Theorem reopnap 14725

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2914	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ))
3		elun 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)))
4		rexr 8067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elioomnf 10037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
9		elioopnf 10036	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
11		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	10, 11	biimtrdi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ))
13	8, 12	jaod 718	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
15		reaplt 8609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
17		breq1 4033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
18	17	elrab 2917	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴))
19		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 # 𝐴))
22	6	baibd 924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑥 < 𝐴))
23	10	baibd 924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ 𝐴 < 𝑥))
24	22, 23	orbi12d 794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))))
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
29	28	eqrdv 2191	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))
30		retop 14703	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31		mnfxr 8078	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		iooretopg 14707	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
34		pnfxr 8074	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		iooretopg 14707	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
37		unopn 14184	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
39	29, 38	eqeltrd 2270	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∈ wcel 2164  {crab 2476   ∪ cun 3152   class class class wbr 4030  ran crn 4661  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℝcr 7873  +∞cpnf 8053  -∞cmnf 8054  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056   # cap 8602  (,)cioo 9957  topGenctg 12868  Topctop 14176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-ioo 9961  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-topgen 12874  df-top 14177  df-bases 14222

This theorem is referenced by: (None)