Theorem clatlubcl2 17723

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem clatlubcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6684	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5248	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	biimpri 230	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5	4	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
6		clatlubcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
7		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8	1, 6, 7	isclat 17719	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom (glb‘𝐾) = 𝒫 𝐵)))
9		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom (glb‘𝐾) = 𝒫 𝐵)) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
10	8, 9	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
11	10	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
12	5, 11	eleqtrrd 2916	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  𝒫 cpw 4539  dom cdm 5555  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  Posetcpo 17550  lubclub 17552  glbcglb 17553  CLatccla 17717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fv 6363  df-clat 17718

This theorem is referenced by:  lublem  17728