑧 ↔ 𝑦 ≠ 𝑧))
64	61, 62, 63	3anbi123d 1348	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘∅) → ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
65	64	2rexbidv 2557	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑓‘∅) → (∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)))
66	65	rspcev 2910	. . 3 ⊢ (((𝑓‘∅) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑓‘∅) ≠ 𝑦 ∧ (𝑓‘∅) ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
67	10, 60, 66	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((3o ≼ 𝐴 ∧ 𝑓:3o–1-1→𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))
68	1, 67	exlimddv 1947	1 ⊢ (3o ≼ 𝐴 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐴 ∃𝑧 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑥 ≠ 𝑧 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2402  ∃wrex 2511  ∅c0 3494   class class class wbr 4088  Ord word 4459  suc csuc 4462  ωcom 4688  ⟶wf 5322  –1-1→wf1 5323  ‘cfv 5326  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576  3_oc3o 6577   ≼ cdom 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fv 5334  df-1o 6582  df-2o 6583  df-3o 6584  df-dom 6911

This theorem is referenced by:  pw1ndom3  16610