Theorem clatglbcl 18471

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		clatglbcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18468	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  ‘cfv 6514  Basecbs 17186  lubclub 18277  glbcglb 18278  CLatccla 18464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-lub 18312  df-glb 18313  df-clat 18465

This theorem is referenced by:  clatleglb  18484  clatglbss  18485  clatp0cl  32909  glbconNOLD  39378  pmapglbx  39770  diaglbN  41056  diaintclN  41059  dibglbN  41167  dibintclN  41168  dihglblem2N  41295  dihglblem3N  41296  dihglblem4  41298  dihglbcpreN  41301  dihglblem6  41341  dihintcl  41345  dochval2  41353  dochcl  41354  dochvalr  41358  dochss  41366