Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2trld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2trld 27722
 Description: Construction of a trail from two given edges in a graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.) (Revised by AV, 24-Jan-2021.) (Revised by AV, 24-Mar-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2wlkd.e (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
2wlkd.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2wlkd.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2trld.n (𝜑𝐽𝐾)
Assertion
Ref Expression
2trld (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2trld
StepHypRef Expression
1 2wlkd.p . . 3 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2 2wlkd.f . . 3 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3 2wlkd.s . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
4 2wlkd.n . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
5 2wlkd.e . . 3 (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼𝐾)))
6 2wlkd.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 2wlkd.i . . 3 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 72wlkd 27720 . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
91, 2, 3, 4, 52wlkdlem7 27716 . . . . 5 (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V))
10 2trld.n . . . . 5 (𝜑𝐽𝐾)
11 df-3an 1086 . . . . 5 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽𝐾) ↔ ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V) ∧ 𝐽𝐾))
129, 10, 11sylanbrc 586 . . . 4 (𝜑 → (𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽𝐾))
13 funcnvs2 14266 . . . 4 ((𝐽 ∈ V ∧ 𝐾 ∈ V ∧ 𝐽𝐾) → Fun ⟨“𝐽𝐾”⟩)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun ⟨“𝐽𝐾”⟩)
152cnveqi 5722 . . . 4 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
1615funeqi 6355 . . 3 (Fun 𝐹 ↔ Fun ⟨“𝐽𝐾”⟩)
1714, 16sylibr 237 . 2 (𝜑 → Fun 𝐹)
18 istrl 27484 . 2 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝐹))
198, 17, 18sylanbrc 586 1 (𝜑𝐹(Trails‘𝐺)𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {cpr 4541   class class class wbr 5042  ◡ccnv 5531  Fun wfun 6328  ‘cfv 6334  ⟨“cs2 14194  ⟨“cs3 14195  Vtxcvtx 26787  iEdgciedg 26788  Walkscwlks 27384  Trailsctrls 27478 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-s1 13941  df-s2 14201  df-s3 14202  df-wlks 27387  df-trls 27480 This theorem is referenced by:  2trlond  27723  2pthd  27724  2spthd  27725
 Copyright terms: Public domain W3C validator