Theorem 2wlkdlem8 30079

Description: Lemma 8 for 2wlkd 30082. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem8	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Proof of Theorem 2wlkdlem8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2wlkd.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6	1, 2, 3, 4, 5	2wlkdlem7 30078	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
7		s2fv0 14897	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
8		s2fv1 14898	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ V → (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
9	7, 8	anim12i 622	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
10	6, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
11	2	fveq1i 6864	. . . 4 ⊢ (𝐹‘0) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0)
12	11	eqeq1i 2766	. . 3 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽)
13	2	fveq1i 6864	. . . 4 ⊢ (𝐹‘1) = (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1)
14	13	eqeq1i 2766	. . 3 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 ↔ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾)
15	12, 14	anbi12i 637	. 2 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) ↔ ((⟨“𝐽𝐾”⟩‘0) = 𝐽 ∧ (⟨“𝐽𝐾”⟩‘1) = 𝐾))
16	10, 15	sylibr 236	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  {cpr 4583  ‘cfv 6517  0cc0 11070  1c1 11071  ⟨“cs2 14851  ⟨“cs3 14852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-hash 14341  df-word 14524  df-concat 14581  df-s1 14607  df-s2 14858

This theorem is referenced by:  2wlkdlem9  30080