ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imasaddfnlemg GIF version

Theorem imasaddfnlemg 12763
Description: The image structure operation is a function if the original operation is compatible with the function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasaddf.f (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
imasaddf.e ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
imasaddflem.a (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
imasaddfnlemg.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ ๐‘Š)
imasaddfnlemg.x (๐œ‘ โ†’ ยท โˆˆ ๐ถ)
Assertion
Ref Expression
imasaddfnlemg (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ž,๐‘,๐ต   ๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž,๐‘‰   ยท ,๐‘,๐‘ž   ๐น,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   ๐œ‘,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž   โˆ™ ,๐‘Ž,๐‘,๐‘,๐‘ž
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘Ž,๐‘)   ๐ถ(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)   ยท (๐‘Ž,๐‘)   ๐‘Š(๐‘ž,๐‘,๐‘Ž,๐‘)

Proof of Theorem imasaddfnlemg
Dummy variables ๐‘ค ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasaddf.f . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต)
2 fof 5453 . . . . . . . . . . . . 13 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐น:๐‘‰โŸถ๐ต)
4 imasaddfnlemg.v . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ ๐‘Š)
53, 4fexd 5762 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐น โˆˆ V)
6 vex 2755 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ โˆˆ V
7 fvexg 5549 . . . . . . . . . . 11 ((๐น โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V)
85, 6, 7sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V)
9 vex 2755 . . . . . . . . . . 11 ๐‘ž โˆˆ V
10 fvexg 5549 . . . . . . . . . . 11 ((๐น โˆˆ V โˆง ๐‘ž โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ V)
115, 9, 10sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ V)
12 opexg 4243 . . . . . . . . . 10 (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ V) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V)
138, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V)
14 imasaddfnlemg.x . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ยท โˆˆ ๐ถ)
159a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ž โˆˆ V)
16 ovexg 5925 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ V โˆง ยท โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘ž โˆˆ V) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ V)
176, 14, 15, 16mp3an2i 1353 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ V)
18 fvexg 5549 . . . . . . . . . 10 ((๐น โˆˆ V โˆง (๐‘ ยท ๐‘ž) โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V)
195, 17, 18syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V)
20 relsnopg 4745 . . . . . . . . 9 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V) โ†’ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2113, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2221ralrimivw 2564 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
23 reliun 4762 . . . . . . 7 (Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ Rel {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2422, 23sylibr 134 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2524ralrimivw 2564 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
26 reliun 4762 . . . . 5 (Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ Rel โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2725, 26sylibr 134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
28 imasaddflem.a . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
2928releqd 4725 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (Rel โˆ™ โ†” Rel โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
3027, 29mpbird 167 . . 3 (๐œ‘ โ†’ Rel โˆ™ )
31 ffvelcdm 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต)
32 ffvelcdm 5665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต)
3331, 32anim12dan 600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐น:๐‘‰โŸถ๐ต โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
343, 33sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต))
35 opelxpi 4673 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐นโ€˜๐‘) โˆˆ ๐ต โˆง (๐นโ€˜๐‘ž) โˆˆ ๐ต) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ (๐ต ร— ๐ต))
3719adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V)
3836, 37opelxpd 4674 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
3938snssd 3752 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
4039anassrs 400 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
4140iunssd 3947 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
4241iunssd 3947 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
4328, 42eqsstrd 3206 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
44 dmss 4841 . . . . . . 7 ( โˆ™ โІ ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) โ†’ dom โˆ™ โІ dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
4543, 44syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โІ dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V))
46 vn0m 3449 . . . . . . 7 โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ V
47 dmxpm 4862 . . . . . . 7 (โˆƒ๐‘ค ๐‘ค โˆˆ V โ†’ dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต))
4846, 47ax-mp 5 . . . . . 6 dom ((๐ต ร— ๐ต) ร— V) = (๐ต ร— ๐ต)
4945, 48sseqtrdi 3218 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โІ (๐ต ร— ๐ต))
50 forn 5456 . . . . . . 7 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ran ๐น = ๐ต)
511, 50syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ran ๐น = ๐ต)
5251sqxpeqd 4667 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) = (๐ต ร— ๐ต))
5349, 52sseqtrrd 3209 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ โІ (ran ๐น ร— ran ๐น))
5428eleq2d 2259 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
5554adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
56 df-br 4019 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆ™ )
57 eliun 3905 . . . . . . . . . . . . 13 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
58 eliun 3905 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
5958rexbii 2497 . . . . . . . . . . . . 13 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
6057, 59bitr2i 185 . . . . . . . . . . . 12 (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ})
6155, 56, 603bitr4g 223 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ}))
62 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘Ž โˆˆ V
63 fvexg 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐น โˆˆ V โˆง ๐‘Ž โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V)
645, 62, 63sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V)
65 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ๐‘ โˆˆ V
66 fvexg 5549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐น โˆˆ V โˆง ๐‘ โˆˆ V) โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V)
675, 65, 66sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V)
68 opexg 4243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
6964, 67, 68syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V)
70 vex 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘ค โˆˆ V
71 opexg 4243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘ค โˆˆ V) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ V)
7269, 70, 71sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ V)
73 elsng 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ V โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ))
7472, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ))
75743ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†” โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ))
76 opthg 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆˆ V โˆง ๐‘ค โˆˆ V) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†” (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)))))
7769, 70, 76sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†” (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)))))
78773ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†” (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)))))
79 opthg 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐นโ€˜๐‘Ž) โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜๐‘) โˆˆ V) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†” ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž))))
8064, 67, 79syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†” ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž))))
81803ad2ant1 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†” ((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž))))
82 imasaddf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (((๐นโ€˜๐‘Ž) = (๐นโ€˜๐‘) โˆง (๐นโ€˜๐‘) = (๐นโ€˜๐‘ž)) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
8381, 82sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
84 eqeq2 2199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) โ†” ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))))
8584biimprd 158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)) = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
8683, 85syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โ†’ (๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘)))))
8786impd 254 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆง ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))) โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
8878, 87sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ = โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
8975, 88sylbid 150 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
90893expa 1205 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โˆง (๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
9190rexlimdvva 2615 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ, ๐‘คโŸฉ โˆˆ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
9261, 91sylbid 150 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
9392alrimiv 1885 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))))
94 mo2icl 2931 . . . . . . . . 9 (โˆ€๐‘ค(โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†’ ๐‘ค = (๐นโ€˜(๐‘Ž ยท ๐‘))) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
9593, 94syl 14 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
9695ralrimivva 2572 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
97 fofn 5455 . . . . . . . . . 10 (๐น:๐‘‰โ€“ontoโ†’๐ต โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
981, 97syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐น Fn ๐‘‰)
99 opeq2 3794 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ)
10099breq1d 4028 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
101100mobidv 2074 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
102101ralrn 5670 . . . . . . . . 9 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
10398, 102syl 14 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
104103ralbidv 2490 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), (๐นโ€˜๐‘)โŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
10596, 104mpbird 167 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
106 opeq1 3793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ)
107106breq1d 4028 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
108107mobidv 2074 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
109108ralbidv 2490 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘Ž) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
110109ralrn 5670 . . . . . . 7 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
11198, 110syl 14 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘Ž โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ(๐นโ€˜๐‘Ž), ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
112105, 111mpbird 167 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
113 breq1 4021 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
114113mobidv 2074 . . . . . 6 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค))
115114ralxp 4785 . . . . 5 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโˆƒ*๐‘คโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆ™ ๐‘ค)
116112, 115sylibr 134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
117 ssralv 3234 . . . 4 (dom โˆ™ โІ (ran ๐น ร— ran ๐น) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
11853, 116, 117sylc 62 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค)
119 dffun7 5258 . . 3 (Fun โˆ™ โ†” (Rel โˆ™ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โˆƒ*๐‘ค ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ค))
12030, 118, 119sylanbrc 417 . 2 (๐œ‘ โ†’ Fun โˆ™ )
121 eqimss2 3225 . . . . . . . . . . 11 ( โˆ™ = โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ )
12228, 121syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ )
123 iunss 3942 . . . . . . . . . 10 (โˆช ๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ )
124122, 123sylib 122 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ )
125 iunss 3942 . . . . . . . . . . 11 (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ )
126 opexg 4243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V) โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ V)
12713, 19, 126syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ V)
128 snssg 3741 . . . . . . . . . . . . . 14 (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ V โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ ))
129127, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†” {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ ))
130 opeldmg 4847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ V โˆง (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž)) โˆˆ V) โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
13113, 19, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ โˆˆ โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
132129, 131sylbird 170 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ({โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
133132ralimdv 2558 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
134125, 133biimtrid 152 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
135134ralimdv 2558 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆช ๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ {โŸจโŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ, (๐นโ€˜(๐‘ ยท ๐‘ž))โŸฉ} โІ โˆ™ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
136124, 135mpd 13 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
137 opeq2 3794 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ)
138137eleq1d 2258 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = (๐นโ€˜๐‘ž) โ†’ (โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
139138ralrn 5670 . . . . . . . . . 10 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
14098, 139syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
141140ralbidv 2490 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ž โˆˆ ๐‘‰ โŸจ(๐นโ€˜๐‘), (๐นโ€˜๐‘ž)โŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
142136, 141mpbird 167 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
143 opeq1 3793 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ = โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ)
144143eleq1d 2258 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
145144ralbidv 2490 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ = (๐นโ€˜๐‘) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
146145ralrn 5670 . . . . . . . 8 (๐น Fn ๐‘‰ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
14798, 146syl 14 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ โˆˆ ๐‘‰ โˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ(๐นโ€˜๐‘), ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
148142, 147mpbird 167 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
149 eleq1 2252 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ ))
150149ralxp 4785 . . . . . 6 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ran ๐นโˆ€๐‘ง โˆˆ ran ๐นโŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ โˆˆ dom โˆ™ )
151148, 150sylibr 134 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
152 dfss3 3160 . . . . 5 ((ran ๐น ร— ran ๐น) โІ dom โˆ™ โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ (ran ๐น ร— ran ๐น)๐‘ฅ โˆˆ dom โˆ™ )
153151, 152sylibr 134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ran ๐น ร— ran ๐น) โІ dom โˆ™ )
15452, 153eqsstrrd 3207 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต ร— ๐ต) โІ dom โˆ™ )
15549, 154eqssd 3187 . 2 (๐œ‘ โ†’ dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต))
156 df-fn 5234 . 2 ( โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต) โ†” (Fun โˆ™ โˆง dom โˆ™ = (๐ต ร— ๐ต)))
157120, 155, 156sylanbrc 417 1 (๐œ‘ โ†’ โˆ™ Fn (๐ต ร— ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 980  โˆ€wal 1362   = wceq 1364  โˆƒwex 1503  โˆƒ*wmo 2039   โˆˆ wcel 2160  โˆ€wral 2468  โˆƒwrex 2469  Vcvv 2752   โІ wss 3144  {csn 3607  โŸจcop 3610  โˆช ciun 3901   class class class wbr 4018   ร— cxp 4639  dom cdm 4641  ran crn 4642  Rel wrel 4646  Fun wfun 5225   Fn wfn 5226  โŸถwf 5227  โ€“ontoโ†’wfo 5229  โ€˜cfv 5231  (class class class)co 5891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894
This theorem is referenced by:  imasaddvallemg  12764  imasaddflemg  12765  imasaddfn  12766  imasmulfn  12769
  Copyright terms: Public domain W3C validator