Theorem reopnap 13900

Description: The real numbers apart from a given real number form an open set. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Dec-2023.)

Assertion

Ref	Expression
reopnap	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Distinct variable group:   𝑤,𝐴

Proof of Theorem reopnap

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrabi 2890	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ)
2	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} → 𝑥 ∈ ℝ))
3		elun 3276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)))
4		rexr 7998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		elioomnf 9963	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴)))
7		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8	6, 7	syl6bi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ))
9		elioopnf 9962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
10	4, 9	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥)))
11		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ)
12	10, 11	syl6bi 163	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) → 𝑥 ∈ ℝ))
13	8, 12	jaod 717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
14	3, 13	biimtrid 152	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) → 𝑥 ∈ ℝ))
15		reaplt 8540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
17		breq1 4005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 # 𝐴 ↔ 𝑥 # 𝐴))
18	17	elrab 2893	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴))
19		ibar 301	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 # 𝐴 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 # 𝐴)))
21	18, 20	bitr4id 199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 # 𝐴))
22	6	baibd 923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ↔ 𝑥 < 𝐴))
23	10	baibd 923	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞) ↔ 𝐴 < 𝑥))
24	22, 23	orbi12d 793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ∈ (-∞(,)𝐴) ∨ 𝑥 ∈ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
25	3, 24	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ↔ (𝑥 < 𝐴 ∨ 𝐴 < 𝑥)))
26	16, 21, 25	3bitr4d 220	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
27	26	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))))
28	2, 14, 27	pm5.21ndd 705	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ↔ 𝑥 ∈ ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞))))
29	28	eqrdv 2175	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} = ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)))
30		retop 13886	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
31		mnfxr 8009	. . . 4 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
32		iooretopg 13890	. . . 4 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ*) → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
33	31, 4, 32	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)))
34		pnfxr 8005	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
35		iooretopg 13890	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
36	4, 34, 35	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,)))
37		unopn 13365	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
38	30, 33, 36, 37	mp3an2i 1342	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) ∈ (topGen‘ran (,)))
39	29, 38	eqeltrd 2254	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → {𝑤 ∈ ℝ ∣ 𝑤 # 𝐴} ∈ (topGen‘ran (,)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∈ wcel 2148  {crab 2459   ∪ cun 3127   class class class wbr 4002  ran crn 4626  ‘cfv 5214  (class class class)co 5871  ℝcr 7806  +∞cpnf 7984  -∞cmnf 7985  ℝ^*cxr 7986   < clt 7987   # cap 8533  (,)cioo 9883  topGenctg 12690  Topctop 13357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1cn 7900  ax-1re 7901  ax-icn 7902  ax-addcl 7903  ax-addrcl 7904  ax-mulcl 7905  ax-mulrcl 7906  ax-addcom 7907  ax-mulcom 7908  ax-addass 7909  ax-mulass 7910  ax-distr 7911  ax-i2m1 7912  ax-0lt1 7913  ax-1rid 7914  ax-0id 7915  ax-rnegex 7916  ax-precex 7917  ax-cnre 7918  ax-pre-ltirr 7919  ax-pre-ltwlin 7920  ax-pre-lttrn 7921  ax-pre-apti 7922  ax-pre-ltadd 7923  ax-pre-mulgt0 7924  ax-pre-mulext 7925  ax-arch 7926  ax-caucvg 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-po 4295  df-iso 4296  df-iord 4365  df-on 4367  df-ilim 4368  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-isom 5223  df-riota 5827  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-frec 6388  df-sup 6979  df-inf 6980  df-pnf 7989  df-mnf 7990  df-xr 7991  df-ltxr 7992  df-le 7993  df-sub 8125  df-neg 8126  df-reap 8527  df-ap 8534  df-div 8625  df-inn 8915  df-2 8973  df-3 8974  df-4 8975  df-n0 9172  df-z 9249  df-uz 9524  df-rp 9649  df-xneg 9767  df-ioo 9887  df-seqfrec 10440  df-exp 10514  df-cj 10843  df-re 10844  df-im 10845  df-rsqrt 10999  df-abs 11000  df-topgen 12696  df-top 13358  df-bases 13403

This theorem is referenced by: (None)