Theorem clatlubcl 18438

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatlubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18437	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ((glb‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  lubclub 18244  glbcglb 18245  CLatccla 18433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-lub 18279  df-glb 18280  df-clat 18434

This theorem is referenced by:  oduclatb  18442  lubss  18448  lubun  18450  clatp1cl  33070  atlatmstc  39695  polsubN  40283  2polvalN  40290  2polssN  40291  3polN  40292  2pmaplubN  40302  paddunN  40303  poldmj1N  40304  pnonsingN  40309  ispsubcl2N  40323  psubclinN  40324  paddatclN  40325  polsubclN  40328  poml4N  40329