Theorem brcnvepres 38249

Description: Restricted converse epsilon binary relation. (Contributed by Peter Mazsa, 10-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
brcnvepres	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Proof of Theorem brcnvepres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brres 6007	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑊 → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶)))
2		brcnvep 38247	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐵◡ E 𝐶 ↔ 𝐶 ∈ 𝐵))
3	2	anbi2d 630	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵◡ E 𝐶) ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))
4	1, 3	sylan9bbr 510	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑊) → (𝐵(◡ E ↾ 𝐴)𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148   E cep 5588  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-res 5701

This theorem is referenced by:  dfeldisj3  38701  dfeldisj4  38702