Theorem brcnvepres 39407

Description: Restricted converse epsilon binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvepres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem brcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5989	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 39405	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
3	2	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	sylan9bbr 520	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106   E cep 5555  ^◡ccnv 5655   ↾ cres 5658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5172  df-eprel 5556  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-res 5668

This theorem is used by:  dfeldisj3  39946  dfeldisj4  39947