ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fiinopn GIF version

Theorem fiinopn 13364
Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fiinopn (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))

Proof of Theorem fiinopn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwg 3583 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽𝐴𝐽))
2 sseq1 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐽𝐴𝐽))
3 neeq1 2360 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4 eleq1 2240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
52, 3, 43anbi123d 1312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6 inteq 3847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝐴 𝑥 = 𝐴)
76eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐴 → ( 𝑥𝐽 𝐴𝐽))
87imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
95, 8imbi12d 234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽)) ↔ ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
10 sp 1511 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
1110adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)) → ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽))
12 istopfin 13360 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥𝐽 𝑥𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → 𝑥𝐽)))
1311, 12syl11 31 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥𝐽𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝑥𝐽))
149, 13vtoclg 2797 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
1514com12 30 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))
16153exp 1202 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1716com3r 79 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
1817com4r 86 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
191, 18syl6bir 164 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))))
2019pm2.43a 51 . . . . 5 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2120com4l 84 . . . 4 (𝐴𝐽 → (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽)))))
2221pm2.43i 49 . . 3 (𝐴𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))))
23223imp 1193 . 2 ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → 𝐴𝐽))
2423com12 30 1 (𝐽 ∈ Top → ((𝐴𝐽𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → 𝐴𝐽))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978  wal 1351   = wceq 1353  wcel 2148  wne 2347  wss 3129  c0 3422  𝒫 cpw 3575   cuni 3809   cint 3844  Fincfn 6736  Topctop 13357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-iinf 4586
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-er 6531  df-en 6737  df-fin 6739  df-top 13358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator