MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl 17723
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 clatglbcl.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 17720 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
54simprd 498 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wss 3935  cfv 6354  Basecbs 16482  lubclub 17551  glbcglb 17552  CLatccla 17716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-lub 17583  df-glb 17584  df-clat 17717
This theorem is referenced by:  clatleglb  17735  clatglbss  17736  clatp0cl  30658  glbconN  36512  pmapglbx  36904  diaglbN  38190  diaintclN  38193  dibglbN  38301  dibintclN  38302  dihglblem2N  38429  dihglblem3N  38430  dihglblem4  38432  dihglbcpreN  38435  dihglblem6  38475  dihintcl  38479  dochval2  38487  dochcl  38488  dochvalr  38492  dochss  38500
  Copyright terms: Public domain W3C validator