MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lublem 18568
Description: Lemma for the least upper bound properties in a complete lattice. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lublem ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑦,𝑧,𝐾   𝑦,𝑆,𝑧   𝑦,𝑈,𝑧   𝑦, ,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem lublem
StepHypRef Expression
1 lublem.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 lublem.l . 2 = (le‘𝐾)
3 lublem.u . 2 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
51, 3clatlubcl2 18562 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 ∈ dom 𝑈)
61, 2, 3, 4, 5lubprop 18416 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (∀𝑦𝑆 𝑦 (𝑈𝑆) ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑆 𝑦 𝑧 → (𝑈𝑆) 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  cfv 6563  Basecbs 17245  lecple 17305  lubclub 18367  CLatccla 18556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-lub 18404  df-clat 18557
This theorem is referenced by:  lubub  18569  lubl  18570
  Copyright terms: Public domain W3C validator