Theorem dfeldisj4 37585

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj4	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 37572	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 6010	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV4 37581	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 708	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥)
5		brcnvepres 37130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
6	5	el2v 3482	. . . . 5 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
7	6	mobii 2542	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		df-rmo 3376	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
9	7, 8	bitr4i 277	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
10	9	albii 1821	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
11	1, 4, 10	3bitri 296	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2532  ∃*wrmo 3375  Vcvv 3474   class class class wbr 5148   E cep 5579  ^◡ccnv 5675   ↾ cres 5678  Rel wrel 5681   Disj wdisjALTV 37072   ElDisj weldisj 37074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-eprel 5580  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-coss 37276  df-cnvrefrel 37392  df-disjALTV 37570  df-eldisj 37572

This theorem is referenced by:  dfeldisj5  37586