Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sumtp GIF version

Theorem sumtp 11176
 Description: A sum over a triple is the sum of the elements. (Contributed by AV, 24-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
sumtp.e (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
sumtp.f (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
sumtp.g (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
sumtp.c (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
sumtp.v (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
sumtp.1 (𝜑𝐴𝐵)
sumtp.2 (𝜑𝐴𝐶)
sumtp.3 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumtp (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝜑,𝑘   𝑘,𝑉   𝑘,𝑊   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem sumtp
StepHypRef Expression
1 sumtp.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐶)
21necomd 2392 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
3 sumtp.3 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
43necomd 2392 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐵)
52, 4nelprd 3548 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
6 disjsn 3580 . . . 4 (({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅ ↔ ¬ 𝐶 ∈ {𝐴, 𝐵})
75, 6sylibr 133 . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ∩ {𝐶}) = ∅)
8 df-tp 3530 . . . 4 {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
98a1i 9 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶}))
10 sumtp.v . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋))
1110simp1d 993 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
1210simp2d 994 . . . 4 (𝜑𝐵𝑊)
1310simp3d 995 . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
14 sumtp.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
1511, 12, 13, 14, 1, 3tpfidisj 6809 . . 3 (𝜑 → {𝐴, 𝐵, 𝐶} ∈ Fin)
16 sumtp.c . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ))
17 sumtp.e . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐴𝐷 = 𝐸)
1817eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐴 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
19 sumtp.f . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐵𝐷 = 𝐹)
2019eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐹 ∈ ℂ))
21 sumtp.g . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐶𝐷 = 𝐺)
2221eleq1d 2206 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐶 → (𝐷 ∈ ℂ ↔ 𝐺 ∈ ℂ))
2318, 20, 22raltpg 3571 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2410, 23syl 14 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ ↔ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ)))
2516, 24mpbird 166 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 ∈ ℂ)
2625r19.21bi 2518 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}) → 𝐷 ∈ ℂ)
277, 9, 15, 26fsumsplit 11169 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷))
28 3simpa 978 . . . . 5 ((𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℂ) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
2916, 28syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℂ))
30 3simpa 978 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶𝑋) → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
3110, 30syl 14 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑊))
3217, 19, 29, 31, 14sumpr 11175 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 = (𝐸 + 𝐹))
3316simp3d 995 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ℂ)
3421sumsn 11173 . . . 4 ((𝐶𝑋𝐺 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3513, 33, 34syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷 = 𝐺)
3632, 35oveq12d 5785 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐷 + Σ𝑘 ∈ {𝐶}𝐷) = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
3727, 36eqtrd 2170 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝐷 = ((𝐸 + 𝐹) + 𝐺))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 962   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2306  ∀wral 2414   ∪ cun 3064   ∩ cin 3065  ∅c0 3358  {csn 3522  {cpr 3523  {ctp 3524  (class class class)co 5767  ℂcc 7611   + caddc 7616  Σcsu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-tp 3530  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator