Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeldisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeldisj3 37231
Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfeldisj3 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj3
StepHypRef Expression
1 df-eldisj 37219 . . 3 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
2 relres 5970 . . . 4 Rel ( E ↾ 𝐴)
3 dfdisjALTV3 37227 . . . 4 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel ( E ↾ 𝐴)))
42, 3mpbiran2 709 . . 3 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
5 an4 655 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
6 brcnvepres 36777 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢)))
76el2v 3455 . . . . . . . 8 (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢))
8 brcnvepres 36777 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
98el2v 3455 . . . . . . . 8 (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣))
107, 9anbi12i 628 . . . . . . 7 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
11 elin 3930 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑣))
1211anbi2i 624 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
135, 10, 123bitr4i 303 . . . . . 6 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
14 df-3an 1090 . . . . . 6 ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1513, 14bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1615imbi1i 350 . . . 4 (((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
17163albii 1824 . . 3 (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
181, 4, 173bitri 297 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
19 r3al 3190 . 2 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
2018, 19bitr4i 278 1 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wal 1540  wcel 2107  wral 3061  Vcvv 3447  cin 3913   class class class wbr 5109   E cep 5540  ccnv 5636  cres 5639  Rel wrel 5642   Disj wdisjALTV 36718   ElDisj weldisj 36720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-br 5110  df-opab 5172  df-id 5535  df-eprel 5541  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-coss 36923  df-cnvrefrel 37039  df-disjALTV 37217  df-eldisj 37219
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator