Theorem 2wlkdlem7 29965

Description: Lemma 7 for 2wlkd 29969. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem7	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Proof of Theorem 2wlkdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem6 29964	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
7		elfvex 6958	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ V)
8		elfvex 6958	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) → 𝐾 ∈ V)
9	7, 8	anim12i 612	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  {cpr 4650  ‘cfv 6573  ⟨“cs2 14890  ⟨“cs3 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  2wlkdlem8  29966  2trld  29971