ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibndlem GIF version

Theorem phibndlem 12210
Description: Lemma for phibnd 12211. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 simpr 110 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
21a1d 22 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3 eluzelz 9535 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 gcdid 11981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
6 eluz2nn 9564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nnre 8924 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnnn0 9181 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0ge0d 9230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
107, 9absidd 11171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
116, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
125, 11eqtrd 2210 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
13 1re 7955 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
14 eluz2gt1 9600 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
15 ltne 8040 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
1613, 14, 15sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
1712, 16eqnetrd 2371 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
18 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
1918neeq1d 2365 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
2017, 19syl5ibrcom 157 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2120imp 124 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
2221adantlr 477 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
2322neneqd 2368 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ¬ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
2423pm2.21d 619 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
25 fzm1 10097 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
26 nnuz 9561 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleq2s 2272 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
2827biimpa 296 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
296, 28sylan 283 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
302, 24, 29mpjaodan 798 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3130ralrimiva 2550 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
32 rabss 3232 . 2 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3331, 32sylibr 134 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wral 2455  {crab 2459  wss 3129   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cr 7809  1c1 7811   < clt 7990  cmin 8126  cn 8917  2c2 8968  cz 9251  cuz 9526  ...cfz 10006  abscabs 11001   gcd cgcd 11937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-sup 6982  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-fl 10267  df-mod 10320  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-dvds 11790  df-gcd 11938
This theorem is referenced by:  phibnd  12211  dfphi2  12214
  Copyright terms: Public domain W3C validator