Theorem 2wlkdlem7 29621

Description: Lemma 7 for 2wlkd 29625. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem7	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Proof of Theorem 2wlkdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem6 29620	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
7		elfvex 6919	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ V)
8		elfvex 6919	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) → 𝐾 ∈ V)
9	7, 8	anim12i 612	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  {cpr 4622  ‘cfv 6533  ⟨“cs2 14788  ⟨“cs3 14789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-nul 5296  ax-pr 5417

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-br 5139  df-dm 5676  df-iota 6485  df-fv 6541

This theorem is referenced by:  2wlkdlem8  29622  2trld  29627