MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lublem 18217
Description: Lemma for the least upper bound properties in a complete lattice. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lublem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦, ,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lublem
StepHypRef Expression
1 lublem.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lublem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 lublem.u . 2 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatlubcl2 18211 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
61, 2, 3, 4, 5lubprop 18065 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  wss 3888   class class class wbr 5075  cfv 6428  Basecbs 16901  lecple 16958  lubclub 18016  CLatccla 18205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-lub 18053  df-clat 18206
This theorem is referenced by:  lubub  18218  lubl  18219
  Copyright terms: Public domain W3C validator