Theorem 2wlkdlem8 30026

Description: Lemma 8 for 2wlkd 30029. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Proof of Theorem 2wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem7 30025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
7		s2fv0 14847	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
8		s2fv1 14848	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
9	7, 8	anim12i 619	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
11	2	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0)
12	11	eqeq1i 2745	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
13	2	fveq1i 6835	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1)
14	13	eqeq1i 2745	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
15	12, 14	anbi12i 634	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) ↔ ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
16	10, 15	sylibr 235	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  {cpr 4564  ‘cfv 6492  0cc0 11036  1c1 11037  ⟨“cs2 14801  ⟨“cs3 14802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-card 9861  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-hash 14291  df-word 14474  df-concat 14531  df-s1 14557  df-s2 14808

This theorem is referenced by:  2wlkdlem9  30027