Theorem clatlubcl2 18678

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 13-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl2	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

Proof of Theorem clatlubcl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2	1	fvexi 6899	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	elpw2 5296	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ↔ 𝑆 ⊆ 𝐵)
4	3	bilanri 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
5		clatlubcl.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
7	1, 5, 6	isclat 18674	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat ↔ (𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom (glb‘𝐾) = 𝒫 𝐵)))
8		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (dom 𝑈 = 𝒫 𝐵 ∧ dom (glb‘𝐾) = 𝒫 𝐵)) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
9	7, 8	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
10	9	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → dom 𝑈 = 𝒫 𝐵)
11	4, 10	eleqtrrd 2864	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  dom cdm 5651  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Posetcpo 18481  lubclub 18483  glbcglb 18484  CLatccla 18672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-dm 5661  df-iota 6494  df-fv 6546  df-clat 18673

This theorem is used by:  lublem  18684