Theorem neeq1 2413

Description: Equality theorem for inequality. (Contributed by NM, 19-Nov-1994.)

Assertion

Ref	Expression
neeq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))

Proof of Theorem neeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2236	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 = 𝐶 ↔ 𝐵 = 𝐶))
2	1	notbid 671	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (¬ 𝐴 = 𝐶 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐶))
3		df-ne 2401	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐶)
4		df-ne 2401	. 2 ⊢ (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐶)
5	2, 3, 4	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ≠ wne 2400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-5 1493  ax-gen 1495  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-cleq 2222  df-ne 2401

This theorem is referenced by:  neeq1i  2415  neeq1d  2418  nelrdva  3011  disji2  4078  0inp0  4254  frecabcl  6560  fiintim  7116  eldju2ndl  7262  updjudhf  7269  netap  7463  2oneel  7465  2omotaplemap  7466  2omotaplemst  7467  exmidapne  7469  xnn0nemnf  9466  uzn0  9762  xrnemnf  10002  xrnepnf  10003  ngtmnft  10042  xsubge0  10106  xposdif  10107  xleaddadd  10112  fztpval  10308  hashdmprop2dom  11098  fun2dmnop0  11101  pcpre1  12855  pcqmul  12866  pcqcl  12869  xpsfrnel  13417  isnzr2  14188  fiinopn  14718  umgrvad2edg  16050  isclwwlk  16189  3dom  16523  pw1ndom3lem  16524  neapmkv  16608  neap0mkv  16609  ltlenmkv  16610