Theorem reopnap 12949

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2865	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ))
3		elun 3248	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)))
4		rexr 7923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elioomnf 9872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl6bi 162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
9		elioopnf 9871	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
11		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	10, 11	syl6bi 162	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ))
13	8, 12	jaod 707	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
14	3, 13	syl5bi 151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
15		reaplt 8463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
16	15	ancoms 266	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
17		breq1 3968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
18	17	elrab 2868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴))
19		ibar 299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
20	19	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
21	18, 20	bitr4id 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 # 𝐴))
22	6	baibd 909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑥 < 𝐴))
23	10	baibd 909	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ 𝐴 < 𝑥))
24	22, 23	orbi12d 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
25	3, 24	syl5bb 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
26	16, 21, 25	3bitr4d 219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
27	26	ex 114	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))))
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
29	28	eqrdv 2155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))
30		retop 12935	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31		mnfxr 7934	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		iooretopg 12939	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	31, 4, 32	sylancr 411	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
34		pnfxr 7930	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		iooretopg 12939	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
36	4, 34, 35	sylancl 410	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
37		unopn 12414	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1324	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
39	29, 38	eqeltrd 2234	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∈ wcel 2128  {crab 2439   ∪ cun 3100   class class class wbr 3965  ran crn 4587  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  ℝcr 7731  +∞cpnf 7909  -∞cmnf 7910  ℝ^*cxr 7911   < clt 7912   # cap 8456  (,)cioo 9792  topGenctg 12377  Topctop 12406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-rp 9561  df-xneg 9679  df-ioo 9796  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-topgen 12383  df-top 12407  df-bases 12452

This theorem is referenced by: (None)