Theorem clatglbcl 18460

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		clatglbcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18457	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 495	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3885  ‘cfv 6487  Basecbs 17168  lubclub 18264  glbcglb 18265  CLatccla 18453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-lub 18299  df-glb 18300  df-clat 18454

This theorem is referenced by:  clatleglb  18473  clatglbss  18474  clatp0cl  33024  pmapglbx  40203  diaglbN  41489  diaintclN  41492  dibglbN  41600  dibintclN  41601  dihglblem2N  41728  dihglblem3N  41729  dihglblem4  41731  dihglbcpreN  41734  dihglblem6  41774  dihintcl  41778  dochval2  41786  dochcl  41787  dochvalr  41791  dochss  41799