MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl 18561
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2769 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 clatglbcl.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 18558 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
54simprd 500 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 400   = wceq 1567  wcel 2149  wss 3913  cfv 6537  Basecbs 17269  lubclub 18365  glbcglb 18366  CLatccla 18554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-lub 18400  df-glb 18401  df-clat 18555
This theorem is referenced by:  clatleglb  18574  clatglbss  18575  clatp0cl  33237  pmapglbx  40433  diaglbN  41719  diaintclN  41722  dibglbN  41830  dibintclN  41831  dihglblem2N  41958  dihglblem3N  41959  dihglblem4  41961  dihglbcpreN  41964  dihglblem6  42004  dihintcl  42008  dochval2  42016  dochcl  42017  dochvalr  42021  dochss  42029
  Copyright terms: Public domain W3C validator