Theorem dfeldisj4 38702

Description: Alternate definition of the disjoint elementhood predicate. (Contributed by Peter Mazsa, 19-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfeldisj4	⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥

Proof of Theorem dfeldisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-eldisj 38689	. 2 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		relres 6026	. . 3 ⊢ Rel (◡ E ↾ 𝐴)
3		dfdisjALTV4 38698	. . 3 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ∧ Rel (◡ E ↾ 𝐴)))
4	2, 3	mpbiran2 710	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) ↔ ∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥)
5		brcnvepres 38249	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢)))
6	5	el2v 3485	. . . . 5 ⊢ (𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
7	6	mobii 2546	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
8		df-rmo 3378	. . . 4 ⊢ (∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢 ↔ ∃*𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝑢))
9	7, 8	bitr4i 278	. . 3 ⊢ (∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
10	9	albii 1816	. 2 ⊢ (∀𝑥∃*𝑢 𝑢(◡ E ↾ 𝐴)𝑥 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)
11	1, 4, 10	3bitri 297	1 ⊢ ( ElDisj 𝐴 ↔ ∀𝑥∃*𝑢 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑢)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   ∈ wcel 2106  ∃*wmo 2536  ∃*wrmo 3377  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   E cep 5588  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691  Rel wrel 5694   Disj wdisjALTV 38196   ElDisj weldisj 38198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-coss 38393  df-cnvrefrel 38509  df-disjALTV 38687  df-eldisj 38689

This theorem is referenced by:  dfeldisj5  38703