ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opexg GIF version

Theorem opexg 4018
Description: An ordered pair of sets is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
opexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)

Proof of Theorem opexg
StepHypRef Expression
1 dfopg 3594 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ = {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}})
2 elex 2621 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
3 snexg 3982 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝐴} ∈ V)
54adantr 270 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴} ∈ V)
6 elex 2621 . . . 4 (𝐵𝑊𝐵 ∈ V)
7 prexg 4001 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
82, 6, 7syl2an 283 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)
9 prexg 4001 . . 3 (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ V) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
105, 8, 9syl2anc 403 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → {{𝐴}, {𝐴, 𝐵}} ∈ V)
111, 10eqeltrd 2159 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1434  Vcvv 2612  {csn 3422  {cpr 3423  cop 3425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 3999
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-v 2614  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431
This theorem is referenced by:  opex  4019  otexg  4020  opeliunxp  4449  opbrop  4473  relsnopg  4498  opswapg  4869  elxp4  4870  elxp5  4871  resfunexg  5456  fliftel  5510  fliftel1  5511  oprabid  5614  ovexg  5616  eloprabga  5668  op1st  5850  op2nd  5851  ot1stg  5856  ot2ndg  5857  ot3rdgg  5858  elxp6  5873  mpt2fvex  5906  algrflem  5927  algrflemg  5928  mpt2xopoveq  5935  brtposg  5949  tfr0dm  6017  tfrlemisucaccv  6020  tfrlemibxssdm  6022  tfrlemibfn  6023  tfrlemi14d  6028  tfr1onlemsucaccv  6036  tfr1onlembxssdm  6038  tfr1onlembfn  6039  tfr1onlemres  6044  tfrcllemsucaccv  6049  tfrcllembxssdm  6051  tfrcllembfn  6052  tfrcllemres  6057  fnfi  6569  djulclb  6652  djur  6662  1stinl  6670  2ndinl  6671  1stinr  6672  2ndinr  6673  mulpipq2  6831  enq0breq  6896  addvalex  7282  peano2nnnn  7291  axcnre  7317  frec2uzrdg  9703  frecuzrdg0  9707  frecuzrdgg  9710  frecuzrdg0t  9716  eucalgval2  10813  crth  10978  phimullem  10979
  Copyright terms: Public domain W3C validator