Theorem neeq1 2416

Description: Equality theorem for inequality. (Contributed by NM, 19-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
neeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem neeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2238	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
2	1	notbid 673	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐶 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐶))
3		df-ne 2404	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐶)
4		df-ne 2404	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐶)
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ≠ wne 2403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-5 1496  ax-gen 1498  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2224  df-ne 2404

This theorem is referenced by:  neeq1i  2418  neeq1d  2421  nelrdva  3014  disji2  4085  0inp0  4262  frecabcl  6608  fiintim  7166  eldju2ndl  7314  updjudhf  7321  netap  7516  2oneel  7518  2omotaplemap  7519  2omotaplemst  7520  exmidapne  7522  xnn0nemnf  9520  uzn0  9816  xrnemnf  10056  xrnepnf  10057  ngtmnft  10096  xsubge0  10160  xposdif  10161  xleaddadd  10166  fztpval  10363  hashdmprop2dom  11154  fun2dmnop0  11160  pcpre1  12928  pcqmul  12939  pcqcl  12942  xpsfrnel  13490  isnzr2  14262  fiinopn  14798  umgrvad2edg  16135  isclwwlk  16318  eupth2lem2dc  16383  eupth2lem3lem6fi  16395  eupth2lem3lem4fi  16397  3dom  16691  pw1ndom3lem  16692  qdiff  16764  neapmkv  16784  neap0mkv  16785  ltlenmkv  16786