Theorem 2wlkdlem8 28406

Description: Lemma 8 for 2wlkd 28409. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Proof of Theorem 2wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem7 28405	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
7		s2fv0 14669	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
8		s2fv1 14670	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
9	7, 8	anim12i 613	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
11	2	fveq1i 6810	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0)
12	11	eqeq1i 2742	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
13	2	fveq1i 6810	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1)
14	13	eqeq1i 2742	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
15	12, 14	anbi12i 627	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) ↔ ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
16	10, 15	sylibr 233	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  Vcvv 3441   ⊆ wss 3896  {cpr 4571  ‘cfv 6463  0cc0 10941  1c1 10942  ⟨“cs2 14623  ⟨“cs3 14624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-card 9765  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-n0 12304  df-z 12390  df-uz 12653  df-fz 13310  df-fzo 13453  df-hash 14115  df-word 14287  df-concat 14343  df-s1 14370  df-s2 14630

This theorem is referenced by:  2wlkdlem9  28407