Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss1cnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss1cnvres 38418
Description: Class of cosets by the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
coss1cnvres (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss1cnvres
StepHypRef Expression
1 df-coss 38412 . 2 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)}
2 br1cnvres 38270 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
32elv 3485 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
4 br1cnvres 38270 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
54elv 3485 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥))
63, 5anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
7 an4 656 . . . . . 6 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
98exbii 1848 . . . 4 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
10 19.42v 1953 . . . 4 (∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
119, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
1211opabbii 5210 . 2 {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
131, 12eqtri 2765 1 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  Vcvv 3480   class class class wbr 5143  {copab 5205  ccnv 5684  cres 5687  ccoss 38182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-br 5144  df-opab 5206  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-res 5697  df-coss 38412
This theorem is referenced by:  coss2cnvepres  38419
  Copyright terms: Public domain W3C validator