Theorem clatlubcl 18561

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatlubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		eqid 2769	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18560	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ((glb‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 499	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6539  Basecbs 17271  lubclub 18367  glbcglb 18368  CLatccla 18556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5559  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7370  df-lub 18402  df-glb 18403  df-clat 18557

This theorem is referenced by:  oduclatb  18565  lubss  18571  lubun  18573  clatp1cl  33240  atlatmstc  40020  polsubN  40608  2polvalN  40615  2polssN  40616  3polN  40617  2pmaplubN  40627  paddunN  40628  poldmj1N  40629  pnonsingN  40634  ispsubcl2N  40648  psubclinN  40649  paddatclN  40650  polsubclN  40653  poml4N  40654