Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2wlkd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2wlkd 27401
 Description: Construction of a walk from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Feb-2018.) (Revised by AV, 23-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 14-Feb-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
2wlkd (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2wlkd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . . 4 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 s3cli 14083 . . . 4 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word V
31, 2eqeltri 2881 . . 3 𝑃 ∈ Word V
43a1i 11 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Word V)
5 2wlkd.f . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
6 s2cli 14082 . . . 4 ⟨“𝐽𝐾”⟩ ∈ Word V
75, 6eqeltri 2881 . . 3 𝐹 ∈ Word V
87a1i 11 . 2 (𝜑𝐹 ∈ Word V)
91, 52wlkdlem1 27390 . . 3 (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (♯‘𝑃) = ((♯‘𝐹) + 1))
11 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
12 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
13 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
141, 5, 11, 12, 132wlkdlem10 27400 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹)){(𝑃𝑘), (𝑃‘(𝑘 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹𝑘)))
151, 5, 11, 122wlkdlem5 27394 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘(𝑘 + 1)))
16 2wlkd.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
17161vgrex 26474 . . . 4 (𝐴𝑉𝐺 ∈ V)
18173ad2ant1 1126 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉) → 𝐺 ∈ V)
1911, 18syl 17 . 2 (𝜑𝐺 ∈ V)
20 2wlkd.i . 2 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
211, 5, 112wlkdlem4 27393 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0...(♯‘𝐹))(𝑃𝑘) ∈ 𝑉)
224, 8, 10, 14, 15, 19, 16, 20, 21wlkd 27154 1 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   ≠ wne 2986  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  {cpr 4480   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  1c1 10391   + caddc 10393  ♯chash 13544  Word cword 13711  ⟨“cs2 14043  ⟨“cs3 14044  Vtxcvtx 26468  iEdgciedg 26469  Walkscwlks 27065 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-ifp 1056  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-map 8265  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-s1 13798  df-s2 14050  df-s3 14051  df-wlks 27068 This theorem is referenced by:  2wlkond  27402  2trld  27403  umgr2adedgwlk  27410
 Copyright terms: Public domain W3C validator