Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeldisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeldisj3 38052
Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfeldisj3 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj3
StepHypRef Expression
1 df-eldisj 38040 . . 3 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
2 relres 6010 . . . 4 Rel ( E ↾ 𝐴)
3 dfdisjALTV3 38048 . . . 4 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel ( E ↾ 𝐴)))
42, 3mpbiran2 707 . . 3 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
5 an4 653 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
6 brcnvepres 37598 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢)))
76el2v 3481 . . . . . . . 8 (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢))
8 brcnvepres 37598 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
98el2v 3481 . . . . . . . 8 (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣))
107, 9anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
11 elin 3964 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑣))
1211anbi2i 622 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
135, 10, 123bitr4i 303 . . . . . 6 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
14 df-3an 1088 . . . . . 6 ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1513, 14bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1615imbi1i 349 . . . 4 (((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
17163albii 1822 . . 3 (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
181, 4, 173bitri 297 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
19 r3al 3195 . 2 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
2018, 19bitr4i 278 1 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086  wal 1538  wcel 2105  wral 3060  Vcvv 3473  cin 3947   class class class wbr 5148   E cep 5579  ccnv 5675  cres 5678  Rel wrel 5681   Disj wdisjALTV 37540   ElDisj weldisj 37542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37744  df-cnvrefrel 37860  df-disjALTV 38038  df-eldisj 38040
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator