Theorem phibndlem 12384

Description: Lemma for phibnd 12385. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
2	1	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcdid 12153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
6		eluz2nn 9640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		nnre 8997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnnn0 9256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
10	7, 9	absidd 11332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
13		1re 8025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		eluz2gt1 9676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
15		ltne 8111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
17	12, 16	eqnetrd 2391	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
18		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
19	18	neeq1d 2385	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
21	20	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
22	21	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
23	22	neneqd 2388	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ¬ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
24	23	pm2.21d 620	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
25		fzm1 10175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
26		nnuz 9637	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2291	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
28	27	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
29	6, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
30	2, 24, 29	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
31	30	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
32		rabss 3260	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
33	31, 32	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  ∀wral 2475  {crab 2479   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  1c1 7880   < clt 8061   − cmin 8197  ℕcn 8990  2c2 9041  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ...cfz 10083  abscabs 11162   gcd cgcd 12120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-gcd 12121

This theorem is referenced by:  phibnd  12385  dfphi2  12388