Theorem 2wlkdlem7 29962

Description: Lemma 7 for 2wlkd 29966. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem7	⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Proof of Theorem 2wlkdlem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem6 29961	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)))
7		elfvex 6945	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) → 𝐽 ∈ V)
8		elfvex 6945	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾) → 𝐾 ∈ V)
9	7, 8	anim12i 613	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐼‘𝐽) ∧ 𝐵 ∈ (𝐼‘𝐾)) → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10	6, 9	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  {cpr 4633  ‘cfv 6563  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-dm 5699  df-iota 6516  df-fv 6571

This theorem is referenced by:  2wlkdlem8  29963  2trld  29968