Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  coss1cnvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coss1cnvres 37777
Description: Class of cosets by the converse of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 8-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
coss1cnvres (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝑅,𝑣,𝑥

Proof of Theorem coss1cnvres
StepHypRef Expression
1 df-coss 37771 . 2 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)}
2 br1cnvres 37627 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
32elv 3472 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑢 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
4 br1cnvres 37627 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
54elv 3472 . . . . . . 7 (𝑥(𝑅𝐴)𝑣 ↔ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥))
63, 5anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
7 an4 653 . . . . . 6 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑣𝐴𝑣𝑅𝑥)))
86, 7bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
98exbii 1842 . . . 4 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
10 19.42v 1949 . . . 4 (∃𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
119, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥)))
1211opabbii 5205 . 2 {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ∃𝑥(𝑥(𝑅𝐴)𝑢𝑥(𝑅𝐴)𝑣)} = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
131, 12eqtri 2752 1 (𝑅𝐴) = {⟨𝑢, 𝑣⟩ ∣ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ ∃𝑥(𝑢𝑅𝑥𝑣𝑅𝑥))}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  Vcvv 3466   class class class wbr 5138  {copab 5200  ccnv 5665  cres 5668  ccoss 37533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pr 5417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-br 5139  df-opab 5201  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-res 5678  df-coss 37771
This theorem is referenced by:  coss2cnvepres  37778
  Copyright terms: Public domain W3C validator