Theorem reopnap 15403

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2969	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ))
3		elun 3359	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)))
4		rexr 8318	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elioomnf 10300	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
9		elioopnf 10299	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
11		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ))
13	8, 12	jaod 725	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
15		reaplt 8861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
17		breq1 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
18	17	elrab 2972	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴))
19		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 # 𝐴))
22	6	baibd 931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑥 < 𝐴))
23	10	baibd 931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ 𝐴 < 𝑥))
24	22, 23	orbi12d 801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))))
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 713	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
29	28	eqrdv 2230	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))
30		retop 15381	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31		mnfxr 8329	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		iooretopg 15385	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
34		pnfxr 8325	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		iooretopg 15385	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
37		unopn 14862	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
39	29, 38	eqeltrd 2309	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   ∈ wcel 2203  {crab 2524   ∪ cun 3208   class class class wbr 4108  ran crn 4749  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℝcr 8125  +∞cpnf 8304  -∞cmnf 8305  ℝ^*cxr 8306   < clt 8307   # cap 8854  (,)cioo 10220  topGenctg 13459  Topctop 14854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-frec 6621  df-sup 7274  df-inf 7275  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-rp 9986  df-xneg 10104  df-ioo 10224  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-topgen 13465  df-top 14855  df-bases 14900

This theorem is referenced by: (None)