Theorem dfeldisj3 38765

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj3	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38753	. . 3 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5953	. . . 4 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV3 38761	. . . 4 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 710	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
5		an4 656	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
6		brcnvepres 38310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
7	6	el2v 3443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		brcnvepres 38310	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
9	8	el2v 3443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
10	7, 9	anbi12i 628	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢) ∧ (𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
11		elin 3913	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣))
12	11	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑥 ∈ 𝑣)))
13	5, 10, 12	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
14		df-3an 1088	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
15	13, 14	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)))
16	15	imbi1i 349	. . . 4 ⊢ (((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
17	16	3albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑣(◡ E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
18	1, 4, 17	3bitri 297	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
19		r3al 3170	. 2 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣 ↔ ∀𝑢∀𝑣∀𝑥((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
20	18, 19	bitr4i 278	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐴 ∀𝑣 ∈ 𝐴 ∀𝑥 ∈ (𝑢 ∩ 𝑣)𝑢 = 𝑣)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086  ∀wal 1539   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   class class class wbr 5089   E cep 5513  ^◡ccnv 5613   ↾ cres 5616  Rel wrel 5619   Disj wdisjALTV 38257   ElDisj weldisj 38259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-eprel 5514  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-coss 38456  df-cnvrefrel 38572  df-disjALTV 38751  df-eldisj 38753

This theorem is referenced by: (None)