Theorem blsscls2 14661

Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blsscls2	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blcld.3	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
2		simplr3 1043	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 < 𝑇)
3		xmetcl 14520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
4	3	3expa 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5	4	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
6		simplr1 1041	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simplr2 1042	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ*)
8		xrlelttr 9872	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑇) → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
9	8	expcomd 1452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
11	2, 10	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
12		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ*)
13		elbl2 14561	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
14	13	an4s 588	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
15	12, 14	sylanr1 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
16	15	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
17	11, 16	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
18	17	ralrimiva 2567	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
19		rabss 3256	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
20	18, 19	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
21	1, 20	eqsstrid 3225	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  {crab 2476   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055  ∞Metcxmet 14032  ballcbl 14034  MetOpencmopn 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-map 6704  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-bl 14042

This theorem is referenced by: (None)