Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss1cnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss1cnvres 38398
Description: Class of cosets by the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
coss1cnvres (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss1cnvres
StepHypRef Expression
1 df-coss 38392 . 2 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)}
2 br1cnvres 38250 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
32elv 3482 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
4 br1cnvres 38250 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
54elv 3482 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥))
63, 5anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
7 an4 656 . . . . . 6 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
98exbii 1844 . . . 4 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
10 19.42v 1950 . . . 4 (∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
119, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
1211opabbii 5214 . 2 {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
131, 12eqtri 2762 1 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  Vcvv 3477   class class class wbr 5147  {copab 5209  ccnv 5687  cres 5690  ccoss 38161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-sb 2062  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-res 5700  df-coss 38392
This theorem is referenced by:  coss2cnvepres  38399
  Copyright terms: Public domain W3C validator