Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss1cnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss1cnvres 37225
Description: Class of cosets by the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
coss1cnvres (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss1cnvres
StepHypRef Expression
1 df-coss 37219 . 2 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)}
2 br1cnvres 37075 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
32elv 3481 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
4 br1cnvres 37075 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
54elv 3481 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥))
63, 5anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
7 an4 655 . . . . . 6 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
98exbii 1851 . . . 4 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
10 19.42v 1958 . . . 4 (∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
119, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
1211opabbii 5214 . 2 {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
131, 12eqtri 2761 1 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  {copab 5209  ccnv 5674  cres 5677  ccoss 36981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-res 5687  df-coss 37219
This theorem is referenced by:  coss2cnvepres  37226
  Copyright terms: Public domain W3C validator