Theorem 2wlkdlem7 30554

Description: Lemma 7 for 2wlkd 30558. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem7	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Proof of Theorem 2wlkdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem6 30553	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
7		elfvex 6946	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ V)
8		elfvex 6946	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) → 𝐾 ∈ V)
9	7, 8	anim12i 625	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	6, 9	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  ‘cfv 6561  ⟨“cs2 15023  ⟨“cs3 15024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fv 6569

This theorem is used by:  2wlkdlem8  30555  2trld  30560