Theorem opexg 4262

Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
opexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)

Proof of Theorem opexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfopg 3807	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2		elex 2774	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
3		snexg 4218	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴} ∈ V)
6		elex 2774	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ∈ V)
7		prexg 4245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
8	2, 6, 7	syl2an 289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
9		prexg 4245	. . 3 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
10	5, 8, 9	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
11	1, 10	eqeltrd 2273	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763  {csn 3623  {cpr 3624  ⟨cop 3626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632

This theorem is referenced by:  opex  4263  otexg  4264  opeliunxp  4719  opbrop  4743  relsnopg  4768  opswapg  5157  elxp4  5158  elxp5  5159  resfunexg  5786  fliftel  5843  fliftel1  5844  oprabid  5957  ovexg  5959  ovssunirng  5960  eloprabga  6013  op1st  6213  op2nd  6214  ot1stg  6219  ot2ndg  6220  ot3rdgg  6221  elxp6  6236  mpofvex  6272  algrflem  6296  algrflemg  6297  mpoxopoveq  6307  brtposg  6321  tfr0dm  6389  tfrlemisucaccv  6392  tfrlemibxssdm  6394  tfrlemibfn  6395  tfrlemi14d  6400  tfr1onlemsucaccv  6408  tfr1onlembxssdm  6410  tfr1onlembfn  6411  tfr1onlemres  6416  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllembfn  6424  tfrcllemres  6429  fnfi  7011  djulclb  7130  inl11  7140  1stinl  7149  2ndinl  7150  1stinr  7151  2ndinr  7152  mulpipq2  7455  enq0breq  7520  addvalex  7928  peano2nnnn  7937  axcnre  7965  frec2uzrdg  10518  frecuzrdg0  10522  frecuzrdgg  10525  frecuzrdg0t  10531  zfz1isolem1  10949  eucalgval2  12246  crth  12417  phimullem  12418  ennnfonelemp1  12648  setsvala  12734  setsex  12735  setsfun  12738  setsfun0  12739  setsresg  12741  setscom  12743  strslfv  12748  strslfv3  12749  setsslid  12754  strle1g  12809  1strbas  12820  2strbasg  12822  2stropg  12823  2strbas1g  12825  2strop1g  12826  rngbaseg  12838  rngplusgg  12839  rngmulrg  12840  srngbased  12849  srngplusgd  12850  srngmulrd  12851  srnginvld  12852  lmodbased  12867  lmodplusgd  12868  lmodscad  12869  lmodvscad  12870  ipsbased  12879  ipsaddgd  12880  ipsmulrd  12881  ipsscad  12882  ipsvscad  12883  ipsipd  12884  topgrpbasd  12899  topgrpplusgd  12900  topgrptsetd  12901  prdsex  12971  prdsval  12975  imasex  13007  imasival  13008  imasbas  13009  imasplusg  13010  imasmulr  13011  imasaddfnlemg  13016  imasaddvallemg  13017  xpsfval  13050  xpsval  13054  intopsn  13069  mgm1  13072  sgrp1  13113  mnd1  13157  mnd1id  13158  grp1  13308  grp1inv  13309  ring1  13691  psrval  14296  fnpsr  14297  psrbasg  14303  psrplusgg  14306  txlm  14599