Theorem brcnvepres 39172

Description: Restricted converse epsilon binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvepres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem brcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 5977	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 39170	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
3	2	anbi2d 642	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	sylan9bbr 520	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   E cep 5550  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-eprel 5551  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-res 5663

This theorem is used by:  dfeldisj3  39711  dfeldisj4  39712