Theorem fiinopn 14240

Description: The intersection of a nonempty finite family of open sets is open. (Contributed by FL, 20-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
fiinopn	⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem fiinopn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwg 3613	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
2		sseq1 3206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ⊆ 𝐽 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐽))
3		neeq1 2380	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ 𝐴 ≠ ∅))
4		eleq1 2259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
5	2, 3, 4	3anbi123d 1323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) ↔ (𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin)))
6		inteq 3877	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ∩ 𝑥 = ∩ 𝐴)
7	6	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∩ 𝑥 ∈ 𝐽 ↔ ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
8	7	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) ↔ (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
9	5, 8	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) ↔ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
10		sp 1525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
11	10	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)) → ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
12		istopfin 14236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐽 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐽) ∧ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽)))
13	11, 12	syl11 31	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ⊆ 𝐽 ∧ 𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝑥 ∈ 𝐽))
14	9, 13	vtoclg 2824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
15	14	com12 30	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))
16	15	3exp 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
17	16	com3r 79	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
18	17	com4r 86	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
19	1, 18	biimtrrdi 164	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))))
20	19	pm2.43a 51	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
21	20	com4l 84	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽)))))
22	21	pm2.43i 49	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ≠ ∅ → (𝐴 ∈ Fin → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))))
23	22	3imp 1195	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐽 ∈ Top → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))
24	23	com12 30	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → ((𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐴 ∈ Fin) → ∩ 𝐴 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980  ∀wal 1362   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450  𝒫 cpw 3605  ∪ cuni 3839  ∩ cint 3874  Fincfn 6799  Topctop 14233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-er 6592  df-en 6800  df-fin 6802  df-top 14234

This theorem is referenced by: (None)