Theorem fiinopn 14718

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fiinopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem fiinopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwg 3658	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
2		sseq1 3248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
3		neeq1 2413	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4		eleq1 2292	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5	2, 3, 4	3anbi123d 1346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6		inteq 3929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
7	6	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∩ 𝑥 ∈ 𝐽 ↔ ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
8	7	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
9	5, 8	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) ↔ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
10		sp 1557	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
12		istopfin 14714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)))
13	11, 12	syl11 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
14	9, 13	vtoclg 2862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
15	14	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
16	15	3exp 1226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
17	16	com3r 79	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
18	17	com4r 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
19	1, 18	biimtrrdi 164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))))
20	19	pm2.43a 51	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
21	20	com4l 84	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
22	21	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
23	22	3imp 1217	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
24	23	com12 30	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002  ∀wal 1393   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492  𝒫 cpw 3650  ∪ cuni 3891  ∩ cint 3926  Fincfn 6904  Topctop 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-fin 6907  df-top 14712

This theorem is referenced by: (None)