MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatlubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatlubcl 18498
Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatlubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatlubcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatlubcl
StepHypRef Expression
1 clatlubcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 clatlubcl.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
3 eqid 2725 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 18497 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → ((𝑈𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ((glb‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵))
54simpld 493 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝑈𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944  cfv 6549  Basecbs 17183  lubclub 18304  glbcglb 18305  CLatccla 18493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-lub 18341  df-glb 18342  df-clat 18494
This theorem is referenced by:  oduclatb  18502  lubss  18508  lubun  18510  clatp1cl  32793  atlatmstc  38921  polsubN  39510  2polvalN  39517  2polssN  39518  3polN  39519  2pmaplubN  39529  paddunN  39530  poldmj1N  39531  pnonsingN  39536  ispsubcl2N  39550  psubclinN  39551  paddatclN  39552  polsubclN  39555  poml4N  39556
  Copyright terms: Public domain W3C validator