Theorem clatglbcl 18530

Description: Any subset of the base set has a GLB in a complete lattice. (Contributed by NM, 14-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
clatglbcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
clatglbcl.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
clatglbcl	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem clatglbcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatglbcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
3		clatglbcl.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
4	1, 2, 3	clatlem 18527	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (((lub‘𝐾)‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵))
5	4	simprd 494	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐺‘𝑆) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  lubclub 18334  glbcglb 18335  CLatccla 18523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-lub 18371  df-glb 18372  df-clat 18524

This theorem is referenced by:  clatleglb  18543  clatglbss  18544  clatp0cl  32846  glbconNOLD  39076  pmapglbx  39468  diaglbN  40754  diaintclN  40757  dibglbN  40865  dibintclN  40866  dihglblem2N  40993  dihglblem3N  40994  dihglblem4  40996  dihglbcpreN  40999  dihglblem6  41039  dihintcl  41043  dochval2  41051  dochcl  41052  dochvalr  41056  dochss  41064