Theorem 2wlkdlem7 27312

Description: Lemma 7 for 2wlkd 27316. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem7	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Proof of Theorem 2wlkdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem6 27311	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
7		elfvex 6480	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ V)
8		elfvex 6480	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) → 𝐾 ∈ V)
9	7, 8	anim12i 606	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2968  Vcvv 3397   ⊆ wss 3791  {cpr 4399  ‘cfv 6135  ⟨“cs2 13992  ⟨“cs3 13993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-nul 5025  ax-pow 5077

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3399  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-dm 5365  df-iota 6099  df-fv 6143

This theorem is referenced by:  2wlkdlem8  27313  2trld  27318