Theorem 2wlkd 29623

Description: Construction of a walk from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Feb-2018.) (Revised by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2wlkd.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2wlkd	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkd

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		s3cli 14839	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
3	1, 2	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ Word V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Word V)
5		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
6		s2cli 14838	. . . 4 ⊢ ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
7	5, 6	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ Word V
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word V)
9	1, 5	2wlkdlem1 29612	. . 3 ⊢ (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
11		2wlkd.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
12		2wlkd.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
13		2wlkd.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
14	1, 5, 11, 12, 13	2wlkdlem10 29622	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃‘𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑘)))
15	1, 5, 11, 12	2wlkdlem5 29616	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
16		2wlkd.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17	16	1vgrex 28695	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
18	17	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ V)
19	11, 18	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
20		2wlkd.i	. 2 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
21	1, 5, 11	2wlkdlem4 29615	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃‘𝑘) ∈ 𝑉)
22	4, 8, 10, 14, 15, 19, 16, 20, 21	wlkd 29376	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948  {cpr 4630   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  1c1 11117   + caddc 11119  ♯chash 14297  Word cword 14471  ⟨“cs2 14799  ⟨“cs3 14800  Vtxcvtx 28689  iEdgciedg 28690  Walkscwlks 29286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-hash 14298  df-word 14472  df-concat 14528  df-s1 14553  df-s2 14806  df-s3 14807  df-wlks 29289

This theorem is referenced by:  2wlkond  29624  2trld  29625  umgr2adedgwlk  29632