Theorem brcnvepres 36406

Description: Restricted converse epsilon binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvepres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem brcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5898	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 36404	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
3	2	anbi2d 629	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	sylan9bbr 511	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074   E cep 5494  ^◡ccnv 5588   ↾ cres 5591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-eprel 5495  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-res 5601

This theorem is referenced by:  dfeldisj3  36830  dfeldisj4  36831