ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phibndlem GIF version

Theorem phibndlem 10972
Description: Lemma for phibnd 10973. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
phibndlem (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem
StepHypRef Expression
1 simpr 108 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
21a1d 22 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3 eluzelz 8923 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 gcdid 10757 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
53, 4syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
6 eluz2nn 8952 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nnre 8323 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8 nnnn0 8572 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
98nn0ge0d 8621 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
107, 9absidd 10427 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
116, 10syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
125, 11eqtrd 2115 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
13 1re 7390 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
14 eluz2gt1 8984 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑁)
15 ltne 7473 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
1613, 14, 15sylancr 405 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ≠ 1)
1712, 16eqnetrd 2273 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
18 oveq1 5598 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
1918neeq1d 2267 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
2017, 19syl5ibrcom 155 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
2120imp 122 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
2221adantlr 461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
2322neneqd 2270 . . . . 5 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ¬ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
2423pm2.21d 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
25 fzm1 9407 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
26 nnuz 8949 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2725, 26eleq2s 2177 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
2827biimpa 290 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
296, 28sylan 277 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
302, 24, 29mpjaodan 745 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3130ralrimiva 2440 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
32 rabss 3082 . 2 ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3331, 32sylibr 132 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wral 2353  {crab 2357  wss 2984   class class class wbr 3811  cfv 4969  (class class class)co 5591  cr 7252  1c1 7254   < clt 7425  cmin 7556  cn 8316  2c2 8366  cz 8646  cuz 8914  ...cfz 9319  abscabs 10257   gcd cgcd 10718
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-1cn 7341  ax-1re 7342  ax-icn 7343  ax-addcl 7344  ax-addrcl 7345  ax-mulcl 7346  ax-mulrcl 7347  ax-addcom 7348  ax-mulcom 7349  ax-addass 7350  ax-mulass 7351  ax-distr 7352  ax-i2m1 7353  ax-0lt1 7354  ax-1rid 7355  ax-0id 7356  ax-rnegex 7357  ax-precex 7358  ax-cnre 7359  ax-pre-ltirr 7360  ax-pre-ltwlin 7361  ax-pre-lttrn 7362  ax-pre-apti 7363  ax-pre-ltadd 7364  ax-pre-mulgt0 7365  ax-pre-mulext 7366  ax-arch 7367  ax-caucvg 7368
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-if 3374  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-ilim 4160  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-riota 5547  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-frec 6088  df-sup 6586  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-xr 7429  df-ltxr 7430  df-le 7431  df-sub 7558  df-neg 7559  df-reap 7952  df-ap 7959  df-div 8038  df-inn 8317  df-2 8375  df-3 8376  df-4 8377  df-n0 8566  df-z 8647  df-uz 8915  df-q 9000  df-rp 9030  df-fz 9320  df-fzo 9444  df-fl 9566  df-mod 9619  df-iseq 9741  df-iexp 9792  df-cj 10103  df-re 10104  df-im 10105  df-rsqrt 10258  df-abs 10259  df-dvds 10577  df-gcd 10719
This theorem is referenced by:  phibnd  10973  dfphi2  10976
  Copyright terms: Public domain W3C validator