Theorem clatlubcl 18677

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatlubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18676	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ((glb‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 500	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  lubclub 18483  glbcglb 18484  CLatccla 18672

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-lub 18518  df-glb 18519  df-clat 18673

This theorem is used by:  oduclatb  18681  lubss  18687  lubun  18689  clatp1cl  33538  atlatmstc  40376  polsubN  40964  2polvalN  40971  2polssN  40972  3polN  40973  2pmaplubN  40983  paddunN  40984  poldmj1N  40985  pnonsingN  40990  ispsubcl2N  41004  psubclinN  41005  paddatclN  41006  polsubclN  41009  poml4N  41010