Theorem phibndlem 12059

Description: Lemma for phibnd 12060. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
2	1	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3		eluzelz 9427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcdid 11841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
6		eluz2nn 9456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		nnre 8819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnnn0 9076	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0ge0d 9125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
10	7, 9	absidd 11044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	eqtrd 2187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
13		1re 7856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		eluz2gt1 9491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
15		ltne 7941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
16	13, 14, 15	sylancr 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
17	12, 16	eqnetrd 2348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
18		oveq1 5821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
19	18	neeq1d 2342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
20	17, 19	syl5ibrcom 156	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
21	20	imp 123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
22	21	adantlr 469	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
23	22	neneqd 2345	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ¬ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
24	23	pm2.21d 609	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
25		fzm1 9980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
26		nnuz 9453	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2249	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
28	27	biimpa 294	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
29	6, 28	sylan 281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
30	2, 24, 29	mpjaodan 788	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
31	30	ralrimiva 2527	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
32		rabss 3201	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
33	31, 32	sylibr 133	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 2125   ≠ wne 2324  ∀wral 2432  {crab 2436   ⊆ wss 3098   class class class wbr 3961  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814  ℝcr 7710  1c1 7712   < clt 7891   − cmin 8025  ℕcn 8812  2c2 8863  ℤcz 9146  ℤ_≥cuz 9418  ...cfz 9890  abscabs 10874   gcd cgcd 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-sup 6916  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-dvds 11661  df-gcd 11803

This theorem is referenced by:  phibnd  12060  dfphi2  12063