Theorem phibndlem 12357

Description: Lemma for phibnd 12358. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
phibndlem	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Proof of Theorem phibndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)))
2	1	a1d 22	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
3		eluzelz 9604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		gcdid 12126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
5	3, 4	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = (abs‘𝑁))
6		eluz2nn 9634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		nnre 8991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
8		nnnn0 9250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	8	nn0ge0d 9299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ 𝑁)
10	7, 9	absidd 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (abs‘𝑁) = 𝑁)
11	6, 10	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝑁) = 𝑁)
12	5, 11	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) = 𝑁)
13		1re 8020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
14		eluz2gt1 9670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑁)
15		ltne 8106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → 𝑁 ≠ 1)
16	13, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ≠ 1)
17	12, 16	eqnetrd 2388	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1)
18		oveq1 5926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑁))
19	18	neeq1d 2382	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑁) ≠ 1))
20	17, 19	syl5ibrcom 157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1))
21	20	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
22	21	adantlr 477	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → (𝑥 gcd 𝑁) ≠ 1)
23	22	neneqd 2385	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ¬ (𝑥 gcd 𝑁) = 1)
24	23	pm2.21d 620	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑥 = 𝑁) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
25		fzm1 10169	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
26		nnuz 9631	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
27	25, 26	eleq2s 2288	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥 ∈ (1...𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁)))
28	27	biimpa 296	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
29	6, 28	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∨ 𝑥 = 𝑁))
30	2, 24, 29	mpjaodan 799	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
31	30	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
32		rabss 3257	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...𝑁)((𝑥 gcd 𝑁) = 1 → 𝑥 ∈ (1...(𝑁 − 1))))
33	31, 32	sylibr 134	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → {𝑥 ∈ (1...𝑁) ∣ (𝑥 gcd 𝑁) = 1} ⊆ (1...(𝑁 − 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  {crab 2476   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  1c1 7875   < clt 8056   − cmin 8192  ℕcn 8984  2c2 9035  ℤcz 9320  ℤ_≥cuz 9595  ...cfz 10077  abscabs 11144   gcd cgcd 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083

This theorem is referenced by:  phibnd  12358  dfphi2  12361