Theorem dfeldisj3 39178

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj3	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 39159	. . 3 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5957	. . . 4 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV3 39167	. . . 4 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 716	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
5		an4 662	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
6		brcnvepres 38639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
7	6	el2v 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		brcnvepres 38639	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	el2v 3438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
10	7, 9	anbi12i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
11		elin 3899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
12	11	anbi2i 629	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
13	5, 10, 12	3bitr4i 304	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
14		df-3an 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
15	13, 14	bitr4i 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
16	15	imbi1i 350	. . . 4 ⊢ (((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
17	16	3albii 1828	. . 3 ⊢ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
18	1, 4, 17	3bitri 298	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
19		r3al 3177	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣 ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
20	18, 19	bitr4i 279	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092  ∀wal 1545   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  Vcvv 3431   ∩ cin 3882   class class class wbr 5072   E cep 5517  ^◡ccnv 5617   ↾ cres 5620  Rel wrel 5623   Disj wdisjALTV 38586   ElDisj weldisj 38588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-br 5073  df-opab 5135  df-id 5513  df-eprel 5518  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-coss 38868  df-cnvrefrel 38974  df-disjALTV 39157  df-eldisj 39159

This theorem is referenced by: (None)