Theorem clatlubcl 18561

Description: Any subset of the base set has an LUB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatlubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatlubcl.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatlubcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatlubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatlubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		clatlubcl.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18560	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ ((glb‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  lubclub 18367  glbcglb 18368  CLatccla 18556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-clat 18557

This theorem is referenced by:  oduclatb  18565  lubss  18571  lubun  18573  clatp1cl  32952  atlatmstc  39301  polsubN  39890  2polvalN  39897  2polssN  39898  3polN  39899  2pmaplubN  39909  paddunN  39910  poldmj1N  39911  pnonsingN  39916  ispsubcl2N  39930  psubclinN  39931  paddatclN  39932  polsubclN  39935  poml4N  39936