Theorem blsscls2 15487

Description: A smaller closed ball is contained in a larger open ball. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mopni.1	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
blcld.3	⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}

Assertion

Ref	Expression
blsscls2	⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐷   𝑧,𝑅   𝑧,𝑃   𝑧,𝑇   𝑧,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑧)   𝐽(𝑧)

Proof of Theorem blsscls2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blcld.3	. 2 ⊢ 𝑆 = {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅}
2		simplr3 1068	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 < 𝑇)
3		xmetcl 15346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
4	3	3expa 1230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
5	4	adantlr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ*)
6		simplr1 1066	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑅 ∈ ℝ*)
7		simplr2 1067	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑇 ∈ ℝ*)
8		xrlelttr 10161	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) → (((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 ∧ 𝑅 < 𝑇) → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
9	8	expcomd 1487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃𝐷𝑧) ∈ ℝ* ∧ 𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑅 < 𝑇 → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇)))
11	2, 10	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
12		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ*)
13		elbl2 15387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑇 ∈ ℝ*) ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
14	13	an4s 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
15	12, 14	sylanr1 404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
16	15	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ (𝑃𝐷𝑧) < 𝑇))
17	11, 16	sylibrd 169	. . . 4 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
18	17	ralrimiva 2617	. . 3 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
19		rabss 3319	. . 3 ⊢ ({𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅 → 𝑧 ∈ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇)))
20	18, 19	sylibr 134	. 2 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → {𝑧 ∈ 𝑋 ∣ (𝑃𝐷𝑧) ≤ 𝑅} ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))
21	1, 20	eqsstrid 3288	1 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑃 ∈ 𝑋) ∧ (𝑅 ∈ ℝ* ∧ 𝑇 ∈ ℝ* ∧ 𝑅 < 𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑃(ball‘𝐷)𝑇))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  {crab 2526   ⊆ wss 3214   class class class wbr 4114  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  ℝ^*cxr 8323   < clt 8324   ≤ cle 8325  ∞Metcxmet 14813  ballcbl 14815  MetOpencmopn 14818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-psmet 14820  df-xmet 14821  df-bl 14823

This theorem is referenced by: (None)