Theorem dfeldisj4 38712

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj4	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38699	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 5976	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV4 38708	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥)
5		brcnvepres 38256	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
6	5	el2v 3454	. . . . 5 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
7	6	mobii 2541	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		df-rmo 3354	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
10	9	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
11	1, 4, 10	3bitri 297	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   ∈ wcel 2109  ∃*wmo 2531  ∃*wrmo 3353  Vcvv 3447   class class class wbr 5107   E cep 5537  ^◡ccnv 5637   ↾ cres 5640  Rel wrel 5643   Disj wdisjALTV 38203   ElDisj weldisj 38205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-eprel 5538  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-coss 38402  df-cnvrefrel 38518  df-disjALTV 38697  df-eldisj 38699

This theorem is referenced by:  dfeldisj5  38713