Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dfeldisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dfeldisj3 38102
Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfeldisj3 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj3
StepHypRef Expression
1 df-eldisj 38090 . . 3 ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj ( E ↾ 𝐴))
2 relres 6004 . . . 4 Rel ( E ↾ 𝐴)
3 dfdisjALTV3 38098 . . . 4 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ∧ Rel ( E ↾ 𝐴)))
42, 3mpbiran2 707 . . 3 ( Disj ( E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣))
5 an4 653 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
6 brcnvepres 37648 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢)))
76el2v 3476 . . . . . . . 8 (𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑥𝑢))
8 brcnvepres 37648 . . . . . . . . 9 ((𝑣 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
98el2v 3476 . . . . . . . 8 (𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑣𝐴𝑥𝑣))
107, 9anbi12i 626 . . . . . . 7 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑥𝑢) ∧ (𝑣𝐴𝑥𝑣)))
11 elin 3959 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑢𝑣) ↔ (𝑥𝑢𝑥𝑣))
1211anbi2i 622 . . . . . . 7 (((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ (𝑥𝑢𝑥𝑣)))
135, 10, 123bitr4i 303 . . . . . 6 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
14 df-3an 1086 . . . . . 6 ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴) ∧ 𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1513, 14bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) ↔ (𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)))
1615imbi1i 349 . . . 4 (((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
17163albii 1815 . . 3 (∀𝑢𝑣𝑥((𝑢( E ↾ 𝐴)𝑥𝑣( E ↾ 𝐴)𝑥) → 𝑢 = 𝑣) ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
181, 4, 173bitri 297 . 2 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
19 r3al 3190 . 2 (∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣 ↔ ∀𝑢𝑣𝑥((𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)) → 𝑢 = 𝑣))
2018, 19bitr4i 278 1 ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑢𝐴𝑣𝐴𝑥 ∈ (𝑢𝑣)𝑢 = 𝑣)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084  wal 1531  wcel 2098  wral 3055  Vcvv 3468  cin 3942   class class class wbr 5141   E cep 5572  ccnv 5668  cres 5671  Rel wrel 5674   Disj wdisjALTV 37590   ElDisj weldisj 37592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-eprel 5573  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-coss 37794  df-cnvrefrel 37910  df-disjALTV 38088  df-eldisj 38090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator