Theorem coss1cnvres 38721

Description: Class of cosets by the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
coss1cnvres	⊢ ≀ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥))}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss1cnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coss 38715	. 2 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣)}
2		br1cnvres 38488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥)))
3	2	elv 3446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
4		br1cnvres 38488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
5	4	elv 3446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣𝑅𝑥))
6	3, 5	anbi12i 629	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
7		an4 657	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
8	6, 7	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
9	8	exbii 1850	. . . 4 ⊢ (∃𝑥(𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣) ↔ ∃𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
10		19.42v 1955	. . . 4 ⊢ (∃𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
11	9, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑥(𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥)))
12	11	opabbii 5166	. 2 ⊢ {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑢 ∧ 𝑥◡(𝑅 ↾ 𝐴)𝑣)} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥))}
13	1, 12	eqtri 2760	1 ⊢ ≀ ◡(𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑣𝑅𝑥))}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441   class class class wbr 5099  {copab 5161  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   ≀ ccoss 38397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-res 5637  df-coss 38715

This theorem is referenced by:  coss2cnvepres  38722