MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkd 29966
Description: Construction of a walk from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Feb-2018.) (Revised by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2wlkd (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 s3cli 14917 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2835 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 2wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
6 s2cli 14916 . . . 4 ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
75, 6eqeltri 2835 . . 3 𝐹 ∈ Word V
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
91, 52wlkdlem1 29955 . . 3 (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
11 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
12 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
13 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
141, 5, 11, 12, 132wlkdlem10 29965 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
151, 5, 11, 122wlkdlem5 29959 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
16 2wlkd.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17161vgrex 29034 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ V)
18173ad2ant1 1132 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝐺 ∈ V)
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ V)
20 2wlkd.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
211, 5, 112wlkdlem4 29958 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
224, 8, 10, 14, 15, 19, 16, 20, 21wlkd 29719 1 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  Vcvv 3478  wss 3963  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154   + caddc 11156  chash 14366  Word cword 14549  ⟨“cs2 14877  ⟨“cs3 14878  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Walkscwlks 29629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-wlks 29632
This theorem is referenced by:  2wlkond  29967  2trld  29968  umgr2adedgwlk  29975
  Copyright terms: Public domain W3C validator