MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clatglbcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clatglbcl 17712
Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
clatglbcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
clatglbcl ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl
StepHypRef Expression
1 clatglbcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2818 . . 3 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3 clatglbcl.g . . 3 𝐺 = (glb‘𝐾)
41, 2, 3clatlem 17709 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺𝑆) ∈ 𝐵))
54simprd 496 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵) → (𝐺𝑆) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wss 3933  cfv 6348  Basecbs 16471  lubclub 17540  glbcglb 17541  CLatccla 17705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-lub 17572  df-glb 17573  df-clat 17706
This theorem is referenced by:  clatleglb  17724  clatglbss  17725  clatp0cl  30585  glbconN  36393  pmapglbx  36785  diaglbN  38071  diaintclN  38074  dibglbN  38182  dibintclN  38183  dihglblem2N  38310  dihglblem3N  38311  dihglblem4  38313  dihglbcpreN  38316  dihglblem6  38356  dihintcl  38360  dochval2  38368  dochcl  38369  dochvalr  38373  dochss  38381
  Copyright terms: Public domain W3C validator